Страница 11 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

16. Доказать, что выражение:

1) $7 + a - (3b - a - (2b - 2a)) + b$ принимает положительные значения при любых значениях $a$ и $b$;

2) $-(3m - (5n - (2m + n))) - 4n - 1 + 5m$ принимает отрицательные значения при любых значениях $m$ и $n$.

1) Чтобы доказать, что выражение $7 + a - (3b - a - (2b - 2a)) + b$ принимает положительные значения при любых значениях $a$ и $b$, необходимо упростить его, последовательно раскрывая скобки, начиная с самых внутренних.

Исходное выражение: $7 + a - (3b - a - (2b - 2a)) + b$

1. Раскроем внутренние скобки $(2b - 2a)$. Так как перед ними стоит знак минус, знаки внутри меняются на противоположные:
$7 + a - (3b - a - 2b + 2a) + b$

2. Приведем подобные слагаемые внутри оставшихся скобок:
$(3b - 2b) + (-a + 2a) = b + a$

3. Подставим упрощенное выражение обратно:
$7 + a - (a + b) + b$

4. Раскроем последние скобки:
$7 + a - a - b + b$

5. Приведем подобные слагаемые:
$(a - a) + (-b + b) + 7 = 0 + 0 + 7 = 7$

В результате упрощения мы получили число 7. Так как $7 > 0$, данное выражение всегда принимает положительное значение, независимо от значений переменных $a$ и $b$.

Ответ: значение выражения тождественно равно 7, что является положительным числом при любых значениях $a$ и $b$.

2) Чтобы доказать, что выражение $-(3m - (5n - (2m + n))) - 4n - 1 + 5m$ принимает отрицательные значения при любых значениях $m$ и $n$, необходимо упростить его, последовательно раскрывая скобки, начиная с самых внутренних.

Исходное выражение: $-(3m - (5n - (2m + n))) - 4n - 1 + 5m$

1. Раскроем внутренние скобки $(2m + n)$:
$-(3m - (5n - 2m - n)) - 4n - 1 + 5m$

2. Приведем подобные слагаемые внутри средних скобок:
$(5n - n) - 2m = 4n - 2m$

3. Подставим упрощенное выражение обратно:
$-(3m - (4n - 2m)) - 4n - 1 + 5m$

4. Раскроем оставшиеся внутренние скобки $(4n - 2m)$:
$-(3m - 4n + 2m) - 4n - 1 + 5m$

5. Приведем подобные слагаемые внутри последних скобок:
$(3m + 2m) - 4n = 5m - 4n$

6. Подставим упрощенное выражение и раскроем скобки:
$-(5m - 4n) - 4n - 1 + 5m = -5m + 4n - 4n - 1 + 5m$

7. Приведем подобные слагаемые во всем выражении:
$(-5m + 5m) + (4n - 4n) - 1 = 0 + 0 - 1 = -1$

В результате упрощения мы получили число -1. Так как $-1 < 0$, данное выражение всегда принимает отрицательное значение, независимо от значений переменных $m$ и $n$.

Ответ: значение выражения тождественно равно -1, что является отрицательным числом при любых значениях $m$ и $n$.

17. Найти произведение многочленов:

1) $(8x - y^2)(3x + y^2)$;

2) $(2m^2n - 5mn^2)(3mn^2 - 4m^2n)$;

3) $(5xy^2 - 2x^2y)(2x^2y + 5xy^2)$;

4) $(\frac{1}{2}a^3 + b^2)(b^2 - \frac{1}{2}a^3)$;

5) $(a^6 - a^3b^3 + b^6)(a^3 + b^3)$;

6) $(9m^4 + 3m^2n^2 + n^4)(3m^2 - n^2)$.

