Номер 71, страница 29 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

71. По графику функции $y = 2x - 2$ (рис. 15) найти:

1) промежутки знакопостоянства функции $y = 2x - 2$;

2) значения $x$, при которых значения функции $y = 2x - 2$ больше 2;

3) значения $x$, при которых значения функции $y = 2x - 2$ меньше 2.

$y = 2x - 2$

$y = 2$

Рис. 15

1) промежутки знакопостоянства функции y = 2x – 2;

Промежутки знакопостоянства – это интервалы, на которых функция принимает значения одного знака (либо только положительные, либо только отрицательные). Чтобы найти их по графику, нужно определить, на каких участках оси $x$ график функции находится выше оси $x$ (где $y > 0$) и ниже оси $x$ (где $y < 0$).

Точка пересечения графика с осью $x$ (осью абсцисс) является нулем функции. Из графика видно, что прямая $y = 2x - 2$ пересекает ось $x$ в точке, где $x = 1$. Проверим это аналитически: если $y=0$, то $2x - 2 = 0$, откуда $2x = 2$ и $x = 1$.

- Функция положительна ($y > 0$), когда ее график расположен выше оси $x$. По графику видим, что это происходит при значениях $x$, которые больше 1. То есть, $y > 0$ при $x \in (1; +\infty)$.

- Функция отрицательна ($y < 0$), когда ее график расположен ниже оси $x$. По графику видим, что это происходит при значениях $x$, которые меньше 1. То есть, $y < 0$ при $x \in (-\infty; 1)$.

Ответ: функция отрицательна ($y < 0$) при $x \in (-\infty; 1)$; функция положительна ($y > 0$) при $x \in (1; +\infty)$.

2) значения x, при которых значения функции y = 2x – 2 больше 2;

Нам нужно найти такие значения $x$, для которых выполняется неравенство $y > 2$, то есть $2x - 2 > 2$.

На графике проведена вспомогательная прямая $y = 2$. Нам нужно найти те значения $x$, для которых график функции $y = 2x - 2$ находится выше прямой $y = 2$.

Сначала найдем точку пересечения графиков $y = 2x - 2$ и $y = 2$. Из графика видно, что это происходит в точке с абсциссой $x = 2$. Проверим аналитически, решив уравнение $2x - 2 = 2$. Получаем $2x = 4$, откуда $x = 2$.

График функции $y = 2x - 2$ находится выше прямой $y = 2$ справа от точки их пересечения, то есть при значениях $x$, больших 2.

Ответ: $x > 2$, или $x \in (2; +\infty)$.

3) значения x, при которых значения функции y = 2x – 2 меньше 2.

Нам нужно найти такие значения $x$, для которых выполняется неравенство $y < 2$, то есть $2x - 2 < 2$.

Это соответствует той части графика функции $y = 2x - 2$, которая расположена ниже прямой $y = 2$.

Используя точку пересечения $x = 2$, найденную в предыдущем пункте, мы видим по графику, что прямая $y = 2x - 2$ находится ниже прямой $y = 2$ слева от точки их пересечения, то есть при значениях $x$, меньших 2.

Ответ: $x < 2$, или $x \in (-\infty; 2)$.