Номер 25, страница 16 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

25. Решить способом подстановки систему уравнений:

1) $ \begin{cases} 2x + 5y = 28, \\ 5x + y = 1; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 3x - y = -1, \\ 2x - 3y = 11. \end{cases} $

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x + 5y = 28, \\ 5x + y = 1. \end{cases} $$

Для решения системы методом подстановки необходимо выразить одну переменную через другую из одного уравнения и подставить полученное выражение в другое уравнение. В данной системе удобнее всего выразить переменную $y$ из второго уравнения $5x + y = 1$, так как ее коэффициент равен 1.

Выразим $y$ из второго уравнения:

$y = 1 - 5x$

Теперь подставим это выражение вместо $y$ в первое уравнение системы $2x + 5y = 28$:

$2x + 5(1 - 5x) = 28$

Решим полученное уравнение относительно переменной $x$. Сначала раскроем скобки:

$2x + 5 \cdot 1 - 5 \cdot 5x = 28$

$2x + 5 - 25x = 28$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$-23x + 5 = 28$

Перенесем число 5 в правую часть уравнения, изменив его знак:

$-23x = 28 - 5$

$-23x = 23$

Разделим обе части уравнения на -23, чтобы найти $x$:

$x = \frac{23}{-23}$

$x = -1$

Теперь, зная значение $x$, найдем соответствующее значение $y$. Подставим $x = -1$ в выражение для $y$, которое мы получили ранее: $y = 1 - 5x$.

$y = 1 - 5(-1)$

$y = 1 + 5$

$y = 6$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(-1; 6)$.

Выполним проверку, подставив найденные значения $x = -1$ и $y = 6$ в оба исходных уравнения:

Для первого уравнения: $2(-1) + 5(6) = -2 + 30 = 28$. Равенство верно.

Для второго уравнения: $5(-1) + 6 = -5 + 6 = 1$. Равенство верно.

Ответ: $(-1; 6)$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3x - y = -1, \\ 2x - 3y = 11. \end{cases} $$

Выразим переменную $y$ из первого уравнения $3x - y = -1$. Это удобно, так как коэффициент при $y$ равен -1.

$-y = -1 - 3x$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы получить выражение для $y$:

$y = 1 + 3x$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы $2x - 3y = 11$:

$2x - 3(1 + 3x) = 11$

Решим полученное уравнение относительно $x$. Раскроем скобки:

$2x - 3 \cdot 1 - 3 \cdot 3x = 11$

$2x - 3 - 9x = 11$

Приведем подобные слагаемые:

$-7x - 3 = 11$

Перенесем число -3 в правую часть, изменив знак:

$-7x = 11 + 3$

$-7x = 14$

Найдем $x$, разделив обе части на -7:

$x = \frac{14}{-7}$

$x = -2$

Теперь найдем значение $y$, подставив $x = -2$ в полученное ранее выражение $y = 1 + 3x$:

$y = 1 + 3(-2)$

$y = 1 - 6$

$y = -5$

Следовательно, решением системы является пара чисел $(-2; -5)$.

Выполним проверку, подставив найденные значения $x = -2$ и $y = -5$ в оба исходных уравнения:

Для первого уравнения: $3(-2) - (-5) = -6 + 5 = -1$. Равенство верно.

Для второго уравнения: $2(-2) - 3(-5) = -4 + 15 = 11$. Равенство верно.

Ответ: $(-2; -5)$.