Номер 55, страница 22 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

55. Доказать, что если $x > 2$, $y > 4$, то:

1) $\frac{x}{2} + \frac{y}{4} > 2$;

2) $2xy > 16$;

3) $-\frac{xy}{2} < -4$;

4) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} < \frac{3}{4}$.

Для доказательства всех неравенств будем использовать свойства числовых неравенств и исходные условия: $x > 2$ и $y > 4$.

1) Доказать, что $\frac{x}{2} + \frac{y}{4} > 2$

Из условия $x > 2$ следует, что если разделить обе части неравенства на положительное число 2, то знак неравенства сохранится:

$\frac{x}{2} > \frac{2}{2}$

$\frac{x}{2} > 1$

Аналогично, из условия $y > 4$ разделим обе части на положительное число 4:

$\frac{y}{4} > \frac{4}{4}$

$\frac{y}{4} > 1$

Теперь сложим почленно два полученных неравенства: $\frac{x}{2} > 1$ и $\frac{y}{4} > 1$. При сложении неравенств одного знака знак неравенства сохраняется:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{4} > 1 + 1$

$\frac{x}{2} + \frac{y}{4} > 2$

Неравенство доказано.

Ответ: Доказано.

2) Доказать, что $2xy > 16$

Из условий $x > 2$ и $y > 4$ следует, что $x$ и $y$ — положительные числа. Мы можем перемножить эти неравенства, так как их левые и правые части положительны. Знак неравенства при этом сохранится:

$x \cdot y > 2 \cdot 4$

$xy > 8$

Теперь умножим обе части полученного неравенства на положительное число 2. Знак неравенства не изменится:

$2 \cdot (xy) > 2 \cdot 8$

$2xy > 16$

Неравенство доказано.

Ответ: Доказано.

3) Доказать, что $-\frac{xy}{2} < -4$

Воспользуемся результатом из предыдущего пункта, где мы установили, что $xy > 8$.

Разделим обе части неравенства $xy > 8$ на 2. Знак неравенства не изменится:

$\frac{xy}{2} > \frac{8}{2}$

$\frac{xy}{2} > 4$

Теперь умножим обе части полученного неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$-1 \cdot \frac{xy}{2} < -1 \cdot 4$

$-\frac{xy}{2} < -4$

Неравенство доказано.

Ответ: Доказано.

4) Доказать, что $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} < \frac{3}{4}$

Из условия $x > 2$ следует, что $x$ — положительное число. Для положительных чисел при взятии обратной величины знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{1}{x} < \frac{1}{2}$

Аналогично, из условия $y > 4$ следует, что $y$ — положительное число, поэтому:

$\frac{1}{y} < \frac{1}{4}$

Сложим почленно полученные неравенства $\frac{1}{x} < \frac{1}{2}$ и $\frac{1}{y} < \frac{1}{4}$:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} < \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Вычислим сумму в правой части, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Таким образом, мы получаем:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} < \frac{3}{4}$

Неравенство доказано.

Ответ: Доказано.