Страница 29 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

69. Построить треугольник $ABC$ по координатам его вершин $A(3; 4)$, $B(0; -4)$, $C(6; 2)$. Найти координаты точек пересечения сторон треугольника $ABC$ с осью абсцисс.

Построить треугольник ABC по координатам его вершин A(3; 4), B(0; -4), C(6; 2).

Для построения треугольника ABC на декартовой координатной плоскости отметим точки с заданными координатами: A(3; 4), B(0; -4) и C(6; 2). Затем соединим эти точки отрезками AB, BC и AC. Полученная фигура и будет искомым треугольником.

Ниже представлено графическое изображение построенного треугольника и точек пересечения его сторон с осью абсцисс.

Ответ: Треугольник построен на графике путем соединения вершин с заданными координатами.

Найти координаты точек пересечения сторон треугольника ABC с осью абсцисс.

Точка, лежащая на оси абсцисс (оси Ox), имеет ординату (координату $y$) равную нулю. Для нахождения точек пересечения сторон треугольника с этой осью, необходимо составить уравнения прямых, содержащих эти стороны, и найти их точки пересечения с прямой $y=0$. Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид:

$ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} $

Сторона AB:
Найдем уравнение прямой, проходящей через точки A(3; 4) и B(0; -4). Ординаты точек имеют разные знаки, значит, отрезок пересекает ось Ox.
$ \frac{x - 3}{0 - 3} = \frac{y - 4}{-4 - 4} \Rightarrow \frac{x - 3}{-3} = \frac{y - 4}{-8} $
$ 8(x - 3) = 3(y - 4) \Rightarrow 8x - 24 = 3y - 12 \Rightarrow 8x - 3y - 12 = 0 $
Подставим $y=0$ для нахождения точки пересечения с осью Ox:
$ 8x - 3(0) - 12 = 0 \Rightarrow 8x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5 $.
Координаты точки пересечения ($M_1$): $(1.5; 0)$. Проверяем, что точка лежит на отрезке AB, сравнивая ее абсциссу с абсциссами вершин: $0 \le 1.5 \le 3$. Условие выполняется.

Сторона BC:
Найдем уравнение прямой, проходящей через точки B(0; -4) и C(6; 2). Ординаты точек имеют разные знаки, значит, отрезок пересекает ось Ox.
$ \frac{x - 0}{6 - 0} = \frac{y - (-4)}{2 - (-4)} \Rightarrow \frac{x}{6} = \frac{y + 4}{6} \Rightarrow x = y + 4 $.
Подставим $y=0$:
$ x = 0 + 4 \Rightarrow x = 4 $.
Координаты точки пересечения ($M_2$): $(4; 0)$. Проверяем, что точка лежит на отрезке BC: $0 \le 4 \le 6$. Условие выполняется.

Сторона AC:
Вершины A(3; 4) и C(6; 2) имеют положительные ординаты ($y_A > 0$ и $y_C > 0$). Это означает, что обе точки лежат в одной полуплоскости относительно оси Ox (в верхней), поэтому отрезок AC не пересекает ось абсцисс.

Ответ: $(1.5; 0)$ и $(4; 0)$.

70. С помощью графика функции

$y = y(x)$, изображённого на рисунке 14:

1) найти $y(-3)$, $y(-5)$, $y(0)$, $y(2)$, $y(7)$, $y(12)$;

2) найти значения $x$, при которых $y(x) = -1$, $y(x) = 0$;

3) найти промежутки знакопостоянства функции;

4) сравнить $y(-5)$ и $y(-2)$; $y(-3)$ и $y(7)$; $y(0)$ и $y(2)$.

Рис. 14

1) найти $y(-3)$, $y(-5)$, $y(0)$, $y(2)$, $y(7)$, $y(12)$

Для нахождения значения функции $y(x)$ при заданном значении аргумента $x$ необходимо найти на оси абсцисс (горизонтальной оси $x$) заданное значение, затем подняться или опуститься до пересечения с графиком функции и от этой точки провести перпендикуляр к оси ординат (вертикальной оси $y$). Точка пересечения с осью $y$ и будет искомым значением функции.

• При $x = -3$ соответствующая точка на графике имеет ординату $y = -1$. Таким образом, $y(-3) = -1$.
• При $x = -5$ соответствующая точка на графике имеет ординату $y = -2$. Таким образом, $y(-5) = -2$.
• При $x = 0$ график пересекает ось $y$ в точке, где $y = 3$. Таким образом, $y(0) = 3$.
• При $x = 2$ соответствующая точка на графике имеет ординату $y = 4$. Таким образом, $y(2) = 4$.
• При $x = 7$ график пересекает ось $x$, что означает, что ордината равна 0. Таким образом, $y(7) = 0$.
• При $x = 12$ соответствующая точка на графике имеет ординату $y = -2$. Таким образом, $y(12) = -2$.

Ответ: $y(-3) = -1$; $y(-5) = -2$; $y(0) = 3$; $y(2) = 4$; $y(7) = 0$; $y(12) = -2$.

