Страница 16 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить уравнение (19—21).

19.

1) $0,2x - 7 = -0,3(x + 4);$

2) $4x - 2(x - 1,5) = 3,5 - 3(\frac{1}{2} - x);$

3) $x(x + 2) = x^2 + 5(x - 6);$

4) $3x - 2x(x - 1) = 2(7 - x^2).$

1) $0,2x - 7 = -0,3(x + 4)$

Сначала раскроем скобки в правой части уравнения, умножив $-0,3$ на каждый член в скобках:

$0,2x - 7 = -0,3x - 0,3 \cdot 4$

$0,2x - 7 = -0,3x - 1,2$

Теперь соберем все слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения, а числовые слагаемые — в правой. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный:

$0,2x + 0,3x = 7 - 1,2$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$0,5x = 5,8$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 0,5:

$x = \frac{5,8}{0,5}$

$x = 11,6$

Ответ: $11,6$

2) $4x - 2(x - 1,5) = 3,5 - 3(\frac{1}{2} - x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. Для удобства представим дробь $\frac{1}{2}$ как десятичную $0,5$.

Левая часть: $4x - 2 \cdot x - 2 \cdot (-1,5) = 4x - 2x + 3 = 2x + 3$

Правая часть: $3,5 - 3 \cdot 0,5 - 3 \cdot (-x) = 3,5 - 1,5 + 3x = 2 + 3x$

Теперь уравнение выглядит так:

$2x + 3 = 2 + 3x$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:

$3 - 2 = 3x - 2x$

Упростим обе части:

$1 = x$

Ответ: $1$

3) $x(x + 2) = x^2 + 5(x - 6)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$x \cdot x + x \cdot 2 = x^2 + 5 \cdot x - 5 \cdot 6$

$x^2 + 2x = x^2 + 5x - 30$

В обеих частях уравнения есть слагаемое $x^2$. Если мы вычтем $x^2$ из обеих частей, они взаимно уничтожатся:

$2x = 5x - 30$

Перенесем слагаемое $5x$ в левую часть:

$2x - 5x = -30$

$-3x = -30$

Разделим обе части на -3, чтобы найти $x$:

$x = \frac{-30}{-3}$

$x = 10$

Ответ: $10$

4) $3x - 2x(x - 1) = 2(7 - x^2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3x - (2x \cdot x - 2x \cdot 1) = 2 \cdot 7 - 2 \cdot x^2$

$3x - (2x^2 - 2x) = 14 - 2x^2$

Раскроем скобки в левой части, поменяв знаки:

$3x - 2x^2 + 2x = 14 - 2x^2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$5x - 2x^2 = 14 - 2x^2$

В обеих частях уравнения есть слагаемое $-2x^2$. Прибавим $2x^2$ к обеим частям, чтобы они взаимно уничтожились:

$5x = 14$

Разделим обе части на 5:

$x = \frac{14}{5}$

$x = 2,8$

Ответ: $2,8$

20. 1) $\frac{3-x}{6} + 2 = \frac{2-x}{3} - \frac{2x+1}{4}$;

2) $x - \frac{1-x}{4} + \frac{2x-3}{10} = \frac{x+3}{5}$.

1)

Дано уравнение: $ \frac{3-x}{6} + 2 = \frac{2-x}{3} - \frac{2x+1}{4} $.

Для решения этого линейного уравнения с дробями, первым шагом избавимся от знаменателей. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 6, 3 и 4.

НОК(6, 3, 4) = 12.

Теперь умножим обе части уравнения на 12. Каждый член уравнения умножается на 12:

$ 12 \cdot \frac{3-x}{6} + 12 \cdot 2 = 12 \cdot \frac{2-x}{3} - 12 \cdot \frac{2x+1}{4} $

Сокращаем дроби, выполняя деление 12 на каждый из знаменателей:

$ 2 \cdot (3-x) + 24 = 4 \cdot (2-x) - 3 \cdot (2x+1) $

Раскрываем скобки:

$ 6 - 2x + 24 = 8 - 4x - 6x - 3 $

Приводим подобные слагаемые в каждой части уравнения:

$ (6+24) - 2x = (8-3) + (-4x-6x) $

$ 30 - 2x = 5 - 10x $

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую, меняя знаки при переносе на противоположные:

$ -2x + 10x = 5 - 30 $

$ 8x = -25 $

Находим $x$, разделив обе части на 8:

$ x = -\frac{25}{8} $

Это можно записать в виде смешанной дроби $ -3\frac{1}{8} $ или десятичной $ -3.125 $.

