Страница 22 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

45. Выяснить, положительным или отрицательным является число c, если:

1) $c > b, ab > 1$;

2) $c < b, ab < -3$.

1)

По условию даны два неравенства: $c > b$ и $b > 1$. Согласно свойству транзитивности неравенств, если одна величина больше второй, а вторая больше третьей, то первая величина больше третьей. Применив это свойство к заданным неравенствам ($c > b$ и $b > 1$), мы можем заключить, что $c > 1$. Это также можно записать в виде двойного неравенства: $c > b > 1$. Поскольку любое число, которое больше 1, заведомо больше 0, то число $c$ является положительным.

Ответ: положительным.

2)

В этом случае даны следующие условия: $c < b$ и $b < -3$. Аналогично первому пункту, воспользуемся свойством транзитивности для неравенств (если одна величина меньше второй, а вторая меньше третьей, то первая величина меньше третьей). Из условий $c < b$ и $b < -3$ следует, что $c < -3$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $c < b < -3$. Поскольку любое число, которое меньше -3, заведомо меньше 0, то число $c$ является отрицательным.

Ответ: отрицательным.

46. Доказать, что если $x^2 - 3x + 5 > (x - 2)^2$, то $x > -1$.

Для доказательства данного утверждения необходимо решить исходное неравенство и показать, что его решением является множество всех $x$, удовлетворяющих условию $x > -1$.

Начнем с данного в условии неравенства:
$x^2 - 3x + 5 > (x - 2)^2$

Раскроем скобки в правой части неравенства, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(x - 2)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 - 4x + 4$

Подставим полученное выражение обратно в исходное неравенство:
$x^2 - 3x + 5 > x^2 - 4x + 4$

Теперь упростим неравенство. Для этого перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую.
Вычтем $x^2$ из обеих частей неравенства:
$-3x + 5 > -4x + 4$

Прибавим $4x$ к обеим частям и вычтем 5 из обеих частей:
$4x - 3x > 4 - 5$

Приведем подобные слагаемые в каждой части неравенства:
$x > -1$

Таким образом, мы показали, что исходное неравенство $x^2 - 3x + 5 > (x - 2)^2$ равносильно неравенству $x > -1$. Это означает, что если выполняется первое неравенство, то выполняется и второе. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

47. Доказать, что:

1) $x > 5$, если $5x > 25$;

2) $x < 3$, если $-x > -3$;

3) $x^2 > -2x$, если $x < -2$;

4) $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$, если $x < y$ и $xy > 0$.

1) Дано неравенство $5x > 25$. Чтобы доказать, что $x > 5$, разделим обе части данного неравенства на положительное число 5. Согласно свойствам числовых неравенств, при делении обеих частей на одно и то же положительное число знак неравенства сохраняется.
$ \frac{5x}{5} > \frac{25}{5} $
$ x > 5 $
Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

2) Дано неравенство $-x > -3$. Чтобы доказать, что $x < 3$, умножим обе части данного неравенства на -1. Согласно свойствам числовых неравенств, при умножении обеих частей на одно и то же отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (знак «>» меняется на «<»).
$ (-x) \cdot (-1) < (-3) \cdot (-1) $
$ x < 3 $
Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

3) Дано условие $x < -2$. Требуется доказать, что $x^2 > -2x$.
Из условия $x < -2$ следует, что $x$ является отрицательным числом ($x < 0$). Умножим обе части неравенства $x < -2$ на $x$. Так как мы умножаем на отрицательное число $x$, знак неравенства необходимо изменить на противоположный (знак «<» меняется на «>»).
$ x \cdot x > (-2) \cdot x $
$ x^2 > -2x $
Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

4) Даны условия $x < y$ и $xy > 0$. Требуется доказать, что $ \frac{1}{x} > \frac{1}{y} $.
Условие $xy > 0$ означает, что числа $x$ и $y$ имеют одинаковый знак (оба положительные или оба отрицательные) и не равны нулю. Следовательно, их произведение $xy$ является положительным числом.
Возьмем исходное неравенство $x < y$ и разделим обе его части на положительное число $xy$. При делении на положительное число знак неравенства не меняется.
$ \frac{x}{xy} < \frac{y}{xy} $
После сокращения дробей получаем:
$ \frac{1}{y} < \frac{1}{x} $
Это неравенство эквивалентно записи $ \frac{1}{x} > \frac{1}{y} $, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

48. Известно, что $x > 3$, $y < 8$. Доказать, что $2x^3 - y > 46$.

