Страница 39 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

116. Сумма двух чисел равна $9\frac{1}{2}$, а их произведение равно 12.
Найти эти числа.

Обозначим искомые числа как x и y. Согласно условию задачи, мы можем составить систему уравнений:

$x + y = 9\frac{1}{2}$

$x \cdot y = 12$

Эта задача может быть решена с помощью теоремы, обратной теореме Виета. Согласно ей, числа x и y являются корнями некоторого квадратного уравнения вида $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Для начала, преобразуем смешанное число $9\frac{1}{2}$ в неправильную дробь:

$9\frac{1}{2} = \frac{9 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{19}{2}$

Теперь подставим известные значения суммы и произведения в шаблон квадратного уравнения:

$t^2 - \frac{19}{2}t + 12 = 0$

Чтобы избавиться от дроби в коэффициенте, умножим обе части уравнения на 2:

$2t^2 - 19t + 24 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант (D) по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=2$, $b=-19$, $c=24$:

$D = (-19)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 24 = 361 - 192 = 169$

Корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$

Найдем корни уравнения $t_1$ и $t_2$ по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{-(-19) + 13}{2 \cdot 2} = \frac{19 + 13}{4} = \frac{32}{4} = 8$

$t_2 = \frac{-(-19) - 13}{2 \cdot 2} = \frac{19 - 13}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Следовательно, искомые числа — это 8 и $\frac{3}{2}$.

Проверим найденные значения:

Сумма: $8 + \frac{3}{2} = \frac{16}{2} + \frac{3}{2} = \frac{19}{2} = 9\frac{1}{2}$.

Произведение: $8 \cdot \frac{3}{2} = \frac{24}{2} = 12$.

Оба условия задачи выполняются.

Ответ: 8 и $\frac{3}{2}$.

117. Одно из двух чисел на 5 больше другого, а их удвоенное произведение равно 5,5. Найти оба числа.

Пусть одно из чисел равно $x$. Так как другое число на 5 больше, то оно будет равно $x + 5$.

По условию задачи, их удвоенное произведение равно 5,5. Составим и решим уравнение: $2 \cdot x \cdot (x + 5) = 5,5$

Разделим обе части уравнения на 2: $x(x + 5) = 2,75$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение в стандартный вид квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$: $x^2 + 5x = 2,75$ $x^2 + 5x - 2,75 = 0$

Чтобы упростить вычисления, можно умножить все уравнение на 4 и избавиться от десятичной дроби: $4(x^2 + 5x - 2,75) = 4 \cdot 0$ $4x^2 + 20x - 11 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=4$, $b=20$, $c=-11$: $D = 20^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-11) = 400 + 176 = 576$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_1 = \frac{-20 + \sqrt{576}}{2 \cdot 4} = \frac{-20 + 24}{8} = \frac{4}{8} = 0,5$ $x_2 = \frac{-20 - \sqrt{576}}{2 \cdot 4} = \frac{-20 - 24}{8} = \frac{-44}{8} = -5,5$

Мы нашли два возможных значения для первого числа. Теперь для каждого из них найдем второе число:

1. Если первое число равно $0,5$, то второе число равно $0,5 + 5 = 5,5$.

2. Если первое число равно $-5,5$, то второе число равно $-5,5 + 5 = -0,5$.

Таким образом, существуют две пары чисел, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: 0,5 и 5,5; или -5,5 и -0,5.

118. Одно число на 7 меньше другого, а 20% от их произведения равны 12. Найти эти числа.

Пусть одно из чисел равно $x$. Поскольку второе число на 7 меньше, то оно будет равно $x-7$.

Произведение этих двух чисел равно $x(x-7)$.

По условию задачи, 20% от этого произведения равны 12. Переведем проценты в десятичную дробь: $20\% = 0.2$.

Теперь мы можем составить уравнение:

$0.2 \cdot x(x-7) = 12$

Для упрощения решения разделим обе части уравнения на 0.2 (что равносильно умножению на 5):

$x(x-7) = \frac{12}{0.2}$

$x(x-7) = 60$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 7x = 60$

$x^2 - 7x - 60 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 17}{2}$

Вычислим оба корня:

$x_1 = \frac{7 + 17}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{7 - 17}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Мы нашли два возможных значения для первого числа. Теперь необходимо найти соответствующее второе число для каждого из случаев.

Случай 1: Если первое число равно 12.