Ответ: $ x = -\frac{25}{8} $

2)

Дано уравнение: $ x - \frac{1-x}{4} + \frac{2x-3}{10} = \frac{x+3}{5} $.

Чтобы решить это уравнение, сначала избавимся от дробей. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 4, 10 и 5.

НОК(4, 10, 5) = 20.

Умножим каждый член уравнения на 20:

$ 20 \cdot x - 20 \cdot \frac{1-x}{4} + 20 \cdot \frac{2x-3}{10} = 20 \cdot \frac{x+3}{5} $

Сокращаем дроби:

$ 20x - 5(1-x) + 2(2x-3) = 4(x+3) $

Раскрываем скобки. Важно обратить внимание на знак минус перед первой дробью, он меняет знаки у всех членов в числителе:

$ 20x - 5 + 5x + 4x - 6 = 4x + 12 $

Приводим подобные слагаемые в левой части уравнения:

$ (20x + 5x + 4x) + (-5 - 6) = 4x + 12 $

$ 29x - 11 = 4x + 12 $

Переносим слагаемые с $x$ в левую часть, а константы — в правую:

$ 29x - 4x = 12 + 11 $

$ 25x = 23 $

Находим $x$, разделив обе части на 25:

$ x = \frac{23}{25} $

В виде десятичной дроби это $ 0.92 $.

Ответ: $ x = \frac{23}{25} $

21. 1) $x:4\frac{1}{3}=8:17\frac{1}{3}$;

2) $0,37:2\frac{5}{6}=x:8,5$.

1) $x:4\frac{1}{3}=8:17\frac{1}{3}$

Это пропорция. Основное свойство пропорции гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних членов. В данном случае крайние члены — это $x$ и $17\frac{1}{3}$, а средние — $4\frac{1}{3}$ и $8$.

Запишем уравнение согласно этому свойству:

$x \cdot 17\frac{1}{3} = 4\frac{1}{3} \cdot 8$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби для удобства вычислений:

$4\frac{1}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{13}{3}$

$17\frac{1}{3} = \frac{17 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{51+1}{3} = \frac{52}{3}$

Подставим полученные дроби в уравнение:

$x \cdot \frac{52}{3} = \frac{13}{3} \cdot 8$

Вычислим правую часть уравнения:

$x \cdot \frac{52}{3} = \frac{104}{3}$

Теперь найдем $x$. Для этого разделим произведение на известный множитель:

$x = \frac{104}{3} : \frac{52}{3}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$x = \frac{104}{3} \cdot \frac{3}{52}$

Сократим тройки в числителе и знаменателе:

$x = \frac{104}{52}$

Выполним деление:

$x = 2$

Ответ: $2$

2) $0,37:2\frac{5}{6}=x:8,5$

Применим основное свойство пропорции: произведение крайних членов ($0,37$ и $8,5$) равно произведению средних членов ($2\frac{5}{6}$ и $x$).

$x \cdot 2\frac{5}{6} = 0,37 \cdot 8,5$

Для решения преобразуем все десятичные дроби и смешанные числа в обыкновенные дроби:

$0,37 = \frac{37}{100}$

$8,5 = 8\frac{5}{10} = 8\frac{1}{2} = \frac{8 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{17}{2}$

$2\frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{17}{6}$

Подставим эти значения в уравнение:

$x \cdot \frac{17}{6} = \frac{37}{100} \cdot \frac{17}{2}$

Вычислим правую часть:

$x \cdot \frac{17}{6} = \frac{37 \cdot 17}{100 \cdot 2} = \frac{629}{200}$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{629}{200} : \frac{17}{6}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$x = \frac{629}{200} \cdot \frac{6}{17}$

Сократим дроби. Заметим, что $629 = 37 \cdot 17$.