1) Чтобы найти произведение многочленов, умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго (правило "фонтанчика" или раскрытие скобок): $(8x - y^2)(3x + y^2) = 8x \cdot 3x + 8x \cdot y^2 - y^2 \cdot 3x - y^2 \cdot y^2 = 24x^2 + 8xy^2 - 3xy^2 - y^4$. Далее приведем подобные слагаемые $8xy^2$ и $-3xy^2$: $8xy^2 - 3xy^2 = 5xy^2$. В результате получаем многочлен: $24x^2 + 5xy^2 - y^4$.
Ответ: $24x^2 + 5xy^2 - y^4$.

2) Умножим многочлены $(2m^2n - 5mn^2)$ и $(3mn^2 - 4m^2n)$ покомпонентно: $(2m^2n - 5mn^2)(3mn^2 - 4m^2n) = 2m^2n \cdot 3mn^2 + 2m^2n \cdot (-4m^2n) - 5mn^2 \cdot 3mn^2 - 5mn^2 \cdot (-4m^2n)$ $= 6m^3n^3 - 8m^4n^2 - 15m^2n^4 + 20m^3n^3$. Приведем подобные слагаемые $6m^3n^3$ и $20m^3n^3$: $6m^3n^3 + 20m^3n^3 = 26m^3n^3$. Запишем итоговый многочлен, для удобства упорядочив члены по убыванию степени переменной $m$: $-8m^4n^2 + 26m^3n^3 - 15m^2n^4$.
Ответ: $-8m^4n^2 + 26m^3n^3 - 15m^2n^4$.

3) В выражении $(5xy^2 - 2x^2y)(2x^2y + 5xy^2)$ поменяем слагаемые во второй скобке местами, чтобы увидеть знакомую структуру: $(5xy^2 - 2x^2y)(5xy^2 + 2x^2y)$. Это произведение соответствует формуле сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = 5xy^2$ и $b = 2x^2y$. Применим формулу: $(5xy^2)^2 - (2x^2y)^2 = 5^2x^2(y^2)^2 - 2^2(x^2)^2y^2 = 25x^2y^4 - 4x^4y^2$.
Ответ: $25x^2y^4 - 4x^4y^2$.

4) Преобразуем выражение $(\frac{1}{2}a^3 + b^2)(b^2 - \frac{1}{2}a^3)$, поменяв слагаемые в первой скобке местами: $(b^2 + \frac{1}{2}a^3)(b^2 - \frac{1}{2}a^3)$. Мы получили формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x = b^2$ и $y = \frac{1}{2}a^3$. Применим формулу: $(b^2)^2 - (\frac{1}{2}a^3)^2 = b^4 - (\frac{1}{2})^2(a^3)^2 = b^4 - \frac{1}{4}a^6$.
Ответ: $b^4 - \frac{1}{4}a^6$.

5) Выражение $(a^6 - a^3b^3 + b^6)(a^3 + b^3)$ соответствует формуле сокращенного умножения "сумма кубов": $(x^2 - xy + y^2)(x + y) = x^3 + y^3$. В нашем случае $x=a^3$ и $y=b^3$. Проверим соответствие: $x^2 = (a^3)^2 = a^6$, $y^2 = (b^3)^2 = b^6$ и $xy = a^3b^3$. Все сходится. Применяя формулу, получаем: $(a^3)^3 + (b^3)^3 = a^9 + b^9$.
Ответ: $a^9 + b^9$.

6) Рассмотрим выражение $(9m^4 + 3m^2n^2 + n^4)(3m^2 - n^2)$. Для наглядности переставим множители: $(3m^2 - n^2)(9m^4 + 3m^2n^2 + n^4)$. Это выражение соответствует формуле "разность кубов": $(x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3$. Здесь $x = 3m^2$ и $y = n^2$. Проверим: $x^2 = (3m^2)^2 = 9m^4$, $y^2 = (n^2)^2 = n^4$ и $xy = (3m^2)(n^2) = 3m^2n^2$. Применяя формулу, получаем: $(3m^2)^3 - (n^2)^3 = 27m^6 - n^6$.
Ответ: $27m^6 - n^6$.