Для доказательства неравенства $2x^3 - y > 46$, используя данные условия $x > 3$ и $y < 8$, мы оценим каждое слагаемое в левой части доказываемого неравенства по отдельности.

1. Начнем с оценки выражения, содержащего переменную $x$. Нам дано, что $x > 3$.
Поскольку функция $f(x) = x^3$ является строго возрастающей для всех действительных чисел, мы можем возвести обе части неравенства $x > 3$ в третью степень, сохранив знак неравенства:
$x^3 > 3^3$
$x^3 > 27$
Теперь умножим обе части полученного неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не изменится:
$2 \cdot x^3 > 2 \cdot 27$
$2x^3 > 54$

2. Теперь оценим выражение, содержащее переменную $y$. Нам дано, что $y < 8$.
Чтобы в дальнейшем сложить это неравенство с полученным ранее, нам нужно получить оценку для $-y$. Для этого умножим обе части неравенства $y < 8$ на -1. При умножении неравенства на отрицательное число его знак меняется на противоположный:
$-1 \cdot y > -1 \cdot 8$
$-y > -8$

3. Сложим полученные неравенства.
У нас есть два неравенства одного знака:
$2x^3 > 54$
$-y > -8$
Согласно свойству числовых неравенств, мы можем их почленно сложить. Складывая левые части с левыми, а правые с правыми, получаем:
$2x^3 + (-y) > 54 + (-8)$
$2x^3 - y > 46$

Таким образом, мы доказали, что при заданных условиях $x > 3$ и $y < 8$ выполняется неравенство $2x^3 - y > 46$.

Ответ: Утверждение доказано.

49. Длина прямоугольника меньше 12 см, а ширина — в 2 раза меньше длины. Доказать, что площадь прямоугольника меньше $100 \text{ см}^2$.

Обозначим длину прямоугольника как $L$, а ширину — как $W$.

Согласно условию задачи, длина прямоугольника меньше 12 см. Это можно записать в виде неравенства:

$L < 12$

Также известно, что ширина в 2 раза меньше длины. Запишем это соотношение в виде формулы:

$W = \frac{L}{2}$

Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его длины на ширину:

$S = L \cdot W$

Теперь подставим выражение для ширины $W$ в формулу площади, чтобы выразить площадь только через длину $L$:

$S = L \cdot \left(\frac{L}{2}\right) = \frac{L^2}{2}$

Мы знаем, что $L < 12$. Так как длина является положительной величиной, мы можем возвести обе части этого неравенства в квадрат, не меняя знака неравенства:

$L^2 < 12^2$

$L^2 < 144$

Теперь, чтобы найти максимальное значение площади $S$, разделим обе части полученного неравенства на 2:

$\frac{L^2}{2} < \frac{144}{2}$

Подставляя $S = \frac{L^2}{2}$, получаем:

$S < 72$

Таким образом, мы доказали, что площадь прямоугольника строго меньше 72 см². Поскольку число 72 меньше, чем 100 ($72 < 100$), то из того, что $S < 72$, следует, что $S < 100$.

Следовательно, утверждение, что площадь прямоугольника меньше 100 см², доказано.

Ответ: Так как длина прямоугольника $L < 12$ см, а ширина $W = \frac{L}{2}$, то его площадь $S = L \cdot W = \frac{L^2}{2}$. Из неравенства для длины следует, что $S < \frac{12^2}{2} = \frac{144}{2} = 72$ см². Поскольку $72 < 100$, то площадь прямоугольника гарантированно меньше 100 см², что и требовалось доказать.

50. Решить неравенство:

1) $3x - 8 > 5x + 1$;

2) $25(x - 1) \le 6(5x - 6)$.

