Номер 42, страница 18 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

42. 1) Два велосипедиста выехали в одном направлении, причём первый на полчаса раньше второго. Первый велосипедист проезжает за час $14 \text{ км}$, а второй — за $1,5 \text{ ч } 18 \text{ км}$. Через какое время с момента выезда второго велосипедиста расстояние между ними будет $13 \text{ км}$?

2) Из посёлка в город выехал велосипедист, а через $2 \text{ ч } 40 \text{ мин}$ вслед за ним выехал автомобиль. На каком расстоянии от посёлка автомобилист догонит велосипедиста, если скорость первого $12 \text{ км/ч}$, а второго $60 \text{ км/ч}$?

1) Для начала определим скорости обоих велосипедистов.
Скорость первого велосипедиста ($v_1$) дана в условии: он проезжает 14 км за час, следовательно, $v_1 = 14 \text{ км/ч}$.
Скорость второго велосипедиста ($v_2$) можно вычислить: он проезжает 18 км за 1,5 часа. $v_2 = \frac{18 \text{ км}}{1.5 \text{ ч}} = 12 \text{ км/ч}$.
Первый велосипедист выехал на полчаса (0,5 ч) раньше второго. К моменту выезда второго велосипедиста первый уже проехал некоторое расстояние. Найдем это расстояние ($S_0$):
$S_0 = v_1 \times t_{форы} = 14 \text{ км/ч} \times 0.5 \text{ ч} = 7 \text{ км}$.
Итак, когда второй велосипедист начал движение, первый был уже на 7 км впереди.
Поскольку велосипедисты движутся в одном направлении и скорость первого ($14 \text{ км/ч}$) больше скорости второго ($12 \text{ км/ч}$), расстояние между ними будет увеличиваться. Найдем скорость, с которой они удаляются друг от друга (относительная скорость удаления):
$v_{уд} = v_1 - v_2 = 14 - 12 = 2 \text{ км/ч}$.
Это значит, что каждый час расстояние между ними увеличивается на 2 км.
Изначальное расстояние между ними было 7 км, а должно стать 13 км. Значит, расстояние должно увеличиться на:
$\Delta S = 13 \text{ км} - 7 \text{ км} = 6 \text{ км}$.
Теперь найдем время ($t$), за которое расстояние увеличится на 6 км, двигаясь с относительной скоростью 2 км/ч:
$t = \frac{\Delta S}{v_{уд}} = \frac{6 \text{ км}}{2 \text{ км/ч}} = 3 \text{ ч}$.
Это время отсчитывается с момента выезда второго велосипедиста, что и требуется в задаче.
Ответ: через 3 часа с момента выезда второго велосипедиста расстояние между ними будет 13 км.

2) Сначала определим, какое расстояние проехал велосипедист до того, как выехал автомобиль.
Автомобиль выехал через 2 ч 40 мин после велосипедиста. Переведем это время в часы:
$t_{форы} = 2 \text{ ч } 40 \text{ мин} = 2 + \frac{40}{60} \text{ ч} = 2 + \frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{8}{3} \text{ ч}$.
Скорость велосипедиста ($v_{вел}$) равна $12 \text{ км/ч}$. За время $t_{форы}$ он проехал:
$S_{форы} = v_{вел} \times t_{форы} = 12 \text{ км/ч} \times \frac{8}{3} \text{ ч} = 4 \times 8 = 32 \text{ км}$.
Когда автомобиль начал движение, велосипедист был на 32 км впереди. Автомобиль догоняет велосипедиста, так как его скорость больше. Найдем скорость сближения ($v_{сбл}$):
$v_{сбл} = v_{авто} - v_{вел} = 60 \text{ км/ч} - 12 \text{ км/ч} = 48 \text{ км/ч}$.
Теперь найдем время ($t_{встречи}$), через которое автомобиль догонит велосипедиста. Для этого нужно покрыть расстояние в 32 км со скоростью сближения 48 км/ч:
$t_{встречи} = \frac{S_{форы}}{v_{сбл}} = \frac{32 \text{ км}}{48 \text{ км/ч}} = \frac{2}{3} \text{ ч}$.
Вопрос задачи — на каком расстоянии от посёлка произойдет встреча. Это расстояние можно найти, умножив скорость автомобиля на время его движения до встречи:
$S = v_{авто} \times t_{встречи} = 60 \text{ км/ч} \times \frac{2}{3} \text{ ч} = 20 \times 2 = 40 \text{ км}$.
Для проверки можно рассчитать расстояние, которое проехал велосипедист за всё своё время в пути. Его общее время: $\frac{8}{3} \text{ ч} + \frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{10}{3} \text{ ч}$.
$S = v_{вел} \times t_{общ} = 12 \text{ км/ч} \times \frac{10}{3} \text{ ч} = 4 \times 10 = 40 \text{ км}$.
Результаты совпадают.
Ответ: автомобилист догонит велосипедиста на расстоянии 40 км от посёлка.