Тогда второе число равно $12 - 7 = 5$.

Проверка: разница чисел $12 - 5 = 7$. Произведение $12 \cdot 5 = 60$. 20% от 60 это $0.2 \cdot 60 = 12$. Эта пара чисел удовлетворяет условию.

Случай 2: Если первое число равно -5.

Тогда второе число равно $-5 - 7 = -12$.

Проверка: разница чисел $-5 - (-12) = 7$. Произведение $(-5) \cdot (-12) = 60$. 20% от 60 это $0.2 \cdot 60 = 12$. Эта пара чисел также удовлетворяет условию.

Таким образом, задача имеет два набора решений.

Ответ: 12 и 5; или -5 и -12.

119. Расстояние от города до деревни 36 км. Один из велосипедистов преодолел его на 1 ч быстрее другого. Найти скорости велосипедистов, если скорость одного из них на 6 км/ч больше скорости другого.

Пусть скорость одного (более медленного) велосипедиста равна $x$ км/ч. Тогда скорость другого (более быстрого) велосипедиста равна $(x + 6)$ км/ч, так как по условию она на 6 км/ч больше.

Расстояние от города до деревни составляет 36 км. Время, которое затратил на этот путь первый (медленный) велосипедист, равно $t_1 = \frac{36}{x}$ ч. Время, которое затратил второй (быстрый) велосипедист, равно $t_2 = \frac{36}{x+6}$ ч.

Известно, что один из велосипедистов преодолел расстояние на 1 час быстрее другого. Это означает, что разница во времени их движения составляет 1 час. Так как второй велосипедист движется быстрее, его время в пути будет меньше. Составим уравнение, вычитая из времени более медленного велосипедиста время более быстрого:

$t_1 - t_2 = 1$

$\frac{36}{x} - \frac{36}{x+6} = 1$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+6)$ и умножим обе части уравнения на него, учитывая, что $x > 0$ (скорость не может быть отрицательной или равной нулю):

$36(x+6) - 36x = x(x+6)$

Раскроем скобки:

$36x + 216 - 36x = x^2 + 6x$

Приведем подобные члены и получим квадратное уравнение:

$x^2 + 6x - 216 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-216) = 36 + 864 = 900$

$\sqrt{D} = \sqrt{900} = 30$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-6 + 30}{2 \cdot 1} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-6 - 30}{2 \cdot 1} = \frac{-36}{2} = -18$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -18$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость медленного велосипедиста равна 12 км/ч.

Теперь найдем скорость второго, более быстрого велосипедиста:

$x + 6 = 12 + 6 = 18$ км/ч.

Проверим: время медленного велосипедиста $36 / 12 = 3$ ч, время быстрого велосипедиста $36 / 18 = 2$ ч. Разница во времени $3 - 2 = 1$ час, что соответствует условию задачи.

Ответ: скорость одного велосипедиста 12 км/ч, а скорость другого — 18 км/ч.

120. Моторная лодка проплыла по течению реки до ближайшей пристани 22 км и после двухчасовой стоянки вернулась обратно. Найти скорость лодки в стоячей воде, если на весь путь ушло 8,4 ч, а скорость течения реки 3 км/ч.

Для решения задачи введем переменную $x$ – искомая скорость лодки в стоячей воде (собственная скорость лодки) в км/ч.

Согласно условию, нам известны:

• расстояние в одну сторону $S = 22$ км;
• скорость течения реки $v_{теч} = 3$ км/ч;
• время стоянки $t_{стоянки} = 2$ ч;
• общее время, затраченное на весь путь, $t_{общ} = 8,4$ ч.

Сначала определим время, которое лодка непосредственно находилась в движении. Для этого вычтем время стоянки из общего времени:

$t_{движ} = t_{общ} - t_{стоянки} = 8,4 - 2 = 6,4$ ч.

Скорость лодки при движении по течению реки складывается из ее собственной скорости и скорости течения:

$v_{по\;теч} = x + v_{теч} = x + 3$ км/ч.

Скорость лодки при движении против течения реки равна разности ее собственной скорости и скорости течения:

$v_{против\;теч} = x - v_{теч} = x - 3$ км/ч.

Чтобы лодка могла вернуться, ее собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 3$.

Время, затраченное на путь по течению, можно найти по формуле $t = S/v$:

$t_{по\;теч} = \frac{S}{v_{по\;теч}} = \frac{22}{x + 3}$ ч.