1) $3x - 8 > 5x + 1$

Для решения неравенства перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну часть, а свободные члены в другую. Перенесем $5x$ в левую часть, а $-8$ в правую, изменив их знаки при переносе:

$3x - 5x > 1 + 8$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства:

$-2x > 9$

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на $-2$. Важно помнить, что при делении или умножении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный ( $>$ на $< $):

$x < \frac{9}{-2}$

$x < -4.5$

Решение можно записать в виде числового промежутка: $x \in (-\infty; -4.5)$.

Ответ: $(-\infty; -4.5)$

2) $25(x - 1) \le 6(5x - 6)$

Сначала раскроем скобки в обеих частях неравенства, умножив множитель перед скобкой на каждый член внутри скобки:

$25 \cdot x - 25 \cdot 1 \le 6 \cdot 5x - 6 \cdot 6$

$25x - 25 \le 30x - 36$

Теперь соберем слагаемые с $x$ в одной части, а свободные члены в другой. Чтобы избежать отрицательного коэффициента при $x$, перенесем $25x$ в правую часть, а $-36$ в левую, изменив их знаки:

$-25 + 36 \le 30x - 25x$

Приведем подобные слагаемые:

$11 \le 5x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на $5$. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства не меняется:

$\frac{11}{5} \le x$

Это неравенство можно записать в более привычном виде:

$x \ge \frac{11}{5}$

Переведем обыкновенную дробь в десятичную для удобства:

$x \ge 2.2$

Решение в виде числового промежутка: $x \in [2.2; +\infty)$. Квадратная скобка используется, так как неравенство нестрогое ($\le$), что означает, что значение $2.2$ включается в решение.

Ответ: $[2.2; +\infty)$

51. Найти наименьшее целое n, удовлетворяющее неравенству:

1) $n > -3$;

2) $n > 0$;

3) $n \geq 2$;

4) $n \geq -5$.

1) Требуется найти наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее неравенству $n > -3$. Это означает, что $n$ должно быть строго больше -3. На числовой прямой целые числа, расположенные правее -3, это -2, -1, 0, 1, 2 и так далее. Наименьшим из этих целых чисел является -2.
Ответ: -2

2) Требуется найти наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее неравенству $n > 0$. Это означает, что $n$ должно быть строго больше 0. Целые числа, которые больше 0, — это натуральные числа: 1, 2, 3, 4 и так далее. Наименьшим из этих чисел является 1.
Ответ: 1

3) Требуется найти наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее неравенству $n \ge 2$. Знак $\ge$ означает "больше или равно". Таким образом, $n$ может быть равно 2 или любому целому числу, которое больше 2. Множество целых чисел, удовлетворяющих этому условию, начинается с 2: 2, 3, 4, 5 и так далее. Наименьшим из этих чисел является 2.
Ответ: 2

4) Требуется найти наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее неравенству $n \ge -5$. Знак $\ge$ означает "больше или равно". Таким образом, $n$ может быть равно -5 или любому целому числу, которое больше -5. Множество целых чисел, удовлетворяющих этому условию, начинается с -5: -5, -4, -3, -2, -1, 0 и так далее. Наименьшим из этих чисел является -5.
Ответ: -5

52. Найти наименьшее целое число, являющееся решением неравенства $15 - 2(x + 2) < x - 10$.

Чтобы найти наименьшее целое число, являющееся решением неравенства, сначала решим само неравенство $15 - 2(x + 2) < x - 10$.

1. Раскроем скобки в левой части неравенства, умножив $-2$ на каждое слагаемое в скобках:

$15 - 2x - 4 < x - 10$

2. Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(15 - 4) - 2x < x - 10$

$11 - 2x < x - 10$

3. Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части неравенства, а постоянные члены — в другой. Для этого перенесем $-2x$ в правую часть (изменив знак на "+"), а $-10$ — в левую часть (изменив знак на "+").

$11 + 10 < x + 2x$

4. Упростим обе части неравенства:

$21 < 3x$

5. Разделим обе части неравенства на 3. Поскольку мы делим на положительное число, знак неравенства сохраняется:

$\frac{21}{3} < x$

$7 < x$

Решением неравенства является промежуток $(7; +\infty)$. Нам нужно найти наименьшее целое число, которое принадлежит этому промежутку.

