Страница 33 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

89. Решить уравнение:

1) $\sqrt{2x - 1} = 5$;

2) $\sqrt{4 - 0,5x} = 2$.

1) $\sqrt{2x - 1} = 5$

Для решения данного иррационального уравнения необходимо сначала определить Область допустимых значений (ОДЗ), так как выражение под знаком квадратного корня не может быть отрицательным.

$2x - 1 \ge 0$

$2x \ge 1$

$x \ge 0.5$

Теперь, чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x - 1})^2 = 5^2$

$2x - 1 = 25$

Получили простое линейное уравнение. Перенесем $-1$ в правую часть с противоположным знаком:

$2x = 25 + 1$

$2x = 26$

Найдем $x$, разделив обе части на 2:

$x = \frac{26}{2}$

$x = 13$

Проверим, соответствует ли полученный корень ОДЗ. Условие $x \ge 0.5$ выполняется, так как $13 \ge 0.5$. Следовательно, корень является решением уравнения.

Выполним проверку, подставив найденное значение в исходное уравнение:

$\sqrt{2 \cdot 13 - 1} = \sqrt{26 - 1} = \sqrt{25} = 5$

$5 = 5$

Равенство верное.

Ответ: $13$

2) $\sqrt{4 - 0,5x} = 2$

Определим Область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$4 - 0,5x \ge 0$

$4 \ge 0,5x$

Разделим обе части на $0,5$ (что эквивалентно умножению на 2):

$8 \ge x$, или $x \le 8$

Теперь возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$(\sqrt{4 - 0,5x})^2 = 2^2$

$4 - 0,5x = 4$

Решим полученное линейное уравнение. Перенесем $4$ из левой части в правую:

$-0,5x = 4 - 4$

$-0,5x = 0$

$x = 0$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=0$ условию ОДЗ $x \le 8$. Условие выполняется, так как $0 \le 8$.

Выполним проверку, подставив найденное значение в исходное уравнение:

$\sqrt{4 - 0,5 \cdot 0} = \sqrt{4 - 0} = \sqrt{4} = 2$

$2 = 2$

Равенство верное.

Ответ: $0$

90. Сократить дробь:

1) $\frac{x^2 - 3}{x - \sqrt{3}};

2) $\frac{4b^2 - 7}{2b + \sqrt{7}}.$

1) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 3}{x - \sqrt{3}}$, необходимо разложить ее числитель на множители. Числитель $x^2 - 3$ представляет собой разность квадратов. Для этого представим число 3 как $(\sqrt{3})^2$.

Воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В данном случае $a = x$ и $b = \sqrt{3}$.

Таким образом, числитель можно записать в следующем виде:

$x^2 - 3 = x^2 - (\sqrt{3})^2 = (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$

Теперь подставим разложенный числитель обратно в дробь:

$\frac{x^2 - 3}{x - \sqrt{3}} = \frac{(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})}{x - \sqrt{3}}$

Сократим общий множитель $(x - \sqrt{3})$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x - \sqrt{3} \neq 0$, то есть $x \neq \sqrt{3}$):

$\frac{(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})}{x - \sqrt{3}} = x + \sqrt{3}$

Ответ: $x + \sqrt{3}$

2) Для сокращения дроби $\frac{4b^2 - 7}{2b + \sqrt{7}}$ также применим формулу разности квадратов к числителю.

Представим числитель $4b^2 - 7$ в виде разности квадратов. Для этого запишем $4b^2$ как $(2b)^2$ и 7 как $(\sqrt{7})^2$.

Используем формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 2b$ и $b = \sqrt{7}$.

Получаем следующее разложение для числителя:

$4b^2 - 7 = (2b)^2 - (\sqrt{7})^2 = (2b - \sqrt{7})(2b + \sqrt{7})$

Подставим полученное выражение в исходную дробь:

$\frac{4b^2 - 7}{2b + \sqrt{7}} = \frac{(2b - \sqrt{7})(2b + \sqrt{7})}{2b + \sqrt{7}}$

Сократим общий множитель $(2b + \sqrt{7})$ в числителе и знаменателе (при условии, что $2b + \sqrt{7} \neq 0$, то есть $b \neq -\frac{\sqrt{7}}{2}$):

$\frac{(2b - \sqrt{7})(2b + \sqrt{7})}{2b + \sqrt{7}} = 2b - \sqrt{7}$

Ответ: $2b - \sqrt{7}$

91. Сравнить:

1) $\sqrt{83}$ и 9;

2) $\frac{1}{3}$ и $\sqrt{0,1}$.

1) Для того чтобы сравнить числа $\sqrt{83}$ и $9$, возведем оба числа в квадрат. Так как оба числа положительные, то знак неравенства между ними сохранится и для их квадратов.

Найдем квадрат первого числа: $(\sqrt{83})^2 = 83$.

Найдем квадрат второго числа: $9^2 = 81$.

Теперь сравним полученные результаты: $83$ и $81$.