Время, затраченное на обратный путь против течения:

$t_{против\;теч} = \frac{S}{v_{против\;теч}} = \frac{22}{x - 3}$ ч.

Общее время движения лодки является суммой времени движения по течению и против течения:

$t_{движ} = t_{по\;теч} + t_{против\;теч}$

Составим уравнение, подставив известные и выраженные величины:

$6,4 = \frac{22}{x + 3} + \frac{22}{x - 3}$

Решим полученное уравнение. Приведем правую часть к общему знаменателю $(x+3)(x-3)$:

$6,4 = \frac{22(x - 3) + 22(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)}$

$6,4 = \frac{22x - 66 + 22x + 66}{x^2 - 9}$

$6,4 = \frac{44x}{x^2 - 9}$

Воспользуемся свойством пропорции:

$6,4(x^2 - 9) = 44x$

$6,4x^2 - 57,6 = 44x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$6,4x^2 - 44x - 57,6 = 0$

Для удобства вычислений умножим все уравнение на 10:

$64x^2 - 440x - 576 = 0$

Можно заметить, что все коэффициенты делятся на 8. Разделим уравнение на 8 для его упрощения:

$8x^2 - 55x - 72 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$a = 8$, $b = -55$, $c = -72$

$D = (-55)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-72) = 3025 + 2304 = 5329$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{5329} = 73$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{55 + 73}{2 \cdot 8} = \frac{128}{16} = 8$

$x_2 = \frac{55 - 73}{2 \cdot 8} = \frac{-18}{16} = -1,125$

Скорость лодки не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2 = -1,125$ не соответствует условию задачи. Корень $x_1 = 8$ удовлетворяет условию $x > 3$.

Таким образом, скорость лодки в стоячей воде составляет 8 км/ч.

Выполним проверку:
Скорость по течению: $8 + 3 = 11$ км/ч.
Время в пути по течению: $22 / 11 = 2$ ч.
Скорость против течения: $8 - 3 = 5$ км/ч.
Время в пути против течения: $22 / 5 = 4,4$ ч.
Общее время с учетом стоянки: $2 + 4,4 + 2 = 8,4$ ч.
Полученное время совпадает с условием, следовательно, задача решена верно.

Ответ: 8 км/ч.

121. Две бригады, работая вместе, выполнили работу за 12 дней. Сколько дней потребовалось бы каждой бригаде на выполнение этой работы, если одной из них на это требуется на 10 дней меньше, чем другой?

Примем всю работу за 1 (единицу).

Пусть $x$ — это количество дней, за которое может выполнить всю работу одна из бригад (назовем ее второй, более медленной). Тогда ее производительность (часть работы, выполняемая за один день) составляет $\frac{1}{x}$.

По условию задачи, другой (первой, более быстрой) бригаде на выполнение этой работы требуется на 10 дней меньше, то есть $x-10$ дней. Соответственно, ее производительность равна $\frac{1}{x-10}$.

Работая вместе, бригады выполнили работу за 12 дней. Их совместная производительность равна сумме их индивидуальных производительностей, а также равна $\frac{1}{12}$ (так как вся работа выполнена за 12 дней).

Составим уравнение, приравняв сумму производительностей к их совместной производительности:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x-10} = \frac{1}{12}$

Для решения уравнения необходимо, чтобы $x \neq 0$ и $x \neq 10$. Поскольку $x$ — это количество дней, оно должно быть положительным. Кроме того, так как $x-10$ также является количеством дней, то $x-10 > 0$, следовательно, $x > 10$.

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $x(x-10)$:
$\frac{x-10+x}{x(x-10)} = \frac{1}{12}$
$\frac{2x-10}{x^2-10x} = \frac{1}{12}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$12(2x-10) = 1(x^2-10x)$
$24x-120 = x^2-10x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:
$x^2-10x-24x+120=0$
$x^2-34x+120=0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант.
Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2-4ac = (-34)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 1156 - 480 = 676$
$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{34 + 26}{2 \cdot 1} = \frac{60}{2} = 30$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{34 - 26}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$

Теперь проверим корни на соответствие условию $x > 10$.
Корень $x_1=30$ удовлетворяет этому условию ($30 > 10$).
Корень $x_2=4$ не удовлетворяет этому условию ($4 \ngtr 10$), поэтому он является посторонним и не может быть решением задачи.