Первое целое число, которое строго больше 7, — это 8.

Ответ: 8

53. Решить систему неравенств:

1) $ \begin{cases} 2x - 3 > 0, \\ 5 - x > 0; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 0,2 + x \le 0, \\ -5x + 2 < 0; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} \frac{1}{4}x + 1 > 0, \\ 2 - \frac{1}{3}x \le 0; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 1,4x + 7 \le 0, \\ 0,3 - 2x \ge 0. \end{cases} $

1) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2x - 3 > 0 \\ 5 - x > 0 \end{cases} $

Решаем каждое неравенство отдельно.

Первое неравенство:
$2x - 3 > 0$
$2x > 3$
$x > \frac{3}{2}$
$x > 1,5$

Второе неравенство:
$5 - x > 0$
$-x > -5$
$x < 5$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x > 1,5$ и $x < 5$. Это означает, что $x$ должен быть одновременно больше 1,5 и меньше 5. Таким образом, решением системы является интервал $(1,5; 5)$.

Ответ: $(1,5; 5)$

2) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 0,2 + x \le 0 \\ -5x + 2 < 0 \end{cases} $

Решаем каждое неравенство отдельно.

Первое неравенство:
$0,2 + x \le 0$
$x \le -0,2$

Второе неравенство:
$-5x + 2 < 0$
$-5x < -2$
$x > \frac{-2}{-5}$ (делим на отрицательное число, поэтому знак неравенства меняется)
$x > \frac{2}{5}$
$x > 0,4$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x \le -0,2$ и $x > 0,4$. Не существует числа, которое одновременно меньше или равно -0,2 и больше 0,4. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: нет решений

3) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{1}{4}x + 1 > 0 \\ 2 - \frac{1}{3}x \le 0 \end{cases} $

Решаем каждое неравенство отдельно.

Первое неравенство:
$\frac{1}{4}x + 1 > 0$
$\frac{1}{4}x > -1$
$x > -4$

Второе неравенство:
$2 - \frac{1}{3}x \le 0$
$-\frac{1}{3}x \le -2$
$x \ge (-2) \cdot (-3)$ (умножаем на отрицательное число, поэтому знак неравенства меняется)
$x \ge 6$

Найдем пересечение решений: $x > -4$ и $x \ge 6$. Общим решением для этих двух условий является $x \ge 6$. Таким образом, решением системы является промежуток $[6; +\infty)$.

Ответ: $[6; +\infty)$

4) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 1,4x + 7 \le 0 \\ 0,3 - 2x \ge 0 \end{cases} $

Решаем каждое неравенство отдельно.

Первое неравенство:
$1,4x + 7 \le 0$
$1,4x \le -7$
$x \le \frac{-7}{1,4}$
$x \le -5$

Второе неравенство:
$0,3 - 2x \ge 0$
$-2x \ge -0,3$
$x \le \frac{-0,3}{-2}$ (делим на отрицательное число, поэтому знак неравенства меняется)
$x \le 0,15$

Найдем пересечение решений: $x \le -5$ и $x \le 0,15$. Если число меньше или равно -5, оно автоматически меньше или равно 0,15. Следовательно, пересечением этих условий является $x \le -5$. Таким образом, решением системы является промежуток $(-\infty; -5]$.

Ответ: $(-\infty; -5]$

54. Доказать, что если:

1) $5x - 8b > 1,2a - 4,2b$, то $a > b$;

2) $(a + 3)(2 - a) \le (5 - a)(a + 3)$, то $a \ge -3$.

