Номер 32, страница 17 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

32. Пятьдесят рабочих нужно разделить на бригады, в каждой из которых будет либо 6, либо 8 человек. Сколько бригад может получиться при таком делении?

Пусть $x$ — количество бригад, состоящих из 6 человек, а $y$ — количество бригад, состоящих из 8 человек. Общее число рабочих — 50. Мы можем составить уравнение, связывающее эти величины:

$6x + 8y = 50$

Поскольку $x$ и $y$ представляют собой количество бригад, они должны быть целыми неотрицательными числами ($x \ge 0$, $y \ge 0$).

Для упрощения расчетов разделим обе части уравнения на их наибольший общий делитель, равный 2:

$3x + 4y = 25$

Теперь нам нужно найти все пары целых неотрицательных чисел $(x, y)$, которые являются решением этого уравнения. Выразим переменную $x$ через $y$:

$3x = 25 - 4y$

$x = \frac{25 - 4y}{3}$

Так как $x$ должен быть неотрицательным, то $25 - 4y \ge 0$, что означает $4y \le 25$, или $y \le 6.25$. Следовательно, нам нужно проверить целые значения $y$ от 0 до 6, чтобы найти те, при которых $x$ также будет целым числом.

• При $y = 0$, $x = \frac{25-0}{3} = \frac{25}{3}$, не является целым числом.
• При $y = 1$, $x = \frac{25-4}{3} = \frac{21}{3} = 7$. Это первое решение.
  В этом случае общее количество бригад: $x + y = 7 + 1 = 8$.
• При $y = 2$, $x = \frac{25-8}{3} = \frac{17}{3}$, не является целым числом.
• При $y = 3$, $x = \frac{25-12}{3} = \frac{13}{3}$, не является целым числом.
• При $y = 4$, $x = \frac{25-16}{3} = \frac{9}{3} = 3$. Это второе решение.
  В этом случае общее количество бригад: $x + y = 3 + 4 = 7$.
• При $y = 5$, $x = \frac{25-20}{3} = \frac{5}{3}$, не является целым числом.
• При $y = 6$, $x = \frac{25-24}{3} = \frac{1}{3}$, не является целым числом.

Мы нашли два возможных варианта разделения рабочих. В первом варианте получается 8 бригад (7 бригад по 6 человек и 1 бригада по 8 человек). Во втором варианте получается 7 бригад (3 бригады по 6 человек и 4 бригады по 8 человек).

Таким образом, при заданном условии может получиться либо 7, либо 8 бригад.

Ответ: 7 или 8.