Итак, время выполнения работы одной (более медленной) бригадой составляет 30 дней.
Тогда время выполнения работы другой (более быстрой) бригадой составляет $x-10 = 30-10=20$ дней.

Ответ: одной бригаде для выполнения работы потребовалось бы 20 дней, а другой — 30 дней.

122. При одновременной работе двух труб бассейн наполняется за 7 ч 18 мин. За какое время наполняется бассейн каждой трубой в отдельности, если через одну трубу он наполняется на 6 ч быстрее, чем через другую?

Это задача на совместную работу. Для ее решения примем весь объем бассейна за 1. Обозначим время, необходимое для наполнения бассейна каждой трубой в отдельности, через переменные.

Пусть $x$ часов — время, за которое бассейн наполняет более медленная труба. Тогда, согласно условию, более быстрая труба наполняет бассейн за $(x-6)$ часов. Важно отметить, что время работы не может быть отрицательным, поэтому $x-6 > 0$, следовательно, $x > 6$.

Производительность (скорость наполнения) медленной трубы составляет $\frac{1}{x}$ бассейна в час, а производительность быстрой трубы — $\frac{1}{x-6}$ бассейна в час.

При одновременной работе их производительности складываются, и общая производительность равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{x-6}$ бассейна в час.

Время совместной работы составляет 7 ч 18 мин. Переведем это значение в часы для удобства вычислений:

$18 \text{ мин} = \frac{18}{60} \text{ ч} = \frac{3}{10} \text{ ч} = 0.3 \text{ ч}$

Таким образом, общее время работы $T = 7 + 0.3 = 7.3 = \frac{73}{10}$ часа.

Общая производительность также может быть выражена как $\frac{1}{T}$. Следовательно, $\frac{1}{73/10} = \frac{10}{73}$ бассейна в час.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для общей производительности:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x-6} = \frac{10}{73}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{x-6+x}{x(x-6)} = \frac{10}{73}$

$\frac{2x-6}{x^2-6x} = \frac{10}{73}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$73(2x-6) = 10(x^2-6x)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$146x - 438 = 10x^2 - 60x$

$10x^2 - 60x - 146x + 438 = 0$

$10x^2 - 206x + 438 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:

$5x^2 - 103x + 219 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-103)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 219 = 10609 - 4380 = 6229$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{103 \pm \sqrt{6229}}{2 \cdot 5} = \frac{103 \pm \sqrt{6229}}{10}$

Мы получили два корня:

$x_1 = \frac{103 + \sqrt{6229}}{10}$ и $x_2 = \frac{103 - \sqrt{6229}}{10}$

Оценим значение $\sqrt{6229}$. Так как $78^2=6084$ и $79^2=6241$, то $\sqrt{6229} \approx 78.9$.

$x_1 \approx \frac{103+78.9}{10} \approx 18.19$

$x_2 \approx \frac{103-78.9}{10} \approx 2.41$

Вспомним, что у нас есть ограничение $x>6$. Корень $x_2 \approx 2.41$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним. Единственное подходящее решение — $x_1$.

Итак, время наполнения бассейна медленной трубой равно $x = \frac{103 + \sqrt{6229}}{10}$ часов.

Время наполнения бассейна быстрой трубой равно $x-6$:

$x-6 = \frac{103 + \sqrt{6229}}{10} - 6 = \frac{103 + \sqrt{6229} - 60}{10} = \frac{43 + \sqrt{6229}}{10}$ часов.

Ответ: более быстрая труба наполняет бассейн за $\frac{43 + \sqrt{6229}}{10}$ часов, а более медленная — за $\frac{103 + \sqrt{6229}}{10}$ часов.

123. Пусть $x=2$—корень уравнения $2x^2+px-2=0$. Найти $p$ и разложить левую часть уравнения на множители.

Поскольку $x=2$ является корнем уравнения $2x^2+px-2=0$, это означает, что при подстановке данного значения $x$ в уравнение, мы получим верное числовое равенство.

Найти p

Подставим значение $x=2$ в уравнение $2x^2+px-2=0$:

$2 \cdot (2)^2 + p \cdot 2 - 2 = 0$

Выполним арифметические операции:

$2 \cdot 4 + 2p - 2 = 0$

$8 + 2p - 2 = 0$

$6 + 2p = 0$

Решим полученное линейное уравнение относительно $p$:

$2p = -6$

$p = \frac{-6}{2}$

$p = -3$

Ответ: $p = -3$.