$x = \frac{37 \cdot 17 \cdot 6}{200 \cdot 17}$

Сократим на $17$:

$x = \frac{37 \cdot 6}{200} = \frac{222}{200}$

Сократим дробь на $2$:

$x = \frac{111}{100}$

Представим результат в виде десятичной дроби:

$x = 1,11$

Ответ: $1,11$

22. От пристани А до пристани В катер плывёт по реке 15 мин, а обратно – 20 мин. Найти скорость течения реки, если собственная скорость катера 14 км/ч.

Пусть $v_т$ — искомая скорость течения реки в км/ч. Собственная скорость катера по условию равна $v_к = 14$ км/ч.

Катер плывет от пристани А до пристани В за $t_1 = 15$ минут, а обратно — за $t_2 = 20$ минут. Так как время в пути от А до В меньше, чем обратно ($t_1 < t_2$), то движение от А до В происходит по течению реки, а от В до А — против течения.

Скорость катера по течению составляет сумму его собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_к + v_т = 14 + v_т$ км/ч.
Скорость катера против течения составляет разность его собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = v_к - v_т = 14 - v_т$ км/ч.

Переведем время из минут в часы, чтобы все единицы измерения были согласованы, так как скорость дана в км/ч:
$t_1 = 15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч}$
$t_2 = 20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$

Расстояние $S$ между пристанями А и В постоянно. Его можно выразить через скорость и время для движения в обоих направлениях, используя формулу $S = v \cdot t$:
$S = v_{по} \cdot t_1 = (14 + v_т) \cdot \frac{1}{4}$
$S = v_{против} \cdot t_2 = (14 - v_т) \cdot \frac{1}{3}$

Поскольку расстояние в обе стороны одинаковое, приравняем полученные выражения для $S$:
$(14 + v_т) \cdot \frac{1}{4} = (14 - v_т) \cdot \frac{1}{3}$

Решим это уравнение относительно $v_т$. Для начала умножим обе части на 12 (наименьшее общее кратное чисел 4 и 3), чтобы избавиться от дробей:
$12 \cdot \frac{14 + v_т}{4} = 12 \cdot \frac{14 - v_т}{3}$
$3 \cdot (14 + v_т) = 4 \cdot (14 - v_т)$

Теперь раскроем скобки:
$42 + 3v_т = 56 - 4v_т$

Перенесем слагаемые, содержащие $v_т$, в левую часть уравнения, а постоянные — в правую:
$3v_т + 4v_т = 56 - 42$
$7v_т = 14$

Отсюда находим скорость течения:
$v_т = \frac{14}{7} = 2$

Таким образом, скорость течения реки равна 2 км/ч.

Ответ: 2 км/ч.

23. Автобус, выехавший из посёлка в город в 8 ч со скоростью 60 км/ч, на полпути встретился с выехавшим в 8 ч 20 мин из города в посёлок автомобилем, скорость которого 80 км/ч. Найти расстояние между посёлком и городом.

Для решения задачи введем следующие обозначения: $S$ - искомое расстояние между посёлком и городом (в км); $v_1 = 60$ км/ч - скорость автобуса; $v_2 = 80$ км/ч - скорость автомобиля; $t_1$ - время движения автобуса до встречи (в часах); $t_2$ - время движения автомобиля до встречи (в часах).

Согласно условию, встреча произошла «на полпути». Это означает, что к моменту встречи и автобус, и автомобиль проехали одинаковое расстояние, равное половине всего пути, то есть $S/2$.

Запишем уравнения для расстояний, пройденных автобусом и автомобилем, используя формулу $S = v \cdot t$:
Расстояние, пройденное автобусом: $S/2 = v_1 \cdot t_1 = 60 \cdot t_1$.
Расстояние, пройденное автомобилем: $S/2 = v_2 \cdot t_2 = 80 \cdot t_2$.

Так как левые части этих равенств одинаковы ($S/2$), то можем приравнять и их правые части:
$60 \cdot t_1 = 80 \cdot t_2$.

