Страница 18 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

42. 1) Два велосипедиста выехали в одном направлении, причём первый на полчаса раньше второго. Первый велосипедист проезжает за час $14 \text{ км}$, а второй — за $1,5 \text{ ч } 18 \text{ км}$. Через какое время с момента выезда второго велосипедиста расстояние между ними будет $13 \text{ км}$?

2) Из посёлка в город выехал велосипедист, а через $2 \text{ ч } 40 \text{ мин}$ вслед за ним выехал автомобиль. На каком расстоянии от посёлка автомобилист догонит велосипедиста, если скорость первого $12 \text{ км/ч}$, а второго $60 \text{ км/ч}$?

1) Для начала определим скорости обоих велосипедистов.
Скорость первого велосипедиста ($v_1$) дана в условии: он проезжает 14 км за час, следовательно, $v_1 = 14 \text{ км/ч}$.
Скорость второго велосипедиста ($v_2$) можно вычислить: он проезжает 18 км за 1,5 часа. $v_2 = \frac{18 \text{ км}}{1.5 \text{ ч}} = 12 \text{ км/ч}$.
Первый велосипедист выехал на полчаса (0,5 ч) раньше второго. К моменту выезда второго велосипедиста первый уже проехал некоторое расстояние. Найдем это расстояние ($S_0$):
$S_0 = v_1 \times t_{форы} = 14 \text{ км/ч} \times 0.5 \text{ ч} = 7 \text{ км}$.
Итак, когда второй велосипедист начал движение, первый был уже на 7 км впереди.
Поскольку велосипедисты движутся в одном направлении и скорость первого ($14 \text{ км/ч}$) больше скорости второго ($12 \text{ км/ч}$), расстояние между ними будет увеличиваться. Найдем скорость, с которой они удаляются друг от друга (относительная скорость удаления):
$v_{уд} = v_1 - v_2 = 14 - 12 = 2 \text{ км/ч}$.
Это значит, что каждый час расстояние между ними увеличивается на 2 км.
Изначальное расстояние между ними было 7 км, а должно стать 13 км. Значит, расстояние должно увеличиться на:
$\Delta S = 13 \text{ км} - 7 \text{ км} = 6 \text{ км}$.
Теперь найдем время ($t$), за которое расстояние увеличится на 6 км, двигаясь с относительной скоростью 2 км/ч:
$t = \frac{\Delta S}{v_{уд}} = \frac{6 \text{ км}}{2 \text{ км/ч}} = 3 \text{ ч}$.
Это время отсчитывается с момента выезда второго велосипедиста, что и требуется в задаче.
Ответ: через 3 часа с момента выезда второго велосипедиста расстояние между ними будет 13 км.

2) Сначала определим, какое расстояние проехал велосипедист до того, как выехал автомобиль.
Автомобиль выехал через 2 ч 40 мин после велосипедиста. Переведем это время в часы:
$t_{форы} = 2 \text{ ч } 40 \text{ мин} = 2 + \frac{40}{60} \text{ ч} = 2 + \frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{8}{3} \text{ ч}$.
Скорость велосипедиста ($v_{вел}$) равна $12 \text{ км/ч}$. За время $t_{форы}$ он проехал:
$S_{форы} = v_{вел} \times t_{форы} = 12 \text{ км/ч} \times \frac{8}{3} \text{ ч} = 4 \times 8 = 32 \text{ км}$.
Когда автомобиль начал движение, велосипедист был на 32 км впереди. Автомобиль догоняет велосипедиста, так как его скорость больше. Найдем скорость сближения ($v_{сбл}$):
$v_{сбл} = v_{авто} - v_{вел} = 60 \text{ км/ч} - 12 \text{ км/ч} = 48 \text{ км/ч}$.
Теперь найдем время ($t_{встречи}$), через которое автомобиль догонит велосипедиста. Для этого нужно покрыть расстояние в 32 км со скоростью сближения 48 км/ч:
$t_{встречи} = \frac{S_{форы}}{v_{сбл}} = \frac{32 \text{ км}}{48 \text{ км/ч}} = \frac{2}{3} \text{ ч}$.
Вопрос задачи — на каком расстоянии от посёлка произойдет встреча. Это расстояние можно найти, умножив скорость автомобиля на время его движения до встречи:
$S = v_{авто} \times t_{встречи} = 60 \text{ км/ч} \times \frac{2}{3} \text{ ч} = 20 \times 2 = 40 \text{ км}$.
Для проверки можно рассчитать расстояние, которое проехал велосипедист за всё своё время в пути. Его общее время: $\frac{8}{3} \text{ ч} + \frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{10}{3} \text{ ч}$.
$S = v_{вел} \times t_{общ} = 12 \text{ км/ч} \times \frac{10}{3} \text{ ч} = 4 \times 10 = 40 \text{ км}$.
Результаты совпадают.
Ответ: автомобилист догонит велосипедиста на расстоянии 40 км от посёлка.

43. 1) Из двух городов, расстояние между которыми 620 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Скорость одного поезда на 10 $\text{км/ч}$ меньше скорости другого. Найти скорости поездов, если через 3 ч после начала движения расстояние между ними сократилось до 170 км.