Разложить левую часть уравнения на множители

Теперь, когда мы нашли значение $p=-3$, исходное уравнение принимает вид:

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

Чтобы разложить на множители левую часть уравнения, то есть квадратный трёхчлен $2x^2 - 3x - 2$, воспользуемся формулой разложения $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения.

Один корень нам уже известен по условию: $x_1 = 2$. Найдём второй корень $x_2$.

Способ 1: С помощью теоремы Виета

Для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$. В нашем случае $a=2$ и $c=-2$.

$2 \cdot x_2 = \frac{-2}{2}$

$2x_2 = -1$

$x_2 = -\frac{1}{2}$

Способ 2: Через дискриминант

Для уравнения $2x^2 - 3x - 2 = 0$ с коэффициентами $a=2, b=-3, c=-2$ найдём дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$

$x_1 = \frac{3+5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{3-5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Теперь, зная оба корня ($x_1=2$ и $x_2=-\frac{1}{2}$) и коэффициент $a=2$, подставляем их в формулу разложения:

$2x^2 - 3x - 2 = 2(x - 2)(x - (-\frac{1}{2})) = 2(x-2)(x+\frac{1}{2})$

Для удобства умножим второй множитель в скобках на коэффициент 2:

$(x-2) \cdot 2(x+\frac{1}{2}) = (x-2)(2x+1)$

Ответ: $2x^2 - 3x - 2 = (x-2)(2x+1)$.

124. Пусть $x = -5$ — корень уравнения $3x^2 + 10x + q = 0$. Найти $q$ и разложить левую часть уравнения на множители.

Найти q

Поскольку $x = -5$ является корнем уравнения $3x^2 + 10x + q = 0$, это значение должно удовлетворять уравнению. Подставим $x = -5$ в уравнение, чтобы найти значение $q$.

$3 \cdot (-5)^2 + 10 \cdot (-5) + q = 0$
$3 \cdot 25 - 50 + q = 0$
$75 - 50 + q = 0$
$25 + q = 0$

Решая это простое уравнение относительно $q$, получаем:
$q = -25$

Ответ: $q = -25$.

Разложить левую часть уравнения на множители

Теперь, когда мы знаем значение $q$, уравнение имеет вид $3x^2 + 10x - 25 = 0$. Левая часть этого уравнения представляет собой квадратный трехчлен.
Разложение квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ на множители выполняется по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения.

Один корень нам известен из условия: $x_1 = -5$. Найдем второй корень $x_2$. Это можно сделать с помощью теоремы Виета или решив квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета. Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$.
В нашем случае $a=3$, $b=10$, $c=-25$.

$x_1 + x_2 = -\frac{10}{3}$
$-5 + x_2 = -\frac{10}{3}$
$x_2 = 5 - \frac{10}{3} = \frac{15}{3} - \frac{10}{3} = \frac{5}{3}$

Теперь у нас есть оба корня: $x_1 = -5$ и $x_2 = \frac{5}{3}$. Подставим их в формулу разложения на множители:
$3x^2 + 10x - 25 = a(x - x_1)(x - x_2) = 3(x - (-5))(x - \frac{5}{3})$
$= 3(x + 5)(x - \frac{5}{3})$

Для получения более простого вида разложения, умножим множитель $3$ на вторую скобку:
$(x + 5) \cdot 3(x - \frac{5}{3}) = (x + 5)(3x - 3 \cdot \frac{5}{3}) = (x + 5)(3x - 5)$

Ответ: $3x^2 + 10x - 25 = (x + 5)(3x - 5)$.

125. Разложить на множители многочлен:

1) $a^4 - 7a^2 - 18;$

2) $a^4 - 9a^2 + 20.$

1) $a^4 - 7a^2 - 18$

Данный многочлен является биквадратным. Для его разложения на множители введем замену переменной.
Пусть $x = a^2$. Тогда, так как $a^4 = (a^2)^2 = x^2$, исходное выражение примет вид квадратного трехчлена относительно переменной $x$:

$x^2 - 7x - 18$

Теперь разложим этот квадратный трехчлен на множители. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 7x - 18 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней равна $7$, а их произведение равно $-18$. Подбором находим корни:
$x_1 = 9$
$x_2 = -2$
Проверка: $9 + (-2) = 7$, $9 \cdot (-2) = -18$. Корни найдены верно.

