Номер 61, страница 23 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

61. Решить уравнение:

1) $|5x - 1| = 0;$

2) $|0,5x + 3| = 1;$

3) $|x + 2| = -2;$

4) $|7 - x| = -0,1;$

5) $|3x - 5| = 1;$

6) $|1 - 2x| = 5.$

1) Дано уравнение $|5x - 1| = 0$.

Модуль выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само выражение равно нулю. Следовательно, мы можем убрать знак модуля и приравнять выражение к нулю:

$5x - 1 = 0$

Перенесем -1 в правую часть уравнения, изменив знак:

$5x = 1$

Разделим обе части уравнения на 5, чтобы найти $x$:

$x = \frac{1}{5} = 0,2$

Ответ: $0,2$

2) Дано уравнение $|0,5x + 3| = 1$.

Это уравнение распадается на два случая, так как модуль выражения равен 1. Это означает, что выражение под знаком модуля может быть равно как 1, так и -1.

Случай 1:

$0,5x + 3 = 1$

$0,5x = 1 - 3$

$0,5x = -2$

$x_1 = \frac{-2}{0,5} = -4$

Случай 2:

$0,5x + 3 = -1$

$0,5x = -1 - 3$

$0,5x = -4$

$x_2 = \frac{-4}{0,5} = -8$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $-8; -4$

3) Дано уравнение $|x + 2| = -2$.

По определению, модуль (абсолютная величина) любого числа или выражения является неотрицательной величиной, то есть $|a| \ge 0$ для любого $a$.

В данном уравнении левая часть $|x + 2|$ всегда неотрицательна, а правая часть равна -2, что является отрицательным числом. Неотрицательное число не может быть равно отрицательному, следовательно, у этого уравнения нет решений.

Ответ: нет корней.

4) Дано уравнение $|7 - x| = -0,1$.

Как и в предыдущем случае, левая часть уравнения, $|7 - x|$, по определению модуля, всегда больше или равна нулю ($|7 - x| \ge 0$). Правая часть уравнения равна -0,1, что является отрицательным числом. Равенство между неотрицательной и отрицательной величиной невозможно, поэтому данное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

5) Дано уравнение $|3x - 5| = 1$.

Уравнение с модулем, равным положительному числу, раскрывается в виде двух отдельных уравнений:

Случай 1:

$3x - 5 = 1$

$3x = 1 + 5$

$3x = 6$

$x_1 = \frac{6}{3} = 2$

Случай 2:

$3x - 5 = -1$

$3x = -1 + 5$

$3x = 4$

$x_2 = \frac{4}{3}$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $\frac{4}{3}; 2$

6) Дано уравнение $|1 - 2x| = 5$.

Данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

Случай 1:

$1 - 2x = 5$

$-2x = 5 - 1$

$-2x = 4$

$x_1 = \frac{4}{-2} = -2$

Случай 2:

$1 - 2x = -5$

$-2x = -5 - 1$

$-2x = -6$

$x_2 = \frac{-6}{-2} = 3$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $-2; 3$