Номер 47, страница 22 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

47. Доказать, что:

1) $x > 5$, если $5x > 25$;

2) $x < 3$, если $-x > -3$;

3) $x^2 > -2x$, если $x < -2$;

4) $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$, если $x < y$ и $xy > 0$.

1) Дано неравенство $5x > 25$. Чтобы доказать, что $x > 5$, разделим обе части данного неравенства на положительное число 5. Согласно свойствам числовых неравенств, при делении обеих частей на одно и то же положительное число знак неравенства сохраняется.
$ \frac{5x}{5} > \frac{25}{5} $
$ x > 5 $
Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

2) Дано неравенство $-x > -3$. Чтобы доказать, что $x < 3$, умножим обе части данного неравенства на -1. Согласно свойствам числовых неравенств, при умножении обеих частей на одно и то же отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (знак «>» меняется на «<»).
$ (-x) \cdot (-1) < (-3) \cdot (-1) $
$ x < 3 $
Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

3) Дано условие $x < -2$. Требуется доказать, что $x^2 > -2x$.
Из условия $x < -2$ следует, что $x$ является отрицательным числом ($x < 0$). Умножим обе части неравенства $x < -2$ на $x$. Так как мы умножаем на отрицательное число $x$, знак неравенства необходимо изменить на противоположный (знак «<» меняется на «>»).
$ x \cdot x > (-2) \cdot x $
$ x^2 > -2x $
Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

4) Даны условия $x < y$ и $xy > 0$. Требуется доказать, что $ \frac{1}{x} > \frac{1}{y} $.
Условие $xy > 0$ означает, что числа $x$ и $y$ имеют одинаковый знак (оба положительные или оба отрицательные) и не равны нулю. Следовательно, их произведение $xy$ является положительным числом.
Возьмем исходное неравенство $x < y$ и разделим обе его части на положительное число $xy$. При делении на положительное число знак неравенства не меняется.
$ \frac{x}{xy} < \frac{y}{xy} $
После сокращения дробей получаем:
$ \frac{1}{y} < \frac{1}{x} $
Это неравенство эквивалентно записи $ \frac{1}{x} > \frac{1}{y} $, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.