Разложение квадратного трехчлена имеет вид $k(x-x_1)(x-x_2)$, где $k$ - старший коэффициент. В нашем случае $k=1$, поэтому:
$x^2 - 7x - 18 = (x - 9)(x - (-2)) = (x - 9)(x + 2)$.

Теперь вернемся к исходной переменной $a$, выполнив обратную замену $x = a^2$:
$(a^2 - 9)(a^2 + 2)$

Первый множитель $(a^2 - 9)$ можно разложить по формуле разности квадратов $u^2 - v^2 = (u - v)(u + v)$:
$a^2 - 9 = a^2 - 3^2 = (a - 3)(a + 3)$

Второй множитель $(a^2 + 2)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Таким образом, окончательное разложение многочлена на множители выглядит так:
$(a - 3)(a + 3)(a^2 + 2)$

Ответ: $(a - 3)(a + 3)(a^2 + 2)$

2) $a^4 - 9a^2 + 20$

Это также биквадратный многочлен. Применим тот же метод замены переменной.
Пусть $x = a^2$. Тогда многочлен принимает вид:

$x^2 - 9x + 20$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 9x + 20 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна $9$, а произведение равно $20$. Легко подобрать корни:
$x_1 = 4$
$x_2 = 5$
Проверка: $4 + 5 = 9$, $4 \cdot 5 = 20$. Корни верны.

Разложим квадратный трехчлен на множители:
$x^2 - 9x + 20 = (x - 4)(x - 5)$

Выполним обратную замену $x = a^2$:
$(a^2 - 4)(a^2 - 5)$

Оба множителя представляют собой разность квадратов и могут быть разложены дальше по формуле $u^2 - v^2 = (u - v)(u + v)$.
Первый множитель: $a^2 - 4 = a^2 - 2^2 = (a - 2)(a + 2)$.
Второй множитель: $a^2 - 5 = a^2 - (\sqrt{5})^2 = (a - \sqrt{5})(a + \sqrt{5})$.

Собираем все множители вместе:
$(a - 2)(a + 2)(a - \sqrt{5})(a + \sqrt{5})$

Ответ: $(a - 2)(a + 2)(a - \sqrt{5})(a + \sqrt{5})$

126. Решить систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 - 2y - 2 = 0, \\ x^2 + y^2 - 5 = 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - 2xy + y^2 = 4, \\ xy = 3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x - y = 17, \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x - y = 40, \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 20. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 - 2y - 2 = 0 \\ x^2 + y^2 - 5 = 0 \end{cases} $
Выразим $x^2$ из первого уравнения:
$x^2 = 2y + 2$
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$(2y + 2) + y^2 - 5 = 0$
Упростим и получим квадратное уравнение относительно $y$:
$y^2 + 2y - 3 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $-2$, а произведение равно $-3$. Корни:
$y_1 = 1$
$y_2 = -3$
Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого значения $y$.
1. При $y = 1$:
$x^2 = 2(1) + 2 = 4$
$x = \pm\sqrt{4}$, то есть $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Получаем две пары решений: $(2, 1)$ и $(-2, 1)$.
2. При $y = -3$:
$x^2 = 2(-3) + 2 = -6 + 2 = -4$
Уравнение $x^2 = -4$ не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(2, 1), (-2, 1)$.

2)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 - 2xy + y^2 = 4 \\ xy = 3 \end{cases} $
Заметим, что левая часть первого уравнения является полным квадратом разности:
$x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$
Тогда первое уравнение принимает вид:
$(x - y)^2 = 4$
Отсюда следует, что $x - y = 2$ или $x - y = -2$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1:
$ \begin{cases} x - y = 2 \\ xy = 3 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $x = y + 2$ и подставим во второе:
$(y + 2)y = 3$
$y^2 + 2y - 3 = 0$
Корни этого уравнения: $y_1 = 1$, $y_2 = -3$.
Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 1 + 2 = 3$. Решение: $(3, 1)$.
Если $y_2 = -3$, то $x_2 = -3 + 2 = -1$. Решение: $(-1, -3)$.
Случай 2:
$ \begin{cases} x - y = -2 \\ xy = 3 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $x = y - 2$ и подставим во второе:
$(y - 2)y = 3$
$y^2 - 2y - 3 = 0$
Корни этого уравнения: $y_3 = 3$, $y_4 = -1$.
Если $y_3 = 3$, то $x_3 = 3 - 2 = 1$. Решение: $(1, 3)$.
Если $y_4 = -1$, то $x_4 = -1 - 2 = -3$. Решение: $(-3, -1)$.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем четыре пары.

