Номер 60, страница 23 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

60. Решить неравенство:

1) $\frac{-21}{5-6x} > 0$;

2) $\frac{0,8x-2}{x^2+1} < 0$.

Для решения этих дробно-рациональных неравенств воспользуемся правилами знаков для частного: знак дроби зависит от знаков числителя и знаменателя.

1) $\frac{-21}{5-6x} > 0$

В этой дроби числитель — отрицательное число ($-21$). Чтобы вся дробь была положительной (больше нуля), знаменатель обязательно должен быть также отрицательным, так как "минус на минус дает плюс".

Составим и решим неравенство для знаменателя:

$$5 - 6x < 0$$

Перенесем $5$ в правую часть:

$$-6x < -5$$

Разделим на $-6$. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства переворачивается:

$$x > \frac{-5}{-6} \Rightarrow x > \frac{5}{6}$$

Ответ: $x \in (\frac{5}{6}; +\infty)$

2) $\frac{0,8x-2}{x^2+1} < 0$

Проанализируем знаменатель $x^2 + 1$. Поскольку любое число в квадрате неотрицательно ($x^2 \ge 0$), то выражение $x^2 + 1$ всегда положительно и никогда не равно нулю при любых действительных $x$.

Так как знаменатель всегда имеет знак "+", знак всей дроби зависит только от числителя. Чтобы дробь была меньше нуля, числитель должен быть отрицательным:

$$0,8x - 2 < 0$$

Перенесем $2$ в правую часть:

$$0,8x < 2$$

Разделим обе части на $0,8$:

$$x < \frac{2}{0,8} \Rightarrow x < 2,5$$

Ответ: $x \in (-\infty; 2,5)$