Поскольку $83 > 81$, то и $(\sqrt{83})^2 > 9^2$.

Следовательно, $\sqrt{83} > 9$.

Ответ: $\sqrt{83} > 9$.

2) Чтобы сравнить числа $\frac{1}{3}$ и $\sqrt{0,1}$, также возведем их в квадрат, поскольку оба числа положительные.

Найдем квадрат первого числа: $(\frac{1}{3})^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$.

Найдем квадрат второго числа: $(\sqrt{0,1})^2 = 0,1$.

Теперь необходимо сравнить $\frac{1}{9}$ и $0,1$. Для этого представим десятичную дробь $0,1$ в виде обыкновенной дроби: $0,1 = \frac{1}{10}$.

Сравниваем две дроби: $\frac{1}{9}$ и $\frac{1}{10}$.

Из двух дробей с одинаковыми числителями (в данном случае числитель равен 1) больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $9 < 10$, то $\frac{1}{9} > \frac{1}{10}$.

Следовательно, $(\frac{1}{3})^2 > (\sqrt{0,1})^2$, а значит и $\frac{1}{3} > \sqrt{0,1}$.

Ответ: $\frac{1}{3} > \sqrt{0,1}$.

92. Упростить выражение $ (\sqrt{7}+3)^2 - (\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{6}) $.

Для упрощения выражения необходимо выполнить действия по порядку. Сначала возведем в квадрат первую скобку и раскроем произведение вторых двух скобок, а затем найдем разность полученных результатов.

1. Упростим выражение в первой части $(\sqrt{7}+3)^2$.

Используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае $a=\sqrt{7}$ и $b=3$.

$(\sqrt{7}+3)^2 = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 3 + 3^2 = 7 + 6\sqrt{7} + 9 = 16 + 6\sqrt{7}$.

2. Упростим произведение во второй части $(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{6})$.

Для удобства применения формулы разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, поменяем местами слагаемые в первой скобке: $(\sqrt{6}+\sqrt{3}) = (\sqrt{3}+\sqrt{6})$.

Теперь произведение имеет вид: $(\sqrt{3}+\sqrt{6})(\sqrt{3}-\sqrt{6})$.

Применяем формулу разности квадратов, где $x=\sqrt{3}$ и $y=\sqrt{6}$:

$(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{6})^2 = 3 - 6 = -3$.

3. Выполним вычитание.

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$(\sqrt{7}+3)^2 - (\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{6}) = (16 + 6\sqrt{7}) - (-3)$.

Раскрываем скобки и выполняем сложение:

$16 + 6\sqrt{7} + 3 = 19 + 6\sqrt{7}$.

Ответ: $19 + 6\sqrt{7}$.

93. Вычислить:

1) $\sqrt{1\frac{9}{16} \cdot 49};$

2) $\sqrt{\frac{3}{5}} \cdot \sqrt{5\frac{2}{5}};$

3) $\sqrt{\frac{16 \cdot 1,69}{90000}};$

4) $\frac{2\sqrt{8}}{\sqrt{392}};$

5) $\sqrt{8^4};$

6) $\sqrt{(-4)^6}.$

1) Преобразуем смешанное число $1\frac{9}{16}$ в неправильную дробь: $1\frac{9}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{25}{16}$.

Вычислим значение выражения, используя свойства корней:

$\sqrt{1\frac{9}{16} \cdot 49} = \sqrt{\frac{25}{16} \cdot 49} = \sqrt{\frac{25}{16}} \cdot \sqrt{49} = \frac{5}{4} \cdot 7 = \frac{35}{4}$.

Представим результат в виде смешанного числа: $\frac{35}{4} = 8\frac{3}{4}$.

Ответ: $8\frac{3}{4}$.

2) Преобразуем смешанное число $5\frac{2}{5}$ в неправильную дробь: $5\frac{2}{5} = \frac{5 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{27}{5}$.

Используем свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$:

$\sqrt{\frac{3}{5}} \cdot \sqrt{5\frac{2}{5}} = \sqrt{\frac{3}{5} \cdot \frac{27}{5}} = \sqrt{\frac{81}{25}} = \frac{9}{5}$.

Преобразуем результат в десятичную дробь: $\frac{9}{5} = 1,8$.

Ответ: $1,8$.

3) Используем свойство корня из частного и произведения $\sqrt{\frac{a \cdot b}{c}} = \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{c}}$:

$\sqrt{\frac{16 \cdot 1,69}{90000}} = \frac{\sqrt{16} \cdot \sqrt{1,69}}{\sqrt{90000}} = \frac{4 \cdot 1,3}{300} = \frac{5,2}{300}$.

Упростим полученную дробь, умножив числитель и знаменатель на 10, а затем сократив:

$\frac{5,2}{300} = \frac{52}{3000} = \frac{13}{750}$.

Ответ: $\frac{13}{750}$.