2) Из города $A$ в город $B$, расстояние между которыми 905 км, выехал автомобиль. Через час из города $B$ в город $A$ по той же автостраде навстречу ему выехал другой автомобиль со скоростью, на 5 $\text{км/ч}$ большей. Определить скорости автомобилей, если известно, что через 4 ч после начала движения второго автомобиля расстояние между ними сократилось до 120 км.

1) Пусть скорость одного поезда, которая меньше, равна $x$ км/ч. Тогда скорость второго поезда равна $(x + 10)$ км/ч.
Поезда движутся навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = x + (x + 10) = (2x + 10)$ км/ч.
Изначальное расстояние между поездами было 620 км. Через 3 часа расстояние сократилось до 170 км. Это значит, что за 3 часа они вместе проехали расстояние, равное разности начального и конечного расстояний.
Пройденное расстояние: $S = 620 - 170 = 450$ км.
Расстояние, пройденное обоими поездами, также можно выразить через скорость сближения и время: $S = v_{сбл} \cdot t$.
Составим и решим уравнение:
$(2x + 10) \cdot 3 = 450$
$2x + 10 = 450 / 3$
$2x + 10 = 150$
$2x = 150 - 10$
$2x = 140$
$x = 70$ (км/ч) – скорость первого поезда.
Теперь найдем скорость второго поезда:
$x + 10 = 70 + 10 = 80$ (км/ч) – скорость второго поезда.

Ответ: скорость одного поезда 70 км/ч, скорость другого поезда 80 км/ч.

2) Пусть скорость автомобиля, выехавшего из города А, равна $x$ км/ч. Тогда скорость второго автомобиля, выехавшего из города В, равна $(x + 5)$ км/ч.
Второй автомобиль выехал на 1 час позже и был в пути 4 часа. Значит, первый автомобиль был в пути $4 + 1 = 5$ часов.
За 5 часов первый автомобиль проехал расстояние $S_1 = 5x$ км.
За 4 часа второй автомобиль проехал расстояние $S_2 = 4(x + 5)$ км.
Изначальное расстояние между городами 905 км, а через указанное время оно стало 120 км. Значит, вместе автомобили проехали:
$S_{общ} = 905 - 120 = 785$ км.
Сумма расстояний, которые проехал каждый автомобиль, равна общему пройденному расстоянию: $S_1 + S_2 = S_{общ}$.
Составим и решим уравнение:
$5x + 4(x + 5) = 785$
$5x + 4x + 20 = 785$
$9x = 785 - 20$
$9x = 765$
$x = 765 / 9$
$x = 85$ (км/ч) – скорость первого автомобиля (из города А).
Теперь найдем скорость второго автомобиля:
$x + 5 = 85 + 5 = 90$ (км/ч) – скорость второго автомобиля (из города В).

Ответ: скорость автомобиля, выехавшего из города А, – 85 км/ч, а скорость автомобиля, выехавшего из города В, – 90 км/ч.

44. 1) Мать старше дочери на 24 года, а через 5 лет будет старше её в 5 раз. Сколько лет матери и сколько лет дочери?

2) Отец старше сына в 3 раза. Вместе отцу и сыну 52 года. Сколько лет каждому из них?

1)

Для решения задачи введем переменные. Пусть $Д$ – это текущий возраст дочери, а $М$ – текущий возраст матери.

Из условия "Мать старше дочери на 24 года" мы можем составить первое уравнение:

$М = Д + 24$

Через 5 лет возраст дочери будет $Д + 5$, а возраст матери – $М + 5$. По второму условию, "через 5 лет будет старше её в 5 раз", составим второе уравнение:

$М + 5 = 5 \times (Д + 5)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Мы можем подставить выражение для $М$ из первого уравнения во второе:

$(Д + 24) + 5 = 5 \times (Д + 5)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти возраст дочери $Д$:

$Д + 29 = 5Д + 25$

Перенесем слагаемые с $Д$ в одну сторону, а числа – в другую:

$29 - 25 = 5Д - Д$

$4 = 4Д$

$Д = 1$

Итак, дочери сейчас 1 год. Теперь найдем возраст матери, используя первое уравнение:

$М = 1 + 24 = 25$

Матери сейчас 25 лет.

Проверка: Сейчас матери 25, дочери 1 (разница 24 года). Через 5 лет матери будет 30, а дочери 6. $30$ в 5 раз больше, чем $6$. Все верно.

Ответ: матери 25 лет, дочери 1 год.

2)

Пусть $С$ – возраст сына, а $О$ – возраст отца.

Из условия "Отец старше сына в 3 раза" получаем первое уравнение:

$О = 3 \times С$

Из условия "Вместе отцу и сыну 52 года" получаем второе уравнение:

$О + С = 52$

Подставим выражение для $О$ из первого уравнения во второе:

$(3С) + С = 52$

Решим полученное уравнение:

$4С = 52$

$С = 52 / 4$

$С = 13$

Возраст сына – 13 лет. Теперь найдем возраст отца, подставив значение $С$ в первое уравнение:

$О = 3 \times 13 = 39$

Возраст отца – 39 лет.

Проверка: Отцу 39, сыну 13. $39 = 3 \times 13$. Сумма возрастов $39 + 13 = 52$. Все верно.

Ответ: отцу 39 лет, сыну 13 лет.