2) найти значения $x$, при которых $y(x) = -1$, $y(x) = 0$

Для нахождения значений $x$, соответствующих заданному значению функции $y$, необходимо найти на оси ординат (оси $y$) это значение, провести через него горизонтальную прямую и найти абсциссы всех точек пересечения этой прямой с графиком функции.

• При $y(x) = -1$: проводим горизонтальную прямую $y = -1$. Эта прямая пересекает график в двух точках, абсциссы которых равны $x = -3$ и $x = 9$.
• При $y(x) = 0$: это точки пересечения графика с осью $x$ (их также называют нулями функции). Из графика видно, что это происходит в точках $x = -2$ и $x = 7$.

Ответ: $y(x) = -1$ при $x = -3$ и $x = 9$; $y(x) = 0$ при $x = -2$ и $x = 7$.

3) найти промежутки знакопостоянства функции

Промежутки знакопостоянства — это интервалы оси $x$, на которых функция сохраняет свой знак, то есть остается либо строго положительной ($y > 0$), либо строго отрицательной ($y < 0$).

• Функция положительна ($y(x) > 0$), когда ее график находится выше оси $x$. Это происходит на интервале между нулями функции $x = -2$ и $x = 7$. Таким образом, $y > 0$ при $x \in (-2; 7)$.
• Функция отрицательна ($y(x) < 0$), когда ее график находится ниже оси $x$. На заданном графике это происходит на двух промежутках. Учитывая область определения, показанную на рисунке (от -5 до 12), получаем: $x \in [-5; -2) \cup (7; 12]$.

Ответ: функция положительна при $x \in (-2; 7)$; функция отрицательна при $x \in [-5; -2) \cup (7; 12]$.

4) сравнить $y(-5)$ и $y(-2)$; $y(-3)$ и $y(7)$; $y(0)$ и $y(2)$

Сравним значения функции в указанных точках, определив их по графику.

• Сравнение $y(-5)$ и $y(-2)$: из графика $y(-5) = -2$ и $y(-2) = 0$. Так как $-2 < 0$, то $y(-5) < y(-2)$.
• Сравнение $y(-3)$ и $y(7)$: из графика $y(-3) = -1$ и $y(7) = 0$. Так как $-1 < 0$, то $y(-3) < y(7)$.
• Сравнение $y(0)$ и $y(2)$: из графика $y(0) = 3$ и $y(2) = 4$. Так как $3 < 4$, то $y(0) < y(2)$.

Ответ: $y(-5) < y(-2)$; $y(-3) < y(7)$; $y(0) < y(2)$.

71. По графику функции $y = 2x - 2$ (рис. 15) найти:

1) промежутки знакопостоянства функции $y = 2x - 2$;

2) значения $x$, при которых значения функции $y = 2x - 2$ больше 2;

3) значения $x$, при которых значения функции $y = 2x - 2$ меньше 2.

$y = 2x - 2$

$y = 2$

Рис. 15

1) промежутки знакопостоянства функции y = 2x – 2;

Промежутки знакопостоянства – это интервалы, на которых функция принимает значения одного знака (либо только положительные, либо только отрицательные). Чтобы найти их по графику, нужно определить, на каких участках оси $x$ график функции находится выше оси $x$ (где $y > 0$) и ниже оси $x$ (где $y < 0$).

Точка пересечения графика с осью $x$ (осью абсцисс) является нулем функции. Из графика видно, что прямая $y = 2x - 2$ пересекает ось $x$ в точке, где $x = 1$. Проверим это аналитически: если $y=0$, то $2x - 2 = 0$, откуда $2x = 2$ и $x = 1$.

- Функция положительна ($y > 0$), когда ее график расположен выше оси $x$. По графику видим, что это происходит при значениях $x$, которые больше 1. То есть, $y > 0$ при $x \in (1; +\infty)$.

- Функция отрицательна ($y < 0$), когда ее график расположен ниже оси $x$. По графику видим, что это происходит при значениях $x$, которые меньше 1. То есть, $y < 0$ при $x \in (-\infty; 1)$.

Ответ: функция отрицательна ($y < 0$) при $x \in (-\infty; 1)$; функция положительна ($y > 0$) при $x \in (1; +\infty)$.

2) значения x, при которых значения функции y = 2x – 2 больше 2;

Нам нужно найти такие значения $x$, для которых выполняется неравенство $y > 2$, то есть $2x - 2 > 2$.

На графике проведена вспомогательная прямая $y = 2$. Нам нужно найти те значения $x$, для которых график функции $y = 2x - 2$ находится выше прямой $y = 2$.

Сначала найдем точку пересечения графиков $y = 2x - 2$ и $y = 2$. Из графика видно, что это происходит в точке с абсциссой $x = 2$. Проверим аналитически, решив уравнение $2x - 2 = 2$. Получаем $2x = 4$, откуда $x = 2$.

График функции $y = 2x - 2$ находится выше прямой $y = 2$ справа от точки их пересечения, то есть при значениях $x$, больших 2.

Ответ: $x > 2$, или $x \in (2; +\infty)$.

3) значения x, при которых значения функции y = 2x – 2 меньше 2.