4) Внесем множитель 2 под знак корня в числителе ($2\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 8} = \sqrt{32}$) и объединим всё под один корень, используя свойство $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:

$\frac{2\sqrt{8}}{\sqrt{392}} = \frac{\sqrt{32}}{\sqrt{392}} = \sqrt{\frac{32}{392}}$.

Сократим дробь под корнем, разделив числитель и знаменатель на 8:

$\sqrt{\frac{32 \div 8}{392 \div 8}} = \sqrt{\frac{4}{49}}$.

Извлечем корень:

$\sqrt{\frac{4}{49}} = \frac{2}{7}$.

Ответ: $\frac{2}{7}$.

5) Используем свойство $\sqrt{a^{2n}} = a^n$ (для $a \ge 0$):

$\sqrt{8^4} = \sqrt{(8^2)^2} = 8^2 = 64$.

Ответ: $64$.

6) Используем свойство $\sqrt{x^2} = |x|$. Представим подкоренное выражение в виде квадрата:

$\sqrt{(-4)^6} = \sqrt{((-4)^3)^2} = |(-4)^3|$.

Вычислим значение в модуле и найдем его абсолютное значение:

$|(-4)^3| = |-64| = 64$.

Ответ: $64$.

94. Извлечь корень:

1) $\sqrt{4x^2 + 12xy + 9y^2};$

2) $\sqrt{(5 - \sqrt{23})^2};$

3) $\sqrt{(\sqrt{23} - 5)^2};$

4) $\sqrt{(a - b)^2}$, если $a \ge b;$

5) $\sqrt{(a - b)^2}$, если $a \le b.$

Для решения всех пунктов задачи используется основное свойство арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$, где $|a|$ — модуль (абсолютная величина) числа $a$. Модуль раскрывается по правилу:
$|a| = a$, если $a \ge 0$
$|a| = -a$, если $a < 0$

1) $\sqrt{4x^2+12xy+9y^2}$

Подкоренное выражение $4x^2+12xy+9y^2$ представляет собой полный квадрат суммы. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

В данном случае, $a=2x$ и $b=3y$. Проверим: $(2x)^2 = 4x^2$, $(3y)^2 = 9y^2$, а удвоенное произведение $2 \cdot (2x) \cdot (3y) = 12xy$.

Следовательно, $4x^2+12xy+9y^2 = (2x+3y)^2$.

Подставим это в исходное выражение: $\sqrt{(2x+3y)^2}$.

Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $\sqrt{(2x+3y)^2} = |2x+3y|$.

Поскольку знаки $x$ и $y$ не заданы, мы не можем далее упростить выражение (раскрыть модуль).

Ответ: $|2x+3y|$

2) $\sqrt{(5-\sqrt{23})^2}$

Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$: $\sqrt{(5-\sqrt{23})^2} = |5-\sqrt{23}|$.

Чтобы раскрыть модуль, нужно определить знак выражения $5-\sqrt{23}$. Сравним числа $5$ и $\sqrt{23}$. Для этого сравним их квадраты:

$5^2 = 25$

$(\sqrt{23})^2 = 23$

Так как $25 > 23$, то и $5 > \sqrt{23}$. Следовательно, разность $5-\sqrt{23}$ является положительным числом.

По определению модуля, если выражение под модулем положительно, то модуль равен самому выражению: $|5-\sqrt{23}| = 5-\sqrt{23}$.

Ответ: $5-\sqrt{23}$

3) $\sqrt{(\sqrt{23}-5)^2}$

Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$: $\sqrt{(\sqrt{23}-5)^2} = |\sqrt{23}-5|$.

Чтобы раскрыть модуль, определим знак выражения $\sqrt{23}-5$. Как мы выяснили в предыдущем пункте, $5 > \sqrt{23}$.

Следовательно, разность $\sqrt{23}-5$ является отрицательным числом.

По определению модуля, если выражение под модулем отрицательно, то модуль равен противоположному выражению: $|\sqrt{23}-5| = -(\sqrt{23}-5) = 5-\sqrt{23}$.

Ответ: $5-\sqrt{23}$

4) $\sqrt{(a-b)^2}$, если $a \ge b$

Применяем свойство $\sqrt{x^2}=|x|$ к нашему выражению: $\sqrt{(a-b)^2} = |a-b|$.

По условию задачи, $a \ge b$. Это означает, что разность $a-b$ является неотрицательным числом ($a-b \ge 0$).

Согласно определению модуля, для любого неотрицательного числа $x$ выполняется $|x|=x$.

Следовательно, $|a-b| = a-b$.

Ответ: $a-b$

5) $\sqrt{(a-b)^2}$, если $a \le b$

Применяем свойство $\sqrt{x^2}=|x|$: $\sqrt{(a-b)^2} = |a-b|$.

По условию задачи, $a \le b$. Это означает, что разность $a-b$ является неположительным числом ($a-b \le 0$).

Согласно определению модуля, для любого неположительного числа $x$ выполняется $|x|=-x$.

Следовательно, $|a-b| = -(a-b) = b-a$.

