Номер 123, страница 39 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

123. Пусть $x=2$—корень уравнения $2x^2+px-2=0$. Найти $p$ и разложить левую часть уравнения на множители.

Поскольку $x=2$ является корнем уравнения $2x^2+px-2=0$, это означает, что при подстановке данного значения $x$ в уравнение, мы получим верное числовое равенство.

Найти p

Подставим значение $x=2$ в уравнение $2x^2+px-2=0$:

$2 \cdot (2)^2 + p \cdot 2 - 2 = 0$

Выполним арифметические операции:

$2 \cdot 4 + 2p - 2 = 0$

$8 + 2p - 2 = 0$

$6 + 2p = 0$

Решим полученное линейное уравнение относительно $p$:

$2p = -6$

$p = \frac{-6}{2}$

$p = -3$

Ответ: $p = -3$.

Разложить левую часть уравнения на множители

Теперь, когда мы нашли значение $p=-3$, исходное уравнение принимает вид:

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

Чтобы разложить на множители левую часть уравнения, то есть квадратный трёхчлен $2x^2 - 3x - 2$, воспользуемся формулой разложения $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения.

Один корень нам уже известен по условию: $x_1 = 2$. Найдём второй корень $x_2$.

Способ 1: С помощью теоремы Виета

Для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$. В нашем случае $a=2$ и $c=-2$.

$2 \cdot x_2 = \frac{-2}{2}$

$2x_2 = -1$

$x_2 = -\frac{1}{2}$

Способ 2: Через дискриминант

Для уравнения $2x^2 - 3x - 2 = 0$ с коэффициентами $a=2, b=-3, c=-2$ найдём дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$

$x_1 = \frac{3+5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{3-5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Теперь, зная оба корня ($x_1=2$ и $x_2=-\frac{1}{2}$) и коэффициент $a=2$, подставляем их в формулу разложения:

$2x^2 - 3x - 2 = 2(x - 2)(x - (-\frac{1}{2})) = 2(x-2)(x+\frac{1}{2})$

Для удобства умножим второй множитель в скобках на коэффициент 2:

$(x-2) \cdot 2(x+\frac{1}{2}) = (x-2)(2x+1)$

Ответ: $2x^2 - 3x - 2 = (x-2)(2x+1)$.