Номер 148, страница 45 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

148. Число 6 представить в виде суммы таких двух чисел, сумма кубов которых наибольшая.

Пусть число 6 представлено в виде суммы двух чисел $x$ и $y$. Тогда выполняется равенство:

$x + y = 6$

Нам необходимо найти такие $x$ и $y$, чтобы сумма их кубов была наибольшей. Обозначим эту сумму как $S$:

$S = x^3 + y^3$

Для решения задачи выразим одну переменную через другую и подставим в выражение для $S$. Из первого уравнения получаем:

$y = 6 - x$

Теперь подставим это в формулу для $S$, чтобы получить функцию одной переменной:

$S(x) = x^3 + (6 - x)^3$

Раскроем скобки, используя формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:

$(6 - x)^3 = 6^3 - 3 \cdot 6^2 \cdot x + 3 \cdot 6 \cdot x^2 - x^3 = 216 - 108x + 18x^2 - x^3$

Подставив это в выражение для $S(x)$, получим:

$S(x) = x^3 + (216 - 108x + 18x^2 - x^3)$

$S(x) = 18x^2 - 108x + 216$

Мы получили квадратичную функцию, график которой — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ (равный 18) положителен, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет точку минимума, но не имеет максимума на всей числовой оси. Если не накладывать на числа $x$ и $y$ никаких ограничений, то сумма их кубов может быть сколь угодно большой. Однако в таких задачах обычно подразумеваются неотрицательные числа, то есть $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Из условия $y \ge 0$ следует, что $6 - x \ge 0$, откуда $x \le 6$. Таким образом, мы ищем наибольшее значение функции $S(x)$ на отрезке $[0, 6]$.

Наибольшее значение непрерывной функции на отрезке достигается либо в критических точках, принадлежащих этому отрезку, либо на его концах. Найдем производную функции $S(x)$, чтобы определить критические точки:

$S'(x) = (18x^2 - 108x + 216)' = 36x - 108$

Приравняем производную к нулю:

$36x - 108 = 0$

$36x = 108$

$x = 3$

Критическая точка $x=3$ принадлежит отрезку $[0, 6]$. Эта точка является точкой минимума параболы, поэтому наибольшее значение функции будет достигаться на одном из концов отрезка.

Вычислим значения функции $S(x)$ на концах отрезка $[0, 6]$:

При $x=0$:
$S(0) = 18(0)^2 - 108(0) + 216 = 216$.
Если $x=0$, то $y = 6 - 0 = 6$.

При $x=6$:
$S(6) = 18(6)^2 - 108(6) + 216 = 18 \cdot 36 - 648 + 216 = 648 - 648 + 216 = 216$.
Если $x=6$, то $y = 6 - 6 = 0$.

Наибольшее значение суммы кубов равно 216. Это значение достигается, когда искомые числа равны 0 и 6.

Ответ: Число 6 следует представить в виде суммы чисел 0 и 6.