Ответ: $b-a$

95. Упростить:

1) $7\sqrt{28} - \sqrt{80} - 2\sqrt{63} + 3\sqrt{45}$;

2) $2\sqrt{\frac{1}{6}} - \sqrt{\frac{2}{3}} + 3\sqrt{\frac{1}{15}} + 4\sqrt{\frac{3}{5}}$;

3) $(\sqrt{18} - 3\sqrt{2})^2$;

4) $(1 - \sqrt{3})^2(1 + \sqrt{3})$;

5) $\frac{3}{\sqrt{5} - \sqrt{6}} - \frac{4}{\sqrt{5} + \sqrt{6}};

6) $\frac{2}{1 + \sqrt{3}} + \frac{3}{3 - \sqrt{5}}$.

1) $7\sqrt{28} - \sqrt{80} - 2\sqrt{63} + 3\sqrt{45}$

Для упрощения выражения необходимо вынести множители из-под знака корня в каждом слагаемом. Для этого разложим подкоренные выражения на множители так, чтобы один из множителей был полным квадратом.

$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{2^2 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$

$\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{4^2 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$

$\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{3^2 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

Теперь подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение:

$7 \cdot (2\sqrt{7}) - 4\sqrt{5} - 2 \cdot (3\sqrt{7}) + 3 \cdot (3\sqrt{5}) = 14\sqrt{7} - 4\sqrt{5} - 6\sqrt{7} + 9\sqrt{5}$

Сгруппируем подобные слагаемые (слагаемые с одинаковыми корнями) и выполним действия:

$(14\sqrt{7} - 6\sqrt{7}) + (-4\sqrt{5} + 9\sqrt{5}) = 8\sqrt{7} + 5\sqrt{5}$

Ответ: $8\sqrt{7} + 5\sqrt{5}$

2) $2\sqrt{\frac{1}{6}} - \sqrt{\frac{2}{3}} + 3\sqrt{\frac{1}{15}} + 4\sqrt{\frac{3}{5}}$

Упростим каждый член выражения, используя свойство корня $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ и избавляясь от иррациональности в знаменателе.

$2\sqrt{\frac{1}{6}} = 2\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$3\sqrt{\frac{1}{15}} = 3\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{15}} = \frac{3}{\sqrt{15}} = \frac{3\sqrt{15}}{\sqrt{15}\cdot\sqrt{15}} = \frac{3\sqrt{15}}{15} = \frac{\sqrt{15}}{5}$

$4\sqrt{\frac{3}{5}} = 4\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{15}}{5}$

Подставим упрощенные значения в выражение:

$\frac{\sqrt{6}}{3} - \frac{\sqrt{6}}{3} + \frac{\sqrt{15}}{5} + \frac{4\sqrt{15}}{5}$

Приведем подобные слагаемые:

$(\frac{\sqrt{6}}{3} - \frac{\sqrt{6}}{3}) + (\frac{\sqrt{15}}{5} + \frac{4\sqrt{15}}{5}) = 0 + \frac{5\sqrt{15}}{5} = \sqrt{15}$

Ответ: $\sqrt{15}$

3) $(\sqrt{18} - 3\sqrt{2})^2$

Сначала упростим выражение в скобках. Вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$

Подставим это в исходное выражение:

$(3\sqrt{2} - 3\sqrt{2})^2 = (0)^2 = 0$

Альтернативный способ — использовать формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(\sqrt{18})^2 - 2 \cdot \sqrt{18} \cdot 3\sqrt{2} + (3\sqrt{2})^2 = 18 - 6\sqrt{18 \cdot 2} + 9 \cdot 2 = 18 - 6\sqrt{36} + 18 = 18 - 6 \cdot 6 + 18 = 18 - 36 + 18 = 0$

Ответ: $0$

4) $(1 - \sqrt{3})^2(1 + \sqrt{3})$

Распишем квадрат первого множителя:

$(1 - \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})$

Сгруппируем второй и третий множители и применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(1 - \sqrt{3}) \cdot [(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})] = (1 - \sqrt{3}) \cdot [1^2 - (\sqrt{3})^2] = (1 - \sqrt{3}) \cdot (1 - 3) = (1 - \sqrt{3}) \cdot (-2)$

Раскроем скобки:

$-2(1) -2(-\sqrt{3}) = -2 + 2\sqrt{3}$

Ответ: $-2 + 2\sqrt{3}$

5) $\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{6}} - \frac{4}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $(\sqrt{5}-\sqrt{6})(\sqrt{5}+\sqrt{6})$.

$\frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{6})}{(\sqrt{5}-\sqrt{6})(\sqrt{5}+\sqrt{6})} - \frac{4(\sqrt{5}-\sqrt{6})}{(\sqrt{5}-\sqrt{6})(\sqrt{5}+\sqrt{6})}$

Знаменатель является разностью квадратов: $(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{6})^2 = 5 - 6 = -1$.