Нам нужно найти такие значения $x$, для которых выполняется неравенство $y < 2$, то есть $2x - 2 < 2$.

Это соответствует той части графика функции $y = 2x - 2$, которая расположена ниже прямой $y = 2$.

Используя точку пересечения $x = 2$, найденную в предыдущем пункте, мы видим по графику, что прямая $y = 2x - 2$ находится ниже прямой $y = 2$ слева от точки их пересечения, то есть при значениях $x$, меньших 2.

Ответ: $x < 2$, или $x \in (-\infty; 2)$.

72. Построить график функции:

1) $y = 3x$;

2) $y = \frac{1}{3}x - 1$;

3) $y = 3.$

Данная функция является линейной, её общий вид $y = kx + b$. В нашем случае $k=3$ и $b=0$. Графиком линейной функции является прямая линия. Поскольку $b=0$, эта прямая проходит через начало координат — точку $(0; 0)$.

Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых её точек. Одну точку мы уже знаем — это $(0; 0)$.

Найдем вторую точку, взяв произвольное значение $x$, например, $x=1$:

$y = 3 \cdot 1 = 3$

Таким образом, вторая точка имеет координаты $(1; 3)$.

Теперь нужно отметить на координатной плоскости точки $(0; 0)$ и $(1; 3)$ и провести через них прямую линию. Это и будет график функции $y = 3x$.

Ответ: График функции $y=3x$ — это прямая, проходящая через точки с координатами $(0; 0)$ и $(1; 3)$.

Эта функция также является линейной, её график — прямая линия. Общий вид $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = \frac{1}{3}$, а свободный член $b = -1$. Свободный член $b=-1$ показывает, что график пересекает ось ординат (ось Y) в точке с координатами $(0; -1)$.

Для построения прямой найдем координаты двух точек. Первую точку мы уже определили — это точка пересечения с осью Y: $(0; -1)$.

Для нахождения второй точки выберем такое значение $x$, чтобы было удобно считать. Возьмем $x=3$, так как оно кратно знаменателю дроби:

$y = \frac{1}{3} \cdot 3 - 1 = 1 - 1 = 0$

Вторая точка имеет координаты $(3; 0)$. Эта точка является точкой пересечения графика с осью абсцисс (осью X).

Чтобы построить график, нужно отметить на координатной плоскости точки $(0; -1)$ и $(3; 0)$ и провести через них прямую.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{3}x - 1$ — это прямая, проходящая через точки с координатами $(0; -1)$ и $(3; 0)$.

Это частный случай линейной функции $y = kx + b$, где $k=0$ и $b=3$. Функция является постоянной.

Это уравнение означает, что для любого значения $x$ значение $y$ всегда будет равно 3.

Графиком такой функции является прямая, параллельная оси абсцисс (оси X) и проходящая через точку 3 на оси ординат (оси Y).

Можно взять любые две точки для построения, например:

Если $x=0$, то $y=3$. Получаем точку $(0; 3)$.

Если $x=4$, то $y=3$. Получаем точку $(4; 3)$.

Соединив эти точки, мы получим горизонтальную прямую, проходящую через все точки, у которых ордината равна 3.

Ответ: График функции $y=3$ — это прямая, параллельная оси X и проходящая через точку $(0; 3)$.

73. Не строя графика функции, найти координаты точек пересечения его с осями координат:

1) $y = -5x + 8$;

2) $y = \frac{1}{4}x - 3$.

Чтобы найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат, нужно выполнить следующие действия:

• Для нахождения точки пересечения с осью ординат (Oy), нужно подставить в уравнение функции значение $x = 0$.
• Для нахождения точки пересечения с осью абсцисс (Ox), нужно подставить в уравнение функции значение $y = 0$.

1) $y = -5x + 8$

Пересечение с осью Oy:
Подставляем $x = 0$ в уравнение:
$y = -5 \cdot 0 + 8$
$y = 8$
Координаты точки пересечения с осью Oy: $(0; 8)$.

Пересечение с осью Ox:
Подставляем $y = 0$ в уравнение:
$0 = -5x + 8$
$5x = 8$
$x = \frac{8}{5}$
$x = 1.6$
Координаты точки пересечения с осью Ox: $(1.6; 0)$.

Ответ: точки пересечения с осями координат имеют координаты $(0; 8)$ и $(1.6; 0)$.

2) $y = \frac{1}{4}x - 3$

Пересечение с осью Oy:
Подставляем $x = 0$ в уравнение:
$y = \frac{1}{4} \cdot 0 - 3$
$y = -3$
Координаты точки пересечения с осью Oy: $(0; -3)$.

Пересечение с осью Ox:
Подставляем $y = 0$ в уравнение:
$0 = \frac{1}{4}x - 3$
$\frac{1}{4}x = 3$
Умножим обе части уравнения на 4:
$x = 3 \cdot 4$
$x = 12$
Координаты точки пересечения с осью Ox: $(12; 0)$.

Ответ: точки пересечения с осями координат имеют координаты $(0; -3)$ и $(12; 0)$.