1) Нам дано неравенство $5a - 8b > 1.2a - 4.2b$. Чтобы доказать, что из него следует $a > b$, мы преобразуем данное неравенство.
Сгруппируем члены, содержащие переменную $a$, в левой части, а члены, содержащие переменную $b$, — в правой. Для этого вычтем $1.2a$ из обеих частей и прибавим $8b$ к обеим частям:
$5a - 1.2a > 8b - 4.2b$
Упростим обе части неравенства:
$3.8a > 3.8b$
Теперь разделим обе части неравенства на положительное число $3.8$. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства не меняется:
$\frac{3.8a}{3.8} > \frac{3.8b}{3.8}$
$a > b$
Таким образом, мы доказали требуемое утверждение.
Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Нам дано неравенство $(a+3)(2-a) \le (5-a)(a+3)$. Чтобы доказать, что оно выполняется при $a \ge -3$, мы его преобразуем.
Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства:
$(a+3)(2-a) - (5-a)(a+3) \le 0$
Вынесем общий множитель $(a+3)$ за скобки:
$(a+3) \cdot [ (2-a) - (5-a) ] \le 0$
Раскроем внутренние скобки и упростим выражение:
$(a+3) \cdot (2 - a - 5 + a) \le 0$
$(a+3) \cdot (-3) \le 0$
$-3(a+3) \le 0$
Разделим обе части неравенства на $-3$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с $\le$ на $\ge$):
$\frac{-3(a+3)}{-3} \ge \frac{0}{-3}$
$a+3 \ge 0$
Вычтем 3 из обеих частей неравенства:
$a \ge -3$
Таким образом, мы доказали, что исходное неравенство равносильно неравенству $a \ge -3$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

55. Доказать, что если $x > 2$, $y > 4$, то:

1) $\frac{x}{2} + \frac{y}{4} > 2$;

2) $2xy > 16$;

3) $-\frac{xy}{2} < -4$;

4) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} < \frac{3}{4}$.

Для доказательства всех неравенств будем использовать свойства числовых неравенств и исходные условия: $x > 2$ и $y > 4$.

1) Доказать, что $\frac{x}{2} + \frac{y}{4} > 2$

Из условия $x > 2$ следует, что если разделить обе части неравенства на положительное число 2, то знак неравенства сохранится:

$\frac{x}{2} > \frac{2}{2}$

$\frac{x}{2} > 1$

Аналогично, из условия $y > 4$ разделим обе части на положительное число 4:

$\frac{y}{4} > \frac{4}{4}$

$\frac{y}{4} > 1$

Теперь сложим почленно два полученных неравенства: $\frac{x}{2} > 1$ и $\frac{y}{4} > 1$. При сложении неравенств одного знака знак неравенства сохраняется:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{4} > 1 + 1$

$\frac{x}{2} + \frac{y}{4} > 2$

Неравенство доказано.

Ответ: Доказано.

2) Доказать, что $2xy > 16$

Из условий $x > 2$ и $y > 4$ следует, что $x$ и $y$ — положительные числа. Мы можем перемножить эти неравенства, так как их левые и правые части положительны. Знак неравенства при этом сохранится:

$x \cdot y > 2 \cdot 4$

$xy > 8$

Теперь умножим обе части полученного неравенства на положительное число 2. Знак неравенства не изменится:

$2 \cdot (xy) > 2 \cdot 8$

$2xy > 16$

Неравенство доказано.

Ответ: Доказано.

3) Доказать, что $-\frac{xy}{2} < -4$

Воспользуемся результатом из предыдущего пункта, где мы установили, что $xy > 8$.

Разделим обе части неравенства $xy > 8$ на 2. Знак неравенства не изменится:

$\frac{xy}{2} > \frac{8}{2}$

$\frac{xy}{2} > 4$

Теперь умножим обе части полученного неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$-1 \cdot \frac{xy}{2} < -1 \cdot 4$

$-\frac{xy}{2} < -4$

Неравенство доказано.

Ответ: Доказано.

4) Доказать, что $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} < \frac{3}{4}$

Из условия $x > 2$ следует, что $x$ — положительное число. Для положительных чисел при взятии обратной величины знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{1}{x} < \frac{1}{2}$

Аналогично, из условия $y > 4$ следует, что $y$ — положительное число, поэтому:

$\frac{1}{y} < \frac{1}{4}$

Сложим почленно полученные неравенства $\frac{1}{x} < \frac{1}{2}$ и $\frac{1}{y} < \frac{1}{4}$:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} < \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Вычислим сумму в правой части, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Таким образом, мы получаем:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} < \frac{3}{4}$

Неравенство доказано.

Ответ: Доказано.