Теперь упростим числитель:

$3(\sqrt{5}+\sqrt{6}) - 4(\sqrt{5}-\sqrt{6}) = 3\sqrt{5} + 3\sqrt{6} - 4\sqrt{5} + 4\sqrt{6}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$(3\sqrt{5} - 4\sqrt{5}) + (3\sqrt{6} + 4\sqrt{6}) = -\sqrt{5} + 7\sqrt{6}$

Объединим числитель и знаменатель:

$\frac{-\sqrt{5} + 7\sqrt{6}}{-1} = -(-\sqrt{5} + 7\sqrt{6}) = \sqrt{5} - 7\sqrt{6}$

Ответ: $\sqrt{5} - 7\sqrt{6}$

6) $\frac{2}{1+\sqrt{3}} + \frac{3}{3-\sqrt{5}}$

Упростим каждую дробь отдельно, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное ее знаменателю.

Для первой дроби сопряженное выражение к $1+\sqrt{3}$ это $1-\sqrt{3}$:

$\frac{2}{1+\sqrt{3}} = \frac{2(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{2(1-\sqrt{3})}{1^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2(1-\sqrt{3})}{1-3} = \frac{2(1-\sqrt{3})}{-2} = -(1-\sqrt{3}) = -1 + \sqrt{3}$

Для второй дроби сопряженное выражение к $3-\sqrt{5}$ это $3+\sqrt{5}$:

$\frac{3}{3-\sqrt{5}} = \frac{3(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} = \frac{3(3+\sqrt{5})}{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{3(3+\sqrt{5})}{9-5} = \frac{3(3+\sqrt{5})}{4} = \frac{9+3\sqrt{5}}{4}$

Теперь сложим полученные выражения:

$(-1 + \sqrt{3}) + \frac{9+3\sqrt{5}}{4}$

Приведем к общему знаменателю 4:

$\frac{4(-1+\sqrt{3})}{4} + \frac{9+3\sqrt{5}}{4} = \frac{-4+4\sqrt{3} + 9+3\sqrt{5}}{4} = \frac{5+4\sqrt{3}+3\sqrt{5}}{4}$

Ответ: $\frac{5+4\sqrt{3}+3\sqrt{5}}{4}$

96. Сравнить:

1) $2\sqrt{3}$ и $3\sqrt{2}$;

2) $5\sqrt{2}$ и $7$;

3) $2\sqrt{5}$ и $4\sqrt{3}$;

4) $3\sqrt{5}$ и $2\sqrt{7}$.

1) Чтобы сравнить числа $2\sqrt{3}$ и $3\sqrt{2}$, внесем множители, стоящие перед корнем, под знак корня. Для этого возведем множитель в квадрат и умножим на подкоренное выражение.
Для числа $2\sqrt{3}$ получаем: $2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$.
Для числа $3\sqrt{2}$ получаем: $3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$.
Теперь сравним полученные подкоренные выражения: $12 < 18$.
Поскольку чем больше положительное число, тем больше его квадратный корень, то из $12 < 18$ следует, что $\sqrt{12} < \sqrt{18}$.
Следовательно, $2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$.
Ответ: $2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$.

2) Чтобы сравнить числа $5\sqrt{2}$ и $7$, представим оба числа в виде квадратных корней.
Внесем множитель под знак корня для числа $5\sqrt{2}$: $5\sqrt{2} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}$.
Представим число $7$ в виде корня: $7 = \sqrt{7^2} = \sqrt{49}$.
Сравним подкоренные выражения: $50 > 49$.
Так как $50 > 49$, то и $\sqrt{50} > \sqrt{49}$.
Следовательно, $5\sqrt{2} > 7$.
Ответ: $5\sqrt{2} > 7$.

3) Сравним числа $2\sqrt{5}$ и $4\sqrt{3}$, внеся множители под знак корня.
Для числа $2\sqrt{5}$ имеем: $2\sqrt{5} = \sqrt{2^2 \cdot 5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}$.
Для числа $4\sqrt{3}$ имеем: $4\sqrt{3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}$.
Сравним подкоренные выражения: $20 < 48$.
Поскольку $20 < 48$, то $\sqrt{20} < \sqrt{48}$.
Следовательно, $2\sqrt{5} < 4\sqrt{3}$.
Ответ: $2\sqrt{5} < 4\sqrt{3}$.

4) Сравним числа $3\sqrt{5}$ и $2\sqrt{7}$, для этого внесем множители под знак корня.
Для первого числа $3\sqrt{5}$: $3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$.
Для второго числа $2\sqrt{7}$: $2\sqrt{7} = \sqrt{2^2 \cdot 7} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{28}$.
Сравним значения подкоренных выражений: $45 > 28$.
Так как $45 > 28$, то $\sqrt{45} > \sqrt{28}$.
Следовательно, $3\sqrt{5} > 2\sqrt{7}$.
Ответ: $3\sqrt{5} > 2\sqrt{7}$.

97. Выяснить, при каких значениях $a$ имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{3 - 2a}$;

2) $\sqrt{0.5a + 5}$;

3) $\sqrt{6 - \frac{2}{3}a}$;

4) $\sqrt{-\frac{1}{2} - 3a}$.

