Номер 64, страница 23 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

64. Решить систему неравенств:

1) $\begin{cases} 3x - 4 < x + 1, \\ -5x + 1 < 7 + x, \\ \frac{1}{4}x - 1 \le \frac{3}{4}x - 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 12x + 5 \ge 7x + 2, \\ 0,1x - 2 < 0,2x - 1, \\ 6x + 3 < 6 - 4x. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 3x - 4 < x + 1, \\ -5x + 1 < 7 + x, \\ \frac{1}{4}x - 1 \le \frac{3}{4}x - 1; \end{cases}$

Для решения системы необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Решаем первое неравенство:
$3x - 4 < x + 1$
$3x - x < 1 + 4$
$2x < 5$
$x < \frac{5}{2}$
$x < 2.5$

Решаем второе неравенство:
$-5x + 1 < 7 + x$
$-5x - x < 7 - 1$
$-6x < 6$
Делим обе части на -6 и меняем знак неравенства на противоположный:
$x > -1$

Решаем третье неравенство:
$\frac{1}{4}x - 1 \le \frac{3}{4}x - 1$
$\frac{1}{4}x \le \frac{3}{4}x$
$0 \le \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}x$
$0 \le \frac{2}{4}x$
$0 \le \frac{1}{2}x$
Умножаем обе части на 2:
$0 \le x$ или $x \ge 0$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x < 2.5$, $x > -1$ и $x \ge 0$.
Общим решением для всех трех неравенств является промежуток, где выполняются все три условия одновременно. Изобразив на числовой оси, видим, что пересечением является промежуток $0 \le x < 2.5$.

Ответ: $x \in [0; 2.5)$.

2) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 12x + 5 \ge 7x + 2, \\ 0.1x - 2 < 0.2x - 1, \\ 6x + 3 < 6 - 4x. \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Решаем первое неравенство:
$12x + 5 \ge 7x + 2$
$12x - 7x \ge 2 - 5$
$5x \ge -3$
$x \ge -\frac{3}{5}$
$x \ge -0.6$

Решаем второе неравенство:
$0.1x - 2 < 0.2x - 1$
$-2 + 1 < 0.2x - 0.1x$
$-1 < 0.1x$
Умножим обе части на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$-10 < x$

Решаем третье неравенство:
$6x + 3 < 6 - 4x$
$6x + 4x < 6 - 3$
$10x < 3$
$x < \frac{3}{10}$
$x < 0.3$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x \ge -0.6$, $x > -10$ и $x < 0.3$.
Общим решением является промежуток, удовлетворяющий всем трем условиям. Пересечением интервалов $(-\infty; 0.3)$, $(-10; +\infty)$ и $[-0.6; +\infty)$ является промежуток $-0.6 \le x < 0.3$.

Ответ: $x \in [-0.6; 0.3)$.