Ответ: $(3, 1), (-1, -3), (1, 3), (-3, -1)$.

3)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x - y = 17 \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1 \end{cases} $
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ge 0$ и $y \ge 0$.
Первое уравнение можно представить как разность квадратов:
$x - y = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$
Подставим в это выражение известные значения из системы:
$17 = (1)(\sqrt{x} + \sqrt{y})$
Отсюда получаем:
$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 17$
Теперь у нас есть новая, более простая система уравнений:
$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 17 \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1 \end{cases} $
Сложим эти два уравнения:
$(\sqrt{x} + \sqrt{y}) + (\sqrt{x} - \sqrt{y}) = 17 + 1$
$2\sqrt{x} = 18$
$\sqrt{x} = 9$
Возведем в квадрат, чтобы найти $x$:
$x = 9^2 = 81$
Подставим значение $\sqrt{x} = 9$ в первое уравнение новой системы:
$9 + \sqrt{y} = 17$
$\sqrt{y} = 17 - 9 = 8$
Возведем в квадрат, чтобы найти $y$:
$y = 8^2 = 64$
Проверим найденное решение $(81, 64)$ в исходной системе. $81 - 64 = 17$ (верно), $\sqrt{81} - \sqrt{64} = 9 - 8 = 1$ (верно).

Ответ: $(81, 64)$.

4)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x - y = 40 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 20 \end{cases} $
ОДЗ: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.
Используем формулу разности квадратов для первого уравнения:
$x - y = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$
Подставим известные значения из системы:
$40 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(20)$
Разделим обе части на 20, чтобы найти $\sqrt{x} - \sqrt{y}$:
$\sqrt{x} - \sqrt{y} = \frac{40}{20} = 2$
Получаем новую систему:
$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 20 \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 2 \end{cases} $
Сложим эти два уравнения:
$(\sqrt{x} + \sqrt{y}) + (\sqrt{x} - \sqrt{y}) = 20 + 2$
$2\sqrt{x} = 22$
$\sqrt{x} = 11$
$x = 11^2 = 121$
Подставим $\sqrt{x} = 11$ в первое уравнение новой системы:
$11 + \sqrt{y} = 20$
$\sqrt{y} = 20 - 11 = 9$
$y = 9^2 = 81$
Проверим найденное решение $(121, 81)$ в исходной системе. $121 - 81 = 40$ (верно), $\sqrt{121} + \sqrt{81} = 11 + 9 = 20$ (верно).

Ответ: $(121, 81)$.

127. Не вычисляя корней уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$, найти:

1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$;

2) $x_1^2 + x_2^2$;

3) $x_1^3 + x_2^3$.

Для решения задачи, не вычисляя корней $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$, воспользуемся теоремой Виета.

Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ теорема Виета устанавливает следующие соотношения между корнями $x_1$, $x_2$ и коэффициентами:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней: $x_1 x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 - 3x - 4 = 0$ коэффициенты равны $p = -3$ и $q = -4$.

Следовательно, можем найти сумму и произведение корней:

$x_1 + x_2 = -(-3) = 3$

$x_1 x_2 = -4$

Теперь, используя эти значения, найдем требуемые выражения.

1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$

Для вычисления данного выражения приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 x_2}$.

Теперь подставим известные значения суммы и произведения корней: $\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}$.

Ответ: $-\frac{3}{4}$

2) $x_1^2 + x_2^2$

Чтобы найти сумму квадратов корней, воспользуемся тождеством, которое следует из формулы квадрата суммы: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2$.

Выразим из него искомую сумму: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$.

Подставим значения: $x_1^2 + x_2^2 = (3)^2 - 2(-4) = 9 - (-8) = 9 + 8 = 17$.

Ответ: $17$

3) $x_1^3 + x_2^3$

Для нахождения суммы кубов корней можно использовать формулу разложения на множители: $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2)$. Мы можем преобразовать выражение в скобках, используя результат из предыдущего пункта: $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)((x_1^2 + x_2^2) - x_1 x_2)$.

Подставим все известные значения: $x_1^2 + x_2^2 = 17$, $x_1 + x_2 = 3$ и $x_1 x_2 = -4$.