Автобус выехал в 8 ч 00 мин, а автомобиль — в 8 ч 20 мин. Следовательно, автобус находился в пути на 20 минут дольше, чем автомобиль. Переведем 20 минут в часы: $20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$.
Таким образом, можно записать соотношение между временами движения: $t_1 = t_2 + \frac{1}{3}$.

Теперь подставим это выражение для $t_1$ в ранее полученное уравнение $60 \cdot t_1 = 80 \cdot t_2$:
$60 \cdot (t_2 + \frac{1}{3}) = 80 \cdot t_2$.
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $t_2$:
$60 \cdot t_2 + 60 \cdot \frac{1}{3} = 80 \cdot t_2$
$60 \cdot t_2 + 20 = 80 \cdot t_2$
$20 = 80 \cdot t_2 - 60 \cdot t_2$
$20 = 20 \cdot t_2$
$t_2 = \frac{20}{20} = 1$ час.

Мы нашли, что автомобиль был в пути 1 час. Теперь можно найти половину расстояния, которую он проехал за это время:
$S/2 = v_2 \cdot t_2 = 80 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 80 \text{ км}$.

Поскольку 80 км — это половина пути, то полное расстояние $S$ между посёлком и городом равно:
$S = 2 \cdot 80 = 160 \text{ км}$.

Проверка:
Время движения автобуса: $t_1 = t_2 + \frac{1}{3} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ часа.
Расстояние, пройденное автобусом: $S_1 = v_1 \cdot t_1 = 60 \text{ км/ч} \cdot \frac{4}{3} \text{ ч} = \frac{240}{3} = 80$ км.
Расстояния, пройденные автобусом и автомобилем, равны (80 км), что подтверждает условие встречи на полпути. Общее расстояние 160 км. Решение верное.

Ответ: 160 км.

24. Выяснить, какая из пар чисел (2; 3), (-1; 4), (2; 7) является решением уравнения $-3x + y = 1$.

Чтобы определить, какая из предложенных пар чисел является решением уравнения, необходимо поочередно подставить значения $x$ и $y$ из каждой пары в данное уравнение $-3x + y = 1$. Если в результате подстановки получается верное равенство, то пара является решением.

(2; 3)

Проверим первую пару чисел, где $x = 2$ и $y = 3$. Подставим эти значения в уравнение:

$-3 \cdot (2) + 3 = -6 + 3 = -3$

Полученное равенство $-3 = 1$ является неверным. Следовательно, пара (2; 3) не является решением уравнения.

(-1; 4)

Проверим вторую пару чисел, где $x = -1$ и $y = 4$. Подставим эти значения в уравнение:

$-3 \cdot (-1) + 4 = 3 + 4 = 7$

Полученное равенство $7 = 1$ является неверным. Следовательно, пара (-1; 4) не является решением уравнения.

(2; 7)

Проверим третью пару чисел, где $x = 2$ и $y = 7$. Подставим эти значения в уравнение:

$-3 \cdot (2) + 7 = -6 + 7 = 1$

Полученное равенство $1 = 1$ является верным. Следовательно, пара (2; 7) является решением уравнения.

Ответ: решением уравнения $-3x + y = 1$ является пара чисел (2; 7).

25. Решить способом подстановки систему уравнений:

1) $ \begin{cases} 2x + 5y = 28, \\ 5x + y = 1; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 3x - y = -1, \\ 2x - 3y = 11. \end{cases} $

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x + 5y = 28, \\ 5x + y = 1. \end{cases} $$

Для решения системы методом подстановки необходимо выразить одну переменную через другую из одного уравнения и подставить полученное выражение в другое уравнение. В данной системе удобнее всего выразить переменную $y$ из второго уравнения $5x + y = 1$, так как ее коэффициент равен 1.

