Номер 142, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

142. Построить график функции:

1) $y = -x^2 + 2x;$ 2) $y = -x^2 - 4x;$ 3) $y = 2x^2 - 4x + 1;$

4) $y = 2x^2 + 4x + 1;$ 5) $y = -2x^2 + 2x - 1;$ 6) $y = -2x^2 + 4x - 1.$

1)

Для построения графика функции $y = -x^2 + 2x$ определим его ключевые характеристики.

Тип графика и направление ветвей:
Функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при старшем члене $a = -1$. Поскольку $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Вершина параболы:
Координаты вершины $(x_0, y_0)$ вычисляются по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = y(x_0)$.
В данном случае $a=-1, b=2, c=0$.
$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.
$y_0 = -(1)^2 + 2(1) = -1 + 2 = 1$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, 1)$. Ось симметрии — прямая $x=1$.

Точки пересечения с осями координат:
Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$y = -0^2 + 2 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.
Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$-x^2 + 2x = 0 \Rightarrow -x(x-2)=0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.
Точки пересечения — $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

Дополнительные точки:
Возьмем точку $x=3$.
$y(3) = -(3)^2 + 2(3) = -9 + 6 = -3$. Получили точку $(3, -3)$.
Точка, симметричная ей относительно оси $x=1$, это точка $(-1, -3)$.

Построение:
Отмечаем на координатной плоскости вершину $(1, 1)$, точки пересечения с осями $(0, 0)$ и $(2, 0)$, а также дополнительные точки $(3, -3)$ и $(-1, -3)$. Соединяем их плавной линией, учитывая, что ветви направлены вниз.

Ответ: График функции $y = -x^2 + 2x$ — это парабола с вершиной в точке $(1, 1)$, ветвями, направленными вниз, пересекающая ось Ox в точках $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

2)

Для построения графика функции $y = -x^2 - 4x$ определим его ключевые характеристики.

Тип графика и направление ветвей:
Функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент $a = -1$. Поскольку $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Вершина параболы:
Координаты вершины $(x_0, y_0)$ для $a=-1, b=-4, c=0$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -2$.
$y_0 = -(-2)^2 - 4(-2) = -4 + 8 = 4$.
Вершина параболы находится в точке $(-2, 4)$. Ось симметрии — прямая $x=-2$.

Точки пересечения с осями координат:
Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$y = -0^2 - 4 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.
Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$-x^2 - 4x = 0 \Rightarrow -x(x+4)=0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = -4$.
Точки пересечения — $(0, 0)$ и $(-4, 0)$.

Дополнительные точки:
Возьмем точку $x=-1$.
$y(-1) = -(-1)^2 - 4(-1) = -1 + 4 = 3$. Получили точку $(-1, 3)$.
Точка, симметричная ей относительно оси $x=-2$, это точка $(-3, 3)$.

Построение:
Отмечаем на координатной плоскости вершину $(-2, 4)$, точки пересечения с осями $(0, 0)$ и $(-4, 0)$, а также дополнительные точки $(-1, 3)$ и $(-3, 3)$. Соединяем их плавной линией.

Ответ: График функции $y = -x^2 - 4x$ — это парабола с вершиной в точке $(-2, 4)$, ветвями, направленными вниз, пересекающая ось Ox в точках $(-4, 0)$ и $(0, 0)$.

3)

Для построения графика функции $y = 2x^2 - 4x + 1$ определим его ключевые характеристики.

Тип графика и направление ветвей:
Функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент $a = 2$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Вершина параболы:
Координаты вершины $(x_0, y_0)$ для $a=2, b=-4, c=1$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1$.
$y_0 = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1$.
Вершина параболы находится в точке $(1, -1)$. Ось симметрии — прямая $x=1$.

Точки пересечения с осями координат:
Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$y = 2(0)^2 - 4(0) + 1 = 1$. Точка пересечения — $(0, 1)$.
Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$2x^2 - 4x + 1 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(2)(1) = 16 - 8 = 8$.
$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$x_1 \approx 1 - 0.71 = 0.29$, $x_2 \approx 1 + 0.71 = 1.71$.
Точки пересечения — $(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ и $(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$.

Дополнительные точки:
Используем точку пересечения с Oy $(0, 1)$. Симметричная ей точка относительно оси $x=1$ будет $(2, 1)$.
Проверка: $y(2) = 2(2)^2 - 4(2) + 1 = 8 - 8 + 1 = 1$.

Построение:
Отмечаем на координатной плоскости вершину $(1, -1)$, точку пересечения с Oy $(0, 1)$ и симметричную ей точку $(2, 1)$, а также точки пересечения с Ox. Соединяем их плавной линией.

Ответ: График функции $y = 2x^2 - 4x + 1$ — это парабола с вершиной в точке $(1, -1)$, ветвями, направленными вверх, пересекающая ось Oy в точке $(0, 1)$.

