Страница 45 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

148. Число 6 представить в виде суммы таких двух чисел, сумма кубов которых наибольшая.

Пусть число 6 представлено в виде суммы двух чисел $x$ и $y$. Тогда выполняется равенство:

$x + y = 6$

Нам необходимо найти такие $x$ и $y$, чтобы сумма их кубов была наибольшей. Обозначим эту сумму как $S$:

$S = x^3 + y^3$

Для решения задачи выразим одну переменную через другую и подставим в выражение для $S$. Из первого уравнения получаем:

$y = 6 - x$

Теперь подставим это в формулу для $S$, чтобы получить функцию одной переменной:

$S(x) = x^3 + (6 - x)^3$

Раскроем скобки, используя формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:

$(6 - x)^3 = 6^3 - 3 \cdot 6^2 \cdot x + 3 \cdot 6 \cdot x^2 - x^3 = 216 - 108x + 18x^2 - x^3$

Подставив это в выражение для $S(x)$, получим:

$S(x) = x^3 + (216 - 108x + 18x^2 - x^3)$

$S(x) = 18x^2 - 108x + 216$

Мы получили квадратичную функцию, график которой — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ (равный 18) положителен, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет точку минимума, но не имеет максимума на всей числовой оси. Если не накладывать на числа $x$ и $y$ никаких ограничений, то сумма их кубов может быть сколь угодно большой. Однако в таких задачах обычно подразумеваются неотрицательные числа, то есть $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Из условия $y \ge 0$ следует, что $6 - x \ge 0$, откуда $x \le 6$. Таким образом, мы ищем наибольшее значение функции $S(x)$ на отрезке $[0, 6]$.

Наибольшее значение непрерывной функции на отрезке достигается либо в критических точках, принадлежащих этому отрезку, либо на его концах. Найдем производную функции $S(x)$, чтобы определить критические точки:

$S'(x) = (18x^2 - 108x + 216)' = 36x - 108$

Приравняем производную к нулю:

$36x - 108 = 0$

$36x = 108$

$x = 3$

Критическая точка $x=3$ принадлежит отрезку $[0, 6]$. Эта точка является точкой минимума параболы, поэтому наибольшее значение функции будет достигаться на одном из концов отрезка.

Вычислим значения функции $S(x)$ на концах отрезка $[0, 6]$:

При $x=0$:
$S(0) = 18(0)^2 - 108(0) + 216 = 216$.
Если $x=0$, то $y = 6 - 0 = 6$.

При $x=6$:
$S(6) = 18(6)^2 - 108(6) + 216 = 18 \cdot 36 - 648 + 216 = 648 - 648 + 216 = 216$.
Если $x=6$, то $y = 6 - 6 = 0$.

Наибольшее значение суммы кубов равно 216. Это значение достигается, когда искомые числа равны 0 и 6.

Ответ: Число 6 следует представить в виде суммы чисел 0 и 6.

149. С помощью графиков функций $y = x^2 - 2$ и $y = -2x + 1$ решить неравенство $x^2 - 2 \le -2x + 1$.

Для того чтобы решить неравенство $x^2 - 2 \le -2x + 1$ с помощью графиков, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: параболы $y = x^2 - 2$ и прямой $y = -2x + 1$. Решением неравенства будет множество значений $x$, для которых график параболы находится не выше (то есть ниже или на том же уровне) графика прямой.

Построение графика функции $y = x^2 - 2$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх. Она получена из графика $y = x^2$ путем сдвига на 2 единицы вниз вдоль оси OY. Вершина параболы находится в точке $(0, -2)$.

Построение графика функции $y = -2x + 1$.
Это прямая линия. Для ее построения достаточно найти координаты двух точек.
Если $x = 0$, то $y = -2(0) + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.
Если $x = 2$, то $y = -2(2) + 1 = -3$. Точка $(2, -3)$.

Нахождение точек пересечения и решение неравенства.
Построив оба графика, мы ищем точки их пересечения. Для этого приравняем правые части уравнений функций:
$x^2 - 2 = -2x + 1$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а их произведение равно $-3$. Следовательно, корни уравнения:
$x_1 = -3$
$x_2 = 1$
Это абсциссы точек пересечения графиков.

Теперь посмотрим на графики. Парабола $y = x^2 - 2$ находится ниже или на уровне прямой $y = -2x + 1$ на промежутке между точками их пересечения. Поскольку неравенство является нестрогим ($\le$), сами точки пересечения, то есть $x = -3$ и $x = 1$, включаются в решение.

Таким образом, решением неравенства является отрезок от $-3$ до $1$.

Ответ: $x \in [-3, 1]$.

150. С помощью графиков найти значения $x$, при которых значения функции $y = 2x^2 - 1$ меньше значений функции $y = 5 - x$.