Для того чтобы выражение, содержащее квадратный корень, имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным (то есть больше или равно нулю).

1) $\sqrt{3 - 2a}$

Составим и решим неравенство:
$3 - 2a \ge 0$
Перенесем 3 в правую часть:
$-2a \ge -3$
Разделим обе части на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$a \le \frac{-3}{-2}$
$a \le 1,5$

Ответ: $a \in (-\infty; 1,5]$.

2) $\sqrt{0,5a + 5}$

Составим и решим неравенство:
$0,5a + 5 \ge 0$
Перенесем 5 в правую часть:
$0,5a \ge -5$
Разделим обе части на 0,5:
$a \ge \frac{-5}{0,5}$
$a \ge -10$

Ответ: $a \in [-10; +\infty)$.

3) $\sqrt{6 - \frac{2}{3}a}$

Составим и решим неравенство:
$6 - \frac{2}{3}a \ge 0$
Перенесем 6 в правую часть:
$-\frac{2}{3}a \ge -6$
Умножим обе части на $-\frac{3}{2}$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$a \le -6 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)$
$a \le \frac{18}{2}$
$a \le 9$

Ответ: $a \in (-\infty; 9]$.

4) $\sqrt{\frac{1}{2} - 3a}$

Составим и решим неравенство:
$\frac{1}{2} - 3a \ge 0$
Перенесем $\frac{1}{2}$ в правую часть:
$-3a \ge -\frac{1}{2}$
Разделим обе части на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$a \le \frac{-\frac{1}{2}}{-3}$
$a \le \frac{1}{2 \cdot 3}$
$a \le \frac{1}{6}$

Ответ: $a \in (-\infty; \frac{1}{6}]$.

98. Вынести множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{8a^5}$, если $a \ge 0;$

2) $\sqrt{\frac{2}{9}b^2}$, если $b \le 0;$

3) $\sqrt{27a^3b^3}$, если $a < 0, b < 0;$

4) $\sqrt{0,32a^2b^3}$, если $a < 0, b > 0;$

5) $\sqrt{16a^3b^5}$, если $a < 0, b < 0;$

6) $\sqrt{\frac{1}{9}a^5b^6}$, если $a \ge 0, b \le 0.$

1) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{8a^5}$ при условии $a \ge 0$, разложим подкоренное выражение на множители таким образом, чтобы из них можно было извлечь полный квадратный корень.
Разложим число 8 и степень $a^5$:
$8 = 4 \cdot 2 = 2^2 \cdot 2$
$a^5 = a^4 \cdot a = (a^2)^2 \cdot a$
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\sqrt{8a^5} = \sqrt{4 \cdot 2 \cdot a^4 \cdot a} = \sqrt{(4a^4) \cdot (2a)} = \sqrt{(2a^2)^2 \cdot 2a}$
Используя свойство корня $\sqrt{x^2 \cdot y} = |x|\sqrt{y}$, получаем:
$\sqrt{(2a^2)^2 \cdot 2a} = |2a^2|\sqrt{2a}$
Согласно условию, $a \ge 0$. Это означает, что $a^2 \ge 0$, и следовательно, выражение $2a^2$ также неотрицательно ($2a^2 \ge 0$). Модуль неотрицательного числа равен самому числу, поэтому $|2a^2| = 2a^2$.
Окончательный результат: $2a^2\sqrt{2a}$.
Ответ: $2a^2\sqrt{2a}$

2) Рассмотрим выражение $\sqrt{\frac{2}{9}b^2}$ при условии $b \le 0$.
Представим подкоренное выражение в виде произведения, выделив полный квадрат:
$\sqrt{\frac{2}{9}b^2} = \sqrt{\frac{b^2}{9} \cdot 2} = \sqrt{(\frac{b}{3})^2 \cdot 2}$
Применим свойство $\sqrt{x^2 \cdot y} = |x|\sqrt{y}$:
$\sqrt{(\frac{b}{3})^2 \cdot 2} = |\frac{b}{3}|\sqrt{2}$
По условию $b \le 0$. Следовательно, выражение $\frac{b}{3}$ также неположительно ($\frac{b}{3} \le 0$). Модуль неположительного числа равен противоположному ему числу: $|\frac{b}{3}| = -\frac{b}{3}$.
Подставляем полученное значение модуля в выражение: $-\frac{b}{3}\sqrt{2}$.
Ответ: $-\frac{b}{3}\sqrt{2}$