18. Выполнить действия:

1) $ \left(\frac{1}{a^2 - b^2} + \frac{b}{a^3 + b^3}\right) : \frac{a^2}{a^6 - b^6}; $

2) $ \left(\frac{6a}{a^2 - 4b^2} + \frac{2}{2b - a} - \frac{4}{2b + a}\right) : \left(1 + \frac{a^2 + 4b^2}{4b^2 - a^2}\right); $

3) $ \left(\frac{y}{x^3 - x^2y + xy^2} + \frac{x - 2y}{x^3 + y^3}\right) \cdot \frac{x^3 - xy^2}{x^2 + y^2} + \frac{2y^2}{x^3 + x^2y + xy^2 + y^3}. $

1) Выполним действия для выражения $\left(\frac{1}{a^2 - b^2} + \frac{b}{a^3 + b^3}\right) : \frac{a^2}{a^6 - b^6}$.

Сначала упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители, используя формулы разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

$\frac{1}{(a-b)(a+b)} + \frac{b}{(a+b)(a^2 - ab + b^2)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(a-b)(a+b)(a^2 - ab + b^2)$:

$\frac{1 \cdot (a^2 - ab + b^2) + b \cdot (a-b)}{(a-b)(a+b)(a^2 - ab + b^2)} = \frac{a^2 - ab + b^2 + ab - b^2}{(a-b)(a+b)(a^2 - ab + b^2)} = \frac{a^2}{(a-b)(a+b)(a^2 - ab + b^2)}$

Теперь преобразуем делитель. Разложим знаменатель $a^6 - b^6$ на множители как разность квадратов $(a^3)^2 - (b^3)^2$, а затем как разность и сумму кубов:

$a^6 - b^6 = (a^3 - b^3)(a^3 + b^3) = (a-b)(a^2+ab+b^2)(a+b)(a^2-ab+b^2)$

Таким образом, делитель равен:

$\frac{a^2}{a^6 - b^6} = \frac{a^2}{(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)}$

Выполним деление, заменив его на умножение на обратную дробь:

$\frac{a^2}{(a-b)(a+b)(a^2 - ab + b^2)} \cdot \frac{(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)}{a^2}$

Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе: $a^2$, $(a-b)$, $(a+b)$, $(a^2 - ab + b^2)$.

В результате получаем: $a^2 + ab + b^2$.

Ответ: $a^2 + ab + b^2$.

2) Выполним действия для выражения $\left(\frac{6a}{a^2 - 4b^2} + \frac{2}{2b-a} - \frac{4}{2b+a}\right) : \left(1 + \frac{a^2 + 4b^2}{4b^2 - a^2}\right)$.

Упростим выражение в первых скобках. Разложим знаменатель $a^2 - 4b^2 = (a-2b)(a+2b)$ и приведем знаки в других дробях к общему виду: $\frac{2}{2b-a} = -\frac{2}{a-2b}$ и $\frac{4}{2b+a} = \frac{4}{a+2b}$.

$\frac{6a}{(a-2b)(a+2b)} - \frac{2}{a-2b} - \frac{4}{a+2b}$

Приведем все дроби к общему знаменателю $(a-2b)(a+2b)$:

$\frac{6a - 2(a+2b) - 4(a-2b)}{(a-2b)(a+2b)} = \frac{6a - 2a - 4b - 4a + 8b}{a^2 - 4b^2} = \frac{4b}{a^2 - 4b^2}$

Теперь упростим выражение во вторых скобках. Заметим, что $4b^2 - a^2 = -(a^2 - 4b^2)$.

$1 + \frac{a^2 + 4b^2}{4b^2 - a^2} = 1 - \frac{a^2 + 4b^2}{a^2 - 4b^2} = \frac{a^2 - 4b^2 - (a^2 + 4b^2)}{a^2 - 4b^2} = \frac{a^2 - 4b^2 - a^2 - 4b^2}{a^2 