Номер 39, страница 17 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

39. Найти все значения a, при которых система уравнений:

1) $ \begin{cases} 5x + ay = 40, \\ 2x + 3y = 4a; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 2x - 3ay = 5a, \\ 3x - (5a - 1)y = 7a + 1 \end{cases} $

не имеет решений.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными вида $ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $ не имеет решений тогда и только тогда, когда коэффициенты при переменных пропорциональны, но не пропорциональны свободным членам. Геометрически это означает, что прямые, являющиеся графиками уравнений, параллельны и не совпадают.

Это условие можно записать в виде пропорции: $ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $

1)

Рассмотрим систему: $ \begin{cases} 5x + ay = 40 \\ 2x + 3y = 4a \end{cases} $

Коэффициенты уравнений: $ A_1=5, B_1=a, C_1=40 $ $ A_2=2, B_2=3, C_2=4a $

Составим пропорцию для случая, когда система не имеет решений: $ \frac{5}{2} = \frac{a}{3} \neq \frac{40}{4a} $

Сначала решим первую часть пропорции (равенство): $ \frac{5}{2} = \frac{a}{3} $

Используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем: $ 2a = 5 \cdot 3 $ $ 2a = 15 $ $ a = \frac{15}{2} = 7.5 $

Теперь необходимо проверить, выполняется ли при найденном значении $a$ вторая часть условия (неравенство): $ \frac{a}{3} \neq \frac{40}{4a} $

Подставим $ a = 7.5 $: $ \frac{7.5}{3} \neq \frac{40}{4 \cdot 7.5} $ $ 2.5 \neq \frac{40}{30} $ $ \frac{5}{2} \neq \frac{4}{3} $

Неравенство верно. Следовательно, при $ a = 7.5 $ система не имеет решений.

Ответ: $a = 7.5$.

2)

Рассмотрим систему: $ \begin{cases} 2x - 3ay = 5a \\ 3x - (5a - 1)y = 7a + 1 \end{cases} $

Коэффициенты уравнений: $ A_1=2, B_1=-3a, C_1=5a $ $ A_2=3, B_2=-(5a-1), C_2=7a+1 $

Составим пропорцию для случая, когда система не имеет решений: $ \frac{2}{3} = \frac{-3a}{-(5a-1)} \neq \frac{5a}{7a+1} $

Решим первую часть пропорции (равенство): $ \frac{2}{3} = \frac{3a}{5a-1} $

Применяя свойство пропорции, получаем: $ 2(5a-1) = 3(3a) $ $ 10a - 2 = 9a $ $ 10a - 9a = 2 $ $ a = 2 $

Теперь проверим выполнение второй части условия (неравенство) при $ a = 2 $: $ \frac{3a}{5a-1} \neq \frac{5a}{7a+1} $

Подставим $ a = 2 $: $ \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2 - 1} \neq \frac{5 \cdot 2}{7 \cdot 2 + 1} $ $ \frac{6}{10 - 1} \neq \frac{10}{14 + 1} $ $ \frac{6}{9} \neq \frac{10}{15} $ $ \frac{2}{3} \neq \frac{2}{3} $

Это неравенство ложно, так как при $ a=2 $ левая и правая части равны. Это означает, что при $ a=2 $ выполняется условие $ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $, при котором система имеет бесконечно много решений (прямые совпадают). При всех остальных значениях $a$ ($a \neq 2$) система будет иметь единственное решение, так как $ \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2} $.

Таким образом, не существует такого значения $ a $, при котором данная система не имеет решений.

Ответ: таких значений $a$ не существует.