Номер 62, страница 23 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить неравенство (62—63).

62.

1) $|3x + 1| \le 7;$ 2) $|2 - x| < 3;

3) $|2x - 3| > 1;$ 4) $|1 - x| \ge 4.$

1) Дано неравенство $|3x + 1| \le 7$. Неравенство с модулем вида $|f(x)| \le a$ (где $a > 0$) равносильно двойному неравенству $-a \le f(x) \le a$. Применив это правило, получаем:
$-7 \le 3x + 1 \le 7$
Вычтем 1 из всех частей неравенства, чтобы выделить слагаемое с $x$:
$-7 - 1 \le 3x \le 7 - 1$
$-8 \le 3x \le 6$
Теперь разделим все части неравенства на 3:
$-\frac{8}{3} \le x \le 2$
Таким образом, решение представляет собой отрезок.

Ответ: $x \in [-\frac{8}{3}; 2]$

2) Дано неравенство $|2 - x| < 3$. Неравенство вида $|f(x)| < a$ (где $a > 0$) равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$. Используя это свойство, получаем:
$-3 < 2 - x < 3$
Вычтем 2 из всех частей неравенства:
$-3 - 2 < -x < 3 - 2$
$-5 < -x < 1$
Умножим все части на -1, не забывая изменить знаки неравенства на противоположные:
$5 > x > -1$
Запишем это в более привычном виде, от меньшего к большему:
$-1 < x < 5$
Решением является интервал.

Ответ: $x \in (-1; 5)$

3) Дано неравенство $|2x - 3| > 1$. Неравенство вида $|f(x)| > a$ (где $a > 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$. В нашем случае это означает:
$2x - 3 > 1$ или $2x - 3 < -1$
Решим каждое неравенство по отдельности.
Первое неравенство:
$2x - 3 > 1$
$2x > 1 + 3$
$2x > 4$
$x > 2$
Второе неравенство:
$2x - 3 < -1$
$2x < -1 + 3$
$2x < 2$
$x < 1$
Объединяя решения, получаем, что $x$ должен быть либо меньше 1, либо больше 2.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$

4) Дано неравенство $|1 - x| \ge 4$. Неравенство вида $|f(x)| \ge a$ (где $a > 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$. Применяем это правило:
$1 - x \ge 4$ или $1 - x \le -4$
Решим каждое неравенство.
Первое неравенство:
$1 - x \ge 4$
$-x \ge 4 - 1$
$-x \ge 3$
$x \le -3$ (знак неравенства меняется при умножении на -1)
Второе неравенство:
$1 - x \le -4$
$-x \le -4 - 1$
$-x \le -5$
$x \ge 5$ (знак неравенства меняется при умножении на -1)
Объединяем полученные решения.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [5; +\infty)$