3) Упростим выражение $\sqrt{27a^3b^3}$ при условиях $a < 0, b < 0$.
Во-первых, убедимся, что подкоренное выражение имеет смысл (неотрицательно). Так как $a < 0$, то $a^3 < 0$. Так как $b < 0$, то $b^3 < 0$. Произведение двух отрицательных чисел $a^3b^3$ положительно, поэтому корень извлекать можно.
Разложим подкоренное выражение на множители:
$27 = 9 \cdot 3 = 3^2 \cdot 3$
$a^3 = a^2 \cdot a$
$b^3 = b^2 \cdot b$
$\sqrt{27a^3b^3} = \sqrt{9 \cdot 3 \cdot a^2 \cdot a \cdot b^2 \cdot b} = \sqrt{(9a^2b^2) \cdot (3ab)} = \sqrt{(3ab)^2 \cdot 3ab}$
Выносим множитель из-под знака корня:
$\sqrt{(3ab)^2 \cdot 3ab} = |3ab|\sqrt{3ab}$
Теперь определим знак выражения $3ab$. По условию $a < 0$ и $b < 0$, их произведение $ab$ положительно. Следовательно, $3ab > 0$.
Поскольку выражение $3ab$ положительно, его модуль равен самому выражению: $|3ab| = 3ab$.
Окончательный результат: $3ab\sqrt{3ab}$.
Ответ: $3ab\sqrt{3ab}$

4) Вынесем множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{0.32a^2b^3}$ при условиях $a < 0, b > 0$.
Проверим знак подкоренного выражения: $a^2 > 0$ (так как $a \ne 0$), $b^3 > 0$ (так как $b > 0$). Их произведение и все выражение положительны.
Разложим на множители:
$0.32 = 0.16 \cdot 2 = (0.4)^2 \cdot 2$
$b^3 = b^2 \cdot b$
$\sqrt{0.32a^2b^3} = \sqrt{0.16 \cdot 2 \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot b} = \sqrt{(0.16a^2b^2) \cdot (2b)} = \sqrt{(0.4ab)^2 \cdot 2b}$
Выносим множитель:
$\sqrt{(0.4ab)^2 \cdot 2b} = |0.4ab|\sqrt{2b}$
Определим знак выражения $0.4ab$. По условию $a < 0$ и $b > 0$, их произведение $ab$ отрицательно. Следовательно, $0.4ab < 0$.
Модуль отрицательного числа равен противоположному числу: $|0.4ab| = -0.4ab$.
Результат: $-0.4ab\sqrt{2b}$.
Ответ: $-0.4ab\sqrt{2b}$

5) Упростим $\sqrt{16a^3b^5}$ при $a < 0, b < 0$.
Проверим знак подкоренного выражения: так как $a < 0$, то $a^3 < 0$. Так как $b < 0$, то $b^5 < 0$. Произведение $a^3b^5$ будет положительным.
Разложим на множители:
$16 = 4^2$
$a^3 = a^2 \cdot a$
$b^5 = b^4 \cdot b = (b^2)^2 \cdot b$
$\sqrt{16a^3b^5} = \sqrt{16 \cdot a^2 \cdot a \cdot b^4 \cdot b} = \sqrt{(16a^2b^4) \cdot (ab)} = \sqrt{(4ab^2)^2 \cdot ab}$
Выносим множитель из-под корня:
$\sqrt{(4ab^2)^2 \cdot ab} = |4ab^2|\sqrt{ab}$
Определим знак выражения $4ab^2$. По условию $a < 0$ и $b < 0$. Тогда $b^2 > 0$. Произведение отрицательного числа $a$ и положительного $b^2$ дает отрицательный результат: $ab^2 < 0$. Следовательно, $4ab^2 < 0$.
Модуль отрицательного выражения равен противоположному ему выражению: $|4ab^2| = -4ab^2$.
Окончательный вид: $-4ab^2\sqrt{ab}$. (Заметим, что под корнем остается $ab$, которое положительно, так как $a<0, b<0$).
Ответ: $-4ab^2\sqrt{ab}$

6) Вынесем множитель из-под знака корня в $\sqrt{\frac{1}{9}a^5b^6}$ при $a \ge 0, b \le 0$.
Проверим знак подкоренного выражения: $a^5 \ge 0$ (так как $a \ge 0$) и $b^6 \ge 0$ (четная степень любого ненулевого числа положительна, а для нуля - ноль). Произведение неотрицательно.
Разложим на множители:
$\frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^2$
$a^5 = a^4 \cdot a = (a^2)^2 \cdot a$
$b^6 = (b^3)^2$
$\sqrt{\frac{1}{9}a^5b^6} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot a^4 \cdot b^6 \cdot a} = \sqrt{(\frac{1}{3}a^2b^3)^2 \cdot a}$
Выносим множитель:
$\sqrt{(\frac{1}{3}a^2b^3)^2 \cdot a} = |\frac{1}{3}a^2b^3|\sqrt{a}$
Определим знак выражения $\frac{1}{3}a^2b^3$. По условию $a \ge 0$ и $b \le 0$. Тогда $a^2 \ge 0$. Так как $b \le 0$, то нечетная степень $b^3 \le 0$. Произведение неотрицательного $a^2$ и неположительного $b^3$ будет неположительным: $a^2b^3 \le 0$. Следовательно, $\frac{1}{3}a^2b^3 \le 0$.
Модуль неположительного выражения равен противоположному ему: $|\frac{1}{3}a^2b^3| = -\frac{1}{3}a^2b^3$.
Итоговый результат: $-\frac{1}{3}a^2b^3\sqrt{a}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}a^2b^3\sqrt{a}$

99. Внести множитель под знак корня:

1) $x\sqrt{2}$, если $x > 0;

2) $x\sqrt{2}$, если $x < 0;

3) $-a\sqrt{3}$, если $a \le 0;

4) $-a\sqrt{3}$, если $a \ge 0;

5) $a^2b\sqrt{b}$, если $a < 0, b > 0;

6) $a^3b\sqrt{-b}$, если $a < 0, b \le 0.