Выразим $y$ из второго уравнения:

$y = 1 - 5x$

Теперь подставим это выражение вместо $y$ в первое уравнение системы $2x + 5y = 28$:

$2x + 5(1 - 5x) = 28$

Решим полученное уравнение относительно переменной $x$. Сначала раскроем скобки:

$2x + 5 \cdot 1 - 5 \cdot 5x = 28$

$2x + 5 - 25x = 28$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$-23x + 5 = 28$

Перенесем число 5 в правую часть уравнения, изменив его знак:

$-23x = 28 - 5$

$-23x = 23$

Разделим обе части уравнения на -23, чтобы найти $x$:

$x = \frac{23}{-23}$

$x = -1$

Теперь, зная значение $x$, найдем соответствующее значение $y$. Подставим $x = -1$ в выражение для $y$, которое мы получили ранее: $y = 1 - 5x$.

$y = 1 - 5(-1)$

$y = 1 + 5$

$y = 6$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(-1; 6)$.

Выполним проверку, подставив найденные значения $x = -1$ и $y = 6$ в оба исходных уравнения:

Для первого уравнения: $2(-1) + 5(6) = -2 + 30 = 28$. Равенство верно.

Для второго уравнения: $5(-1) + 6 = -5 + 6 = 1$. Равенство верно.

Ответ: $(-1; 6)$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3x - y = -1, \\ 2x - 3y = 11. \end{cases} $$

Выразим переменную $y$ из первого уравнения $3x - y = -1$. Это удобно, так как коэффициент при $y$ равен -1.

$-y = -1 - 3x$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы получить выражение для $y$:

$y = 1 + 3x$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы $2x - 3y = 11$:

$2x - 3(1 + 3x) = 11$

Решим полученное уравнение относительно $x$. Раскроем скобки:

$2x - 3 \cdot 1 - 3 \cdot 3x = 11$

$2x - 3 - 9x = 11$

Приведем подобные слагаемые:

$-7x - 3 = 11$

Перенесем число -3 в правую часть, изменив знак:

$-7x = 11 + 3$

$-7x = 14$

Найдем $x$, разделив обе части на -7:

$x = \frac{14}{-7}$

$x = -2$

Теперь найдем значение $y$, подставив $x = -2$ в полученное ранее выражение $y = 1 + 3x$:

$y = 1 + 3(-2)$

$y = 1 - 6$

$y = -5$

Следовательно, решением системы является пара чисел $(-2; -5)$.

Выполним проверку, подставив найденные значения $x = -2$ и $y = -5$ в оба исходных уравнения:

Для первого уравнения: $3(-2) - (-5) = -6 + 5 = -1$. Равенство верно.

Для второго уравнения: $2(-2) - 3(-5) = -4 + 15 = 11$. Равенство верно.

Ответ: $(-2; -5)$.

26. Решить способом сложения систему уравнений:

1) $\begin{cases} 3x - 8y = -9, \\ -5x + 2y = 19; \end{cases}$

2) $\begin{cases} -4x + 6y = 1, \\ 3x - 8y = -6. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 3x - 8y = -9, \\ -5x + 2y = 19. \end{cases} $

Для решения методом сложения домножим второе уравнение на 4, чтобы коэффициенты при переменной y стали противоположными числами (в данном случае, -8 и 8).

$4 \cdot (-5x + 2y) = 4 \cdot 19$

$-20x + 8y = 76$

Теперь система уравнений имеет вид:

$ \begin{cases} 3x - 8y = -9, \\ -20x + 8y = 76. \end{cases} $

Сложим почленно левые и правые части уравнений:

$(3x - 8y) + (-20x + 8y) = -9 + 76$

$3x - 20x = 67$

$-17x = 67$

$x = -\frac{67}{17}$

Теперь подставим найденное значение x в любое из исходных уравнений, чтобы найти y. Подставим во второе уравнение: $-5x + 2y = 19$.

$-5(-\frac{67}{17}) + 2y = 19$

$\frac{335}{17} + 2y = 19$

$2y = 19 - \frac{335}{17}$

$2y = \frac{19 \cdot 17}{17} - \frac{335}{17} = \frac{323 - 335}{17} = -\frac{12}{17}$

$y = -\frac{12}{17 \cdot 2} = -\frac{6}{17}$

Ответ: $(-\frac{67}{17}; -\frac{6}{17})$.

2) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} -4x + 6y = 1, \\ 3x - 8y = -6. \end{cases} $

Для использования метода сложения преобразуем уравнения так, чтобы коэффициенты при переменной x стали противоположными. Для этого умножим первое уравнение на 3, а второе на 4.

Первое уравнение: $3 \cdot (-4x + 6y) = 3 \cdot 1 \implies -12x + 18y = 3$.

Второе уравнение: $4 \cdot (3x - 8y) = 4 \cdot (-6) \implies 12x - 32y = -24$.

Получаем новую систему:

$ \begin{cases} -12x + 18y = 3, \\ 12x - 32y = -24. \end{cases} $

Складываем уравнения системы:

$(-12x + 18y) + (12x - 32y) = 3 + (-24)$

$18y - 32y = -21$

$-14y = -21$

$y = \frac{-21}{-14} = \frac{3}{2}$

Теперь подставим найденное значение y в первое исходное уравнение, чтобы найти x: $-4x + 6y = 1$.

$-4x + 6 \cdot (\frac{3}{2}) = 1$

$-4x + 9 = 1$

$-4x = 1 - 9$

$-4x = -8$

$x = \frac{-8}{-4} = 2$

Ответ: $(2; \frac{3}{2})$.

27. В книге, которую Катя прочитала за 5 дней, было на 20 страниц больше, чем в книге, которую Настя прочитала за 4 дня. Сколько страниц в день читала каждая девочка, если в двух книгах вместе 580 страниц?

Для решения задачи сначала определим количество страниц в каждой книге. Обозначим количество страниц в книге, которую читала Настя, как $x$. Тогда, согласно условию, в книге, которую читала Катя, было на 20 страниц больше, то есть $x + 20$ страниц.

Суммарное количество страниц в двух книгах составляет 580. Составим и решим уравнение:

$x + (x + 20) = 580$

$2x + 20 = 580$

$2x = 580 - 20$

$2x = 560$

$x = \frac{560}{2}$

$x = 280$

Таким образом, в книге Насти было 280 страниц.

Теперь найдем количество страниц в книге Кати:

$280 + 20 = 300$ страниц.

Теперь, зная количество страниц в каждой книге и количество дней, потраченных на чтение, можно найти, сколько страниц в день читала каждая девочка.

Сколько страниц в день читала Катя

Катя прочитала 300 страниц за 5 дней. Чтобы найти, сколько страниц в день она читала, разделим общее количество страниц на количество дней:

$300 \div 5 = 60$ страниц в день.

Ответ: Катя читала 60 страниц в день.

Сколько страниц в день читала Настя

Настя прочитала 280 страниц за 4 дня. Чтобы найти, сколько страниц в день она читала, разделим общее количество страниц на количество дней:

$280 \div 4 = 70$ страниц в день.

Ответ: Настя читала 70 страниц в день.

28. Если к половине первого числа прибавить треть второго числа, то получится 1, а если первое число сложить с удвоенным вторым, то получится 26. Найти эти числа.

$\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y = 1$

$x + 2y = 26$

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть первое число будет $x$, а второе число — $y$.

Согласно первому условию задачи: "если к половине первого числа прибавить треть второго числа, то получится 1". Запишем это в виде математического уравнения:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1$

Согласно второму условию: "если первое число сложить с удвоенным вторым, то получится 26". Запишем второе уравнение:

$x + 2y = 26$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1 \\ x + 2y = 26 \end{cases} $

Для удобства решения, умножим обе части первого уравнения на 6, чтобы избавиться от дробей:

$6 \cdot (\frac{x}{2} + \frac{y}{3}) = 6 \cdot 1$

$3x + 2y = 6$

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} 3x + 2y = 6 \\ x + 2y = 26 \end{cases} $

Решим эту систему методом вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:

$(3x + 2y) - (x + 2y) = 6 - 26$

$3x - x + 2y - 2y = -20$

$2x = -20$

$x = \frac{-20}{2}$

$x = -10$

Мы нашли первое число. Теперь подставим значение $x = -10$ во второе уравнение исходной системы ($x + 2y = 26$), чтобы найти $y$:

$-10 + 2y = 26$

$2y = 26 + 10$

$2y = 36$

$y = \frac{36}{2}$

$y = 18$

Таким образом, второе число равно 18.