Для того чтобы с помощью графиков найти значения $x$, при которых значения функции $y = 2x^2 - 1$ меньше значений функции $y = 5 - x$, необходимо решить неравенство $2x^2 - 1 < 5 - x$ графическим методом. Для этого построим графики обеих функций в одной системе координат и определим, на каком интервале оси $x$ график функции $y = 2x^2 - 1$ лежит ниже графика функции $y = 5 - x$.

Построение графиков
1. График функции $y = 2x^2 - 1$ — это парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($2 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_0 = -\frac{b}{2a} = 0$, ордината вершины $y_0 = 2(0)^2 - 1 = -1$. Таким образом, вершина параболы — точка $(0, -1)$.
2. График функции $y = 5 - x$ — это прямая. Для ее построения найдем две точки:
- при $x=0$, $y=5$ (точка $(0,5)$)
- при $x=5$, $y=0$ (точка $(5,0)$).

Нахождение точек пересечения
Чтобы найти точки пересечения графиков, необходимо приравнять их правые части и решить полученное уравнение:
$2x^2 - 1 = 5 - x$
Перенесем все члены в левую часть:
$2x^2 + x - 6 = 0$
Решим это квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$
Найдем корни уравнения, которые являются абсциссами точек пересечения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 7}{4} = -2$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$

Анализ расположения графиков
Графики пересекаются в точках с абсциссами $x=-2$ и $x=1.5$. Поскольку парабола $y = 2x^2 - 1$ имеет ветви, направленные вверх, ее значения будут меньше значений линейной функции $y=5-x$ на интервале между точками пересечения. Так как неравенство строгое ($<$), сами точки пересечения не включаются в решение.
Следовательно, искомые значения $x$ принадлежат интервалу от $-2$ до $1.5$.

Ответ: $x \in (-2; 1.5)$

151. Построить график функции:

1) $y = |x^2 - 1|;$

2) $y = |4 - x^2|;$

3) $y = |(x - 1)(x + 3)|;$

4) $y = |x(x - 2)|;$

5) $y = x^2 - 2|x| - 3;$

6) $y = x^2 + |x| - 2.$

1) y = |x² - 1|;

Для построения графика функции $y = |x^2 - 1|$ необходимо выполнить следующие шаги:
1. Построить график параболы $y = x^2 - 1$. Это стандартная парабола $y = x^2$, смещенная на 1 единицу вниз по оси Oy.
- Вершина параболы находится в точке $(0, -1)$.
- Корни (точки пересечения с осью Ox) находятся из уравнения $x^2 - 1 = 0$, то есть $x = 1$ и $x = -1$.
2. Применить операцию модуля ко всей функции. Это означает, что часть графика, которая находится ниже оси Ox (где значения $y$ отрицательны), должна быть симметрично отражена относительно оси Ox.
- Участок параболы между $x = -1$ и $x = 1$ лежит ниже оси Ox.
- Этот участок отражается вверх. Таким образом, для $x \in (-1, 1)$ график будет соответствовать функции $y = -(x^2 - 1) = 1 - x^2$. Вершина в точке $(0, -1)$ перейдет в точку $(0, 1)$.
- Части графика при $x \le -1$ и $x \ge 1$ остаются без изменений, так как на этих интервалах $x^2 - 1 \ge 0$.

Ответ: График состоит из двух частей параболы $y = x^2 - 1$ на интервалах $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$, и части параболы $y = 1 - x^2$ на интервале $(-1, 1)$.

2) y = |4 - x²|;

Построение графика функции $y = |4 - x^2|$ аналогично предыдущему пункту:
1. Построить график параболы $y = 4 - x^2$. Это парабола $y = -x^2$ (ветви направлены вниз), смещенная на 4 единицы вверх по оси Oy.
- Вершина параболы находится в точке $(0, 4)$.
- Корни (точки пересечения с осью Ox) находятся из уравнения $4 - x^2 = 0$, то есть $x = 2$ и $x = -2$.
2. Применить операцию модуля. Часть графика, лежащая ниже оси Ox, отражается относительно этой оси.
- Парабола $y = 4 - x^2$ принимает отрицательные значения при $x < -2$ и $x > 2$.
- На этих интервалах график будет соответствовать функции $y = -(4 - x^2) = x^2 - 4$.
- Часть графика на интервале $[-2, 2]$ остается без изменений, так как здесь $4 - x^2 \ge 0$.

Ответ: График состоит из части параболы $y = 4 - x^2$ на интервале $[-2, 2]$ и частей параболы $y = x^2 - 4$ на интервалах $(-\infty, -2)$ и $(2, +\infty)$.

