Номер 31, страница 16 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

31. Решить уравнение:

1) $3x - 2y = 1$;

2) $-4x + 3y = -2$.

1) $3x - 2y = 1$

Данное уравнение является линейным уравнением с двумя переменными. Такие уравнения, если рассматривать их в целых числах (как диофантовы уравнения), имеют бесконечное множество решений. Задача состоит в том, чтобы найти общую формулу, описывающую все пары целых чисел $(x, y)$, которые удовлетворяют этому уравнению.

Для этого выразим одну переменную через другую. Например, выразим $y$ через $x$:

$3x - 1 = 2y$

$y = \frac{3x - 1}{2}$

Чтобы $y$ был целым числом, необходимо, чтобы числитель $(3x - 1)$ был четным, то есть делился на 2. Разность $(3x - 1)$ будет четной, если $3x$ — нечетное число. В свою очередь, произведение $3x$ нечетно только тогда, когда $x$ — нечетное число.

Любое нечетное целое число $x$ можно представить в виде $x = 2k + 1$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Теперь подставим это выражение для $x$ обратно в формулу для $y$:

$y = \frac{3(2k + 1) - 1}{2} = \frac{6k + 3 - 1}{2} = \frac{6k + 2}{2} = 3k + 1$

Таким образом, общее решение уравнения в целых числах задается парой формул:

$x = 2k + 1$

$y = 3k + 1$

где $k$ — любое целое число.

Проверка:

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$3(2k + 1) - 2(3k + 1) = (6k + 3) - (6k + 2) = 6k + 3 - 6k - 2 = 1$

$1 = 1$

Равенство выполняется для любого целого $k$, следовательно, решение найдено верно.

Ответ: $x = 2k + 1$, $y = 3k + 1$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $-4x + 3y = -2$

Это также линейное диофантово уравнение. Найдем его общее решение в целых числах, выразив одну переменную через другую. Удобнее выразить $y$ через $x$.

$3y = 4x - 2$

$y = \frac{4x - 2}{3}$

Чтобы $y$ был целым числом, числитель $(4x - 2)$ должен быть кратен 3. Запишем это условие с помощью сравнения по модулю 3:

$4x - 2 \equiv 0 \pmod{3}$

Упростим сравнение, используя свойства остатков: $4 \equiv 1 \pmod{3}$ и $-2 \equiv 1 \pmod{3}$.

$1 \cdot x + 1 \equiv 0 \pmod{3}$

$x + 1 \equiv 0 \pmod{3}$

$x \equiv -1 \pmod{3}$

Это эквивалентно $x \equiv 2 \pmod{3}$. То есть, число $x$ при делении на 3 должно давать в остатке 2. Любое такое число можно записать в виде $x = 3k + 2$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Теперь найдем соответствующее выражение для $y$, подставив формулу для $x$:

$y = \frac{4(3k + 2) - 2}{3} = \frac{12k + 8 - 2}{3} = \frac{12k + 6}{3} = 4k + 2$

Итак, общее решение уравнения в целых числах:

$x = 3k + 2$

$y = 4k + 2$

где $k$ — любое целое число.

Проверка:

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$-4(3k + 2) + 3(4k + 2) = (-12k - 8) + (12k + 6) = -12k - 8 + 12k + 6 = -2$

$-2 = -2$

Равенство выполняется, значит, решение верное.

Ответ: $x = 3k + 2$, $y = 4k + 2$, где $k \in \mathbb{Z}$.