Проверим найденные значения:

1. Половина первого числа плюс треть второго: $\frac{-10}{2} + \frac{18}{3} = -5 + 6 = 1$. Условие выполняется.

2. Первое число плюс удвоенное второе: $-10 + 2 \cdot 18 = -10 + 36 = 26$. Условие выполняется.

Ответ: Первое число равно -10, второе число равно 18.

Однако за час он смог проверить на 13 приборов меньше, чем запланировал, поэтому после 6 ч работы ему осталось проверить ещё 30 приборов. Сколько приборов было в партии?

Пусть $x$ – общее количество приборов в партии, которое необходимо было проверить контролёру.

Согласно плану, контролёр должен был проверить все приборы за 5 часов. Следовательно, его планируемая производительность (скорость проверки) составляет $\frac{x}{5}$ приборов в час.

По условию задачи, фактическая производительность контролёра оказалась на 13 приборов в час меньше, чем планируемая. Значит, фактическая производительность равна $(\frac{x}{5} - 13)$ приборов в час.

Контролёр работал 6 часов с фактической производительностью. За это время он проверил:$6 \cdot (\frac{x}{5} - 13)$ приборов.

После 6 часов работы ему осталось проверить ещё 30 приборов. Это означает, что общее количество приборов $x$ равно сумме количества уже проверенных приборов и количества оставшихся. На основе этого составим и решим уравнение:

$x = 6 \cdot (\frac{x}{5} - 13) + 30$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$x = \frac{6x}{5} - 78 + 30$

Упростим правую часть:

$x = \frac{6x}{5} - 48$

Для удобства решения избавимся от дроби, умножив обе части уравнения на 5:

$5 \cdot x = 5 \cdot (\frac{6x}{5} - 48)$

$5x = 6x - 240$

Перенесём слагаемые, содержащие $x$, в одну сторону, а числовые значения – в другую:

$240 = 6x - 5x$

$x = 240$

Таким образом, общее количество приборов в партии составляет 240 штук.

Проверка:

1. Общее количество приборов в партии: 240.

2. Планируемая производительность: $240 \text{ приборов} / 5 \text{ часов} = 48$ приборов/час.

3. Фактическая производительность: $48 - 13 = 35$ приборов/час.

4. Количество проверенных приборов за 6 часов: $35 \text{ приборов/час} \cdot 6 \text{ часов} = 210$ приборов.

5. Количество оставшихся приборов: $240 - 210 = 30$ приборов.

Результат проверки соответствует условию задачи.

Ответ: 240 приборов.

30. В первом словарном диктанте Антон написал правильно 90% слов. Во втором диктанте было на 40 слов больше, чем в первом, а правильно Антон написал 95% слов. Сколько слов было в каждом диктанте, если всего 7% слов из этих двух диктантов Антон написал неправильно?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — количество слов в первом словарном диктанте.

Согласно условию, во втором диктанте было на 40 слов больше, чем в первом, значит, количество слов во втором диктанте составляет $x + 40$.

Общее количество слов в двух диктантах равно сумме слов в каждом: $x + (x + 40) = 2x + 40$.

Теперь определим количество неправильно написанных слов в каждом диктанте.

В первом диктанте Антон написал правильно 90% слов, следовательно, неправильно он написал $100\% - 90\% = 10\%$ слов. В абсолютном выражении это $0,1x$ слов.

Во втором диктанте он написал правильно 95% слов, значит, неправильно — $100\% - 95\% = 5\%$ слов. В абсолютном выражении это $0,05(x + 40)$ слов.

Общее количество неправильно написанных слов в двух диктантах равно сумме неправильно написанных слов в первом и втором диктантах: $0,1x + 0,05(x + 40)$.