$x_1^3 + x_2^3 = (3)(17 - (-4)) = 3(17 + 4) = 3 \cdot 21 = 63$.

Альтернативно, можно использовать формулу $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1 x_2(x_1 + x_2)$. Подстановка значений дает тот же результат: $x_1^3 + x_2^3 = (3)^3 - 3(-4)(3) = 27 - (-36) = 27 + 36 = 63$.

Ответ: $63$

128. Не вычисляя корней уравнения $2x^2 - 3x - 2 = 0$, найти:

1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$;

2) $x_1^2 + x_2^2$;

3) $x_1^3 + x_2^3$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В данном уравнении $2x^2 - 3x - 2 = 0$ коэффициенты равны: $a = 2$, $b = -3$, $c = -2$.

Найдем сумму и произведение корней:

$x_1 + x_2 = -\frac{-3}{2} = \frac{3}{2}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{-2}{2} = -1$

Теперь, используя эти значения, найдем требуемые выражения.

1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1x_2}$

Подставим известные значения суммы и произведения корней:

$\frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{\frac{3}{2}}{-1} = -\frac{3}{2}$

Ответ: $-\frac{3}{2}$.

2) $x_1^2 + x_2^2$

Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение, используя формулу квадрата суммы: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$.

Отсюда:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим известные значения:

$x_1^2 + x_2^2 = (\frac{3}{2})^2 - 2 \cdot (-1) = \frac{9}{4} + 2 = \frac{9}{4} + \frac{8}{4} = \frac{17}{4}$

Ответ: $\frac{17}{4}$.

3) $x_1^3 + x_2^3$

Выразим сумму кубов корней через их сумму и произведение. Воспользуемся тождеством: $a^3+b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$.

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1+x_2)$

Подставим известные значения:

$x_1^3 + x_2^3 = (\frac{3}{2})^3 - 3(-1)(\frac{3}{2}) = \frac{27}{8} + \frac{9}{2} = \frac{27}{8} + \frac{36}{8} = \frac{63}{8}$

Ответ: $\frac{63}{8}$.

129. Решить уравнение:

1) $x\sqrt{x-1}=0;$

2) $(x+3)\sqrt{1+x}=0;$

1) $x\sqrt{x}-1=0$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Так как подкоренное выражение не может быть отрицательным, получаем неравенство:
$x \ge 0$.

Перенесем $-1$ в правую часть уравнения, чтобы изолировать выражение с переменной:
$x\sqrt{x} = 1$.

Представим левую часть уравнения в виде степени. Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и то, что $\sqrt{x} = x^{1/2}$, получаем:
$x^1 \cdot x^{1/2} = x^{1+\frac{1}{2}} = x^{3/2}$.
Уравнение принимает вид:
$x^{3/2} = 1$.

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в степень, обратную $3/2$, то есть в степень $2/3$:
$(x^{3/2})^{2/3} = 1^{2/3}$
$x^1 = 1$
$x = 1$.

Также можно решить это уравнение, возведя обе части уравнения $x\sqrt{x}=1$ в квадрат. Так как в области допустимых значений ($x \ge 0$) обе части уравнения неотрицательны, это преобразование является равносильным и не приведет к появлению посторонних корней.
$(x\sqrt{x})^2 = 1^2$
$x^2 \cdot (\sqrt{x})^2 = 1$
$x^2 \cdot x = 1$
$x^3 = 1$
$x = \sqrt[3]{1}$
$x = 1$.

Полученный корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge 0$), следовательно, является решением уравнения.
Ответ: $1$.

2) $(x+3)\sqrt{1+x}=0$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$1+x \ge 0$
$x \ge -1$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл (то есть определен).
Таким образом, мы можем приравнять каждый множитель к нулю по отдельности:

Случай 1: Первый множитель равен нулю.
$x+3=0 \implies x=-3$.

Случай 2: Второй множитель равен нулю.
$\sqrt{1+x}=0$.
Возводим обе части в квадрат:
$1+x=0 \implies x=-1$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \ge -1$).
- Проверяем корень $x=-3$. Так как $-3 < -1$, этот корень не входит в область допустимых значений. Следовательно, $x=-3$ является посторонним корнем.
- Проверяем корень $x=-1$. Так как $-1 \ge -1$, этот корень входит в область допустимых значений. Следовательно, $x=-1$ является решением уравнения.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: $-1$.