Номер 58, страница 23 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

58. Решить систему неравенств:

1) $\begin{cases} 3x - 5 > x - 7, \\ x + 4 < 2(x + 1); \end{cases}$

2) $\begin{cases} 4(x + 1) < 3(x + 2) + 1, \\ -2x + 1 \le 1 - 7x; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 0,5x + 3 \le -1,5x, \\ 5(2 - x) < 3(1 - x) + 3; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 0,3x + 0,1 \ge 0,2x - 0,1, \\ 6(x + 2) > 7x + 8. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 3x - 5 > x - 7 \\ x + 4 < 2(x + 1) \end{cases} $
Сначала решим первое неравенство:
$3x - 5 > x - 7$
$3x - x > -7 + 5$
$2x > -2$
$x > -1$
Теперь решим второе неравенство:
$x + 4 < 2(x + 1)$
$x + 4 < 2x + 2$
$4 - 2 < 2x - x$
$2 < x$
Найдем пересечение полученных решений: $x > -1$ и $x > 2$. Общим решением системы является множество значений $x$, удовлетворяющих обоим неравенствам одновременно. Это промежуток $x > 2$.
Ответ: $x \in (2, +\infty)$.

2) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 4(x + 1) < 3(x + 2) + 1 \\ -2x + 1 \le 1 - 7x \end{cases} $
Сначала решим первое неравенство:
$4(x + 1) < 3(x + 2) + 1$
$4x + 4 < 3x + 6 + 1$
$4x + 4 < 3x + 7$
$4x - 3x < 7 - 4$
$x < 3$
Теперь решим второе неравенство:
$-2x + 1 \le 1 - 7x$
$7x - 2x \le 1 - 1$
$5x \le 0$
$x \le 0$
Найдем пересечение полученных решений: $x < 3$ и $x \le 0$. Общим решением является множество значений $x$, которые одновременно меньше 3 и меньше либо равны 0. Это промежуток $x \le 0$.
Ответ: $x \in (-\infty, 0]$.

3) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 0,5x + 3 \le -1,5x \\ 5(2 - x) < 3(1 - x) + 3 \end{cases} $
Сначала решим первое неравенство:
$0,5x + 3 \le -1,5x$
$0,5x + 1,5x \le -3$
$2x \le -3$
$x \le -1,5$
Теперь решим второе неравенство:
$5(2 - x) < 3(1 - x) + 3$
$10 - 5x < 3 - 3x + 3$
$10 - 5x < 6 - 3x$
$10 - 6 < 5x - 3x$
$4 < 2x$
$2 < x$
Найдем пересечение полученных решений: $x \le -1,5$ и $x > 2$. Множества решений этих двух неравенств не пересекаются, так как не существует числа, которое было бы одновременно меньше или равно -1,5 и больше 2.
Ответ: решений нет.

4) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 0,3x + 0,1 \ge 0,2x - 0,1 \\ 6(x + 2) > 7x + 8 \end{cases} $
Сначала решим первое неравенство:
$0,3x + 0,1 \ge 0,2x - 0,1$
$0,3x - 0,2x \ge -0,1 - 0,1$
$0,1x \ge -0,2$
Умножим обе части на 10:
$x \ge -2$
Теперь решим второе неравенство:
$6(x + 2) > 7x + 8$
$6x + 12 > 7x + 8$
$12 - 8 > 7x - 6x$
$4 > x$
Найдем пересечение полученных решений: $x \ge -2$ и $x < 4$. Общим решением является множество значений $x$, которые больше либо равны -2 и одновременно меньше 4. Это интервал от -2 (включительно) до 4 (не включительно).
Ответ: $x \in [-2, 4)$.