1) Чтобы внести множитель $x$ под знак корня в выражении $x\sqrt{2}$ при условии $x > 0$, нужно возвести его в квадрат и умножить на подкоренное выражение. Так как по условию $x$ — положительное число ($x > 0$), знак перед корнем не изменится.

Представим $x$ в виде корня: $x = \sqrt{x^2}$.

Тогда выражение примет вид:

$x\sqrt{2} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{x^2 \cdot 2} = \sqrt{2x^2}$.

Ответ: $\sqrt{2x^2}$.

2) В данном случае нужно внести множитель $x$ под знак корня в выражении $x\sqrt{2}$ при условии $x < 0$. Так как $x$ — отрицательное число, при внесении его под знак корня перед корнем должен появиться знак "минус".

Для отрицательного числа $x$ справедливо равенство $x = -\sqrt{x^2}$.

Подставим это в исходное выражение:

$x\sqrt{2} = (-\sqrt{x^2}) \cdot \sqrt{2} = -(\sqrt{x^2} \cdot \sqrt{2}) = -\sqrt{x^2 \cdot 2} = -\sqrt{2x^2}$.

Ответ: $-\sqrt{2x^2}$.

3) Нужно внести множитель под знак корня в выражении $-a\sqrt{3}$ при условии $a \le 0$.

Рассмотрим множитель перед корнем: $-a$. Поскольку по условию $a \le 0$, то $-a \ge 0$. Это означает, что множитель $-a$ является неотрицательным.

Неотрицательный множитель можно внести под знак корня, возведя его в квадрат:

$-a\sqrt{3} = \sqrt{(-a)^2 \cdot 3} = \sqrt{a^2 \cdot 3} = \sqrt{3a^2}$.

Ответ: $\sqrt{3a^2}$.

4) Нужно внести множитель под знак корня в выражении $-a\sqrt{3}$ при условии $a \ge 0$.

В этом случае множитель $a$ является неотрицательным. Знак "минус" остается перед корнем, а под корень вносится множитель $a$.

$-a\sqrt{3} = - (a\sqrt{3})$.

Поскольку $a \ge 0$, то $a = \sqrt{a^2}$.

$- (a\sqrt{3}) = - (\sqrt{a^2} \cdot \sqrt{3}) = -\sqrt{a^2 \cdot 3} = -\sqrt{3a^2}$.

Ответ: $-\sqrt{3a^2}$.

5) Нужно внести множитель под знак корня в выражении $a^2b\sqrt{b}$ при условии $a < 0, b > 0$.

Определим знак множителя $a^2b$. Так как $a < 0$, то $a^2 > 0$. По условию $b > 0$. Произведение двух положительных чисел положительно, следовательно, $a^2b > 0$.

Так как множитель $a^2b$ положителен, его можно внести под корень, возведя в квадрат:

$a^2b\sqrt{b} = \sqrt{(a^2b)^2 \cdot b} = \sqrt{(a^2)^2 \cdot b^2 \cdot b} = \sqrt{a^4 \cdot b^3}$.

Подкоренное выражение $\sqrt{b}$ определено, так как $b > 0$.

Ответ: $\sqrt{a^4b^3}$.

6) Нужно внести множитель под знак корня в выражении $a^3b\sqrt{-b}$ при условии $a < 0, b \le 0$.

Сначала проверим, что выражение имеет смысл. Подкоренное выражение $-b$. Так как $b \le 0$, то $-b \ge 0$, значит, корень определен.

Теперь определим знак множителя $a^3b$. По условию $a < 0$, следовательно $a^3 < 0$. По условию $b \le 0$.

Если $b < 0$, то $a^3b > 0$ (произведение двух отрицательных чисел).

Если $b = 0$, то $a^3b = 0$.

Таким образом, множитель $a^3b$ является неотрицательным ($a^3b \ge 0$).

Вносим неотрицательный множитель под знак корня, возводя его в квадрат:

$a^3b\sqrt{-b} = \sqrt{(a^3b)^2 \cdot (-b)} = \sqrt{(a^3)^2 \cdot b^2 \cdot (-b)} = \sqrt{a^6 \cdot b^2 \cdot (-b)} = \sqrt{-a^6b^3}$.

Ответ: $\sqrt{-a^6b^3}$.