Номер 125, страница 39 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

125. Разложить на множители многочлен:

1) $a^4 - 7a^2 - 18;$

2) $a^4 - 9a^2 + 20.$

1) $a^4 - 7a^2 - 18$

Данный многочлен является биквадратным. Для его разложения на множители введем замену переменной.
Пусть $x = a^2$. Тогда, так как $a^4 = (a^2)^2 = x^2$, исходное выражение примет вид квадратного трехчлена относительно переменной $x$:

$x^2 - 7x - 18$

Теперь разложим этот квадратный трехчлен на множители. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 7x - 18 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней равна $7$, а их произведение равно $-18$. Подбором находим корни:
$x_1 = 9$
$x_2 = -2$
Проверка: $9 + (-2) = 7$, $9 \cdot (-2) = -18$. Корни найдены верно.

Разложение квадратного трехчлена имеет вид $k(x-x_1)(x-x_2)$, где $k$ - старший коэффициент. В нашем случае $k=1$, поэтому:
$x^2 - 7x - 18 = (x - 9)(x - (-2)) = (x - 9)(x + 2)$.

Теперь вернемся к исходной переменной $a$, выполнив обратную замену $x = a^2$:
$(a^2 - 9)(a^2 + 2)$

Первый множитель $(a^2 - 9)$ можно разложить по формуле разности квадратов $u^2 - v^2 = (u - v)(u + v)$:
$a^2 - 9 = a^2 - 3^2 = (a - 3)(a + 3)$

Второй множитель $(a^2 + 2)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Таким образом, окончательное разложение многочлена на множители выглядит так:
$(a - 3)(a + 3)(a^2 + 2)$

Ответ: $(a - 3)(a + 3)(a^2 + 2)$

2) $a^4 - 9a^2 + 20$

Это также биквадратный многочлен. Применим тот же метод замены переменной.
Пусть $x = a^2$. Тогда многочлен принимает вид:

$x^2 - 9x + 20$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 9x + 20 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна $9$, а произведение равно $20$. Легко подобрать корни:
$x_1 = 4$
$x_2 = 5$
Проверка: $4 + 5 = 9$, $4 \cdot 5 = 20$. Корни верны.

Разложим квадратный трехчлен на множители:
$x^2 - 9x + 20 = (x - 4)(x - 5)$

Выполним обратную замену $x = a^2$:
$(a^2 - 4)(a^2 - 5)$

Оба множителя представляют собой разность квадратов и могут быть разложены дальше по формуле $u^2 - v^2 = (u - v)(u + v)$.
Первый множитель: $a^2 - 4 = a^2 - 2^2 = (a - 2)(a + 2)$.
Второй множитель: $a^2 - 5 = a^2 - (\sqrt{5})^2 = (a - \sqrt{5})(a + \sqrt{5})$.

Собираем все множители вместе:
$(a - 2)(a + 2)(a - \sqrt{5})(a + \sqrt{5})$

Ответ: $(a - 2)(a + 2)(a - \sqrt{5})(a + \sqrt{5})$