Также по условию известно, что всего 7% слов из этих двух диктантов Антон написал неправильно. Общее количество слов мы уже определили как $2x + 40$. Значит, общее количество неправильно написанных слов составляет $0,07(2x + 40)$.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для общего количества неправильно написанных слов:

$0,1x + 0,05(x + 40) = 0,07(2x + 40)$

Решим это уравнение. Сначала раскроем скобки:

$0,1x + 0,05x + 0,05 \cdot 40 = 0,07 \cdot 2x + 0,07 \cdot 40$

$0,1x + 0,05x + 2 = 0,14x + 2,8$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$0,15x + 2 = 0,14x + 2,8$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а свободные члены — в правую:

$0,15x - 0,14x = 2,8 - 2$

$0,01x = 0,8$

Найдем $x$:

$x = \frac{0,8}{0,01} = 80$

Таким образом, в первом диктанте было 80 слов.

Количество слов во втором диктанте:

$x + 40 = 80 + 40 = 120$

Ответ: в первом диктанте было 80 слов, во втором диктанте — 120 слов.

31. Решить уравнение:

1) $3x - 2y = 1$;

2) $-4x + 3y = -2$.

1) $3x - 2y = 1$

Данное уравнение является линейным уравнением с двумя переменными. Такие уравнения, если рассматривать их в целых числах (как диофантовы уравнения), имеют бесконечное множество решений. Задача состоит в том, чтобы найти общую формулу, описывающую все пары целых чисел $(x, y)$, которые удовлетворяют этому уравнению.

Для этого выразим одну переменную через другую. Например, выразим $y$ через $x$:

$3x - 1 = 2y$

$y = \frac{3x - 1}{2}$

Чтобы $y$ был целым числом, необходимо, чтобы числитель $(3x - 1)$ был четным, то есть делился на 2. Разность $(3x - 1)$ будет четной, если $3x$ — нечетное число. В свою очередь, произведение $3x$ нечетно только тогда, когда $x$ — нечетное число.

Любое нечетное целое число $x$ можно представить в виде $x = 2k + 1$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Теперь подставим это выражение для $x$ обратно в формулу для $y$:

$y = \frac{3(2k + 1) - 1}{2} = \frac{6k + 3 - 1}{2} = \frac{6k + 2}{2} = 3k + 1$

Таким образом, общее решение уравнения в целых числах задается парой формул:

$x = 2k + 1$

$y = 3k + 1$

где $k$ — любое целое число.

Проверка:

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$3(2k + 1) - 2(3k + 1) = (6k + 3) - (6k + 2) = 6k + 3 - 6k - 2 = 1$

$1 = 1$

Равенство выполняется для любого целого $k$, следовательно, решение найдено верно.

Ответ: $x = 2k + 1$, $y = 3k + 1$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $-4x + 3y = -2$

Это также линейное диофантово уравнение. Найдем его общее решение в целых числах, выразив одну переменную через другую. Удобнее выразить $y$ через $x$.

$3y = 4x - 2$

$y = \frac{4x - 2}{3}$

Чтобы $y$ был целым числом, числитель $(4x - 2)$ должен быть кратен 3. Запишем это условие с помощью сравнения по модулю 3:

$4x - 2 \equiv 0 \pmod{3}$

Упростим сравнение, используя свойства остатков: $4 \equiv 1 \pmod{3}$ и $-2 \equiv 1 \pmod{3}$.

$1 \cdot x + 1 \equiv 0 \pmod{3}$

$x + 1 \equiv 0 \pmod{3}$

$x \equiv -1 \pmod{3}$

Это эквивалентно $x \equiv 2 \pmod{3}$. То есть, число $x$ при делении на 3 должно давать в остатке 2. Любое такое число можно записать в виде $x = 3k + 2$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Теперь найдем соответствующее выражение для $y$, подставив формулу для $x$:

$y = \frac{4(3k + 2) - 2}{3} = \frac{12k + 8 - 2}{3} = \frac{12k + 6}{3} = 4k + 2$

Итак, общее решение уравнения в целых числах:

$x = 3k + 2$

$y = 4k + 2$

где $k$ — любое целое число.

Проверка:

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$-4(3k + 2) + 3(4k + 2) = (-12k - 8) + (12k + 6) = -12k - 8 + 12k + 6 = -2$

$-2 = -2$

Равенство выполняется, значит, решение верное.

Ответ: $x = 3k + 2$, $y = 4k + 2$, где $k \in \mathbb{Z}$.