4)

Для построения графика функции $y = 2x^2 + 4x + 1$ определим его ключевые характеристики.

Тип графика и направление ветвей:
Функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент $a = 2 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх.

Вершина параболы:
Координаты вершины $(x_0, y_0)$ для $a=2, b=4, c=1$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1$.
$y_0 = 2(-1)^2 + 4(-1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1$.
Вершина параболы находится в точке $(-1, -1)$. Ось симметрии — прямая $x=-1$.

Точки пересечения с осями координат:
Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$y = 2(0)^2 + 4(0) + 1 = 1$. Точка пересечения — $(0, 1)$.
Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$2x^2 + 4x + 1 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(2)(1) = 16 - 8 = 8$.
$x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = -1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$x_1 \approx -1 - 0.71 = -1.71$, $x_2 \approx -1 + 0.71 = -0.29$.
Точки пересечения — $(-1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ и $(-1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$.

Дополнительные точки:
Используем точку пересечения с Oy $(0, 1)$. Симметричная ей точка относительно оси $x=-1$ будет $(-2, 1)$.
Проверка: $y(-2) = 2(-2)^2 + 4(-2) + 1 = 8 - 8 + 1 = 1$.

Построение:
Отмечаем вершину $(-1, -1)$, точку $(0, 1)$ и симметричную ей $(-2, 1)$, точки пересечения с Ox. Соединяем точки плавной линией.

Ответ: График функции $y = 2x^2 + 4x + 1$ — это парабола с вершиной в точке $(-1, -1)$, ветвями, направленными вверх, пересекающая ось Oy в точке $(0, 1)$.

5)

Для построения графика функции $y = -2x^2 + 2x - 1$ определим его ключевые характеристики.

Тип графика и направление ветвей:
Функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент $a = -2 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз.

Вершина параболы:
Координаты вершины $(x_0, y_0)$ для $a=-2, b=2, c=-1$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-2)} = \frac{1}{2}$.
$y_0 = -2(\frac{1}{2})^2 + 2(\frac{1}{2}) - 1 = -2(\frac{1}{4}) + 1 - 1 = -\frac{1}{2}$.
Вершина параболы находится в точке $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$. Ось симметрии — прямая $x=\frac{1}{2}$.

Точки пересечения с осями координат:
Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$y = -2(0)^2 + 2(0) - 1 = -1$. Точка пересечения — $(0, -1)$.
Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$-2x^2 + 2x - 1 = 0 \Rightarrow 2x^2 - 2x + 1 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(2)(1) = 4 - 8 = -4$.
Поскольку $D < 0$, действительных корней нет, и парабола не пересекает ось Ox.

Дополнительные точки:
Используем точку пересечения с Oy $(0, -1)$. Симметричная ей точка относительно оси $x=0.5$ будет $(1, -1)$.
Проверка: $y(1) = -2(1)^2 + 2(1) - 1 = -2 + 2 - 1 = -1$.

Построение:
Отмечаем вершину $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$, точку $(0, -1)$ и симметричную ей $(1, -1)$. Соединяем точки плавной линией, направленной вниз.

Ответ: График функции $y = -2x^2 + 2x - 1$ — это парабола с вершиной в точке $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$, ветвями, направленными вниз, не пересекающая ось Ox и пересекающая ось Oy в точке $(0, -1)$.

6)

Для построения графика функции $y = -2x^2 + 4x - 1$ определим его ключевые характеристики.

Тип графика и направление ветвей:
Функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Вершина параболы:
Координаты вершины $(x_0, y_0)$ для $a=-2, b=4, c=-1$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = 1$.
$y_0 = -2(1)^2 + 4(1) - 1 = -2 + 4 - 1 = 1$.
Вершина параболы находится в точке $(1, 1)$. Ось симметрии — прямая $x=1$.

Точки пересечения с осями координат:
Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$y = -2(0)^2 + 4(0) - 1 = -1$. Точка пересечения — $(0, -1)$.
Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$-2x^2 + 4x - 1 = 0 \Rightarrow 2x^2 - 4x + 1 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(2)(1) = 16 - 8 = 8$.
$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$x_1 \approx 0.29$, $x_2 \approx 1.71$.
Точки пересечения — $(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ и $(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$.

Дополнительные точки:
Используем точку пересечения с Oy $(0, -1)$. Симметричная ей точка относительно оси $x=1$ будет $(2, -1)$.
Проверка: $y(2) = -2(2)^2 + 4(2) - 1 = -8 + 8 - 1 = -1$.

Построение:
Отмечаем вершину $(1, 1)$, точку $(0, -1)$ и симметричную ей $(2, -1)$, а также точки пересечения с Ox. Соединяем точки плавной линией, направленной вниз.

Ответ: График функции $y = -2x^2 + 4x - 1$ — это парабола с вершиной в точке $(1, 1)$, ветвями, направленными вниз, пересекающая ось Oy в точке $(0, -1)$.