3) y = |(x - 1)(x + 3)|;

1. Сначала построим график функции под модулем: $y = (x - 1)(x + 3)$. Раскроем скобки: $y = x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3$. Это парабола, ветви которой направлены вверх.
- Корни уравнения $(x - 1)(x + 3) = 0$ равны $x = 1$ и $x = -3$. Это точки пересечения с осью Ox.
- Координата x вершины параболы: $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2} = -1$.
- Координата y вершины: $y_v = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$. Вершина находится в точке $(-1, -4)$.
2. Теперь применим модуль ко всей функции: $y = |x^2 + 2x - 3|$. Часть графика, где $y < 0$, симметрично отражается относительно оси Ox.
- Функция отрицательна между корнями, то есть на интервале $(-3, 1)$.
- Этот участок отражается вверх, и его уравнение становится $y = -(x^2 + 2x - 3) = -x^2 - 2x + 3$. Вершина $(-1, -4)$ переходит в точку $(-1, 4)$.
- На интервалах $(-\infty, -3]$ и $[1, +\infty)$ график остается неизменным.

Ответ: График состоит из частей параболы $y = x^2 + 2x - 3$ на интервалах $(-\infty, -3]$ и $[1, +\infty)$, и части параболы $y = -x^2 - 2x + 3$ на интервале $(-3, 1)$.

4) y = |x(x - 2)|;

1. Построим график функции $y = x(x - 2) = x^2 - 2x$. Это парабола с ветвями вверх.
- Корни уравнения $x(x - 2) = 0$ равны $x = 0$ и $x = 2$.
- Координата x вершины: $x_v = \frac{-(-2)}{2 \cdot 1} = 1$.
- Координата y вершины: $y_v = 1^2 - 2(1) = -1$. Вершина находится в точке $(1, -1)$.
2. Применим модуль: $y = |x^2 - 2x|$. Отразим отрицательную часть графика ($y < 0$) относительно оси Ox.
- Функция отрицательна на интервале $(0, 2)$.
- На этом интервале график будет соответствовать функции $y = -(x^2 - 2x) = -x^2 + 2x$. Вершина $(1, -1)$ перейдет в точку $(1, 1)$.
- На интервалах $(-\infty, 0]$ и $[2, +\infty)$ график не изменится.

Ответ: График состоит из частей параболы $y = x^2 - 2x$ на интервалах $(-\infty, 0]$ и $[2, +\infty)$, и части параболы $y = -x^2 + 2x$ на интервале $(0, 2)$.

5) y = x² - 2|x| - 3;

Данная функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^2 - 2|-x| - 3 = x^2 - 2|x| - 3 = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy. Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и затем отразить его симметрично относительно оси Oy.
1. Рассмотрим случай $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$, и функция принимает вид $y = x^2 - 2x - 3$.
- Это парабола с ветвями вверх. Ее вершина находится в точке с абсциссой $x_v = \frac{-(-2)}{2 \cdot 1} = 1$. Ордината вершины $y_v = 1^2 - 2(1) - 3 = -4$. Точка $(1, -4)$.
- Найдем пересечение с осью Ox: $x^2 - 2x - 3 = 0$, корни $x=3$ и $x=-1$. Так как мы рассматриваем $x \ge 0$, нас интересует только корень $x=3$.
- Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $y = -3$.
- Таким образом, для $x \ge 0$ строим часть параболы с вершиной в $(1, -4)$, проходящую через точки $(0, -3)$ и $(3, 0)$.
2. Отображаем построенную часть графика симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график для $x < 0$.
- Вершина $(1, -4)$ отобразится в точку $(-1, -4)$.
- Точка пересечения с осью Ox $(3, 0)$ отобразится в точку $(-3, 0)$.
- Для $x < 0$ функция имеет вид $y = x^2 + 2x - 3$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy. Он состоит из части параболы $y = x^2 - 2x - 3$ для $x \ge 0$ и части параболы $y = x^2 + 2x - 3$ для $x < 0$. График имеет форму "W" с двумя минимумами в точках $(1, -4)$ и $(-1, -4)$.

6) y = x² + |x| - 2.

Эта функция также является четной, так как $x^2 = |x|^2$, и ее можно записать как $y = |x|^2 + |x| - 2$. График симметричен относительно оси Oy.
1. Построим график для $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$, и функция имеет вид $y = x^2 + x - 2$.
- Это парабола с ветвями вверх.
- Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $y = -2$. Это будет точка минимума всего графика.
- Найдем пересечение с осью Ox: $x^2 + x - 2 = 0$, корни $x=1$ и $x=-2$. Так как мы рассматриваем $x \ge 0$, берем только корень $x=1$.
- Вершина параболы $y = x^2 + x - 2$ находится в точке $x_v = \frac{-1}{2 \cdot 1} = -0.5$, которая не входит в область $x \ge 0$. На промежутке $[0, +\infty)$ функция возрастает.
- Итак, для $x \ge 0$ строим часть параболы, выходящую из точки $(0, -2)$ и проходящую через точку $(1, 0)$.
2. Отражаем полученный график симметрично относительно оси Oy.
- Точка пересечения $(1, 0)$ отобразится в точку $(-1, 0)$.
- Для $x < 0$ функция имеет вид $y = x^2 - x - 2$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy. Он состоит из части параболы $y = x^2 + x - 2$ для $x \ge 0$ и части параболы $y = x^2 - x - 2$ для $x < 0$. Минимальное значение функция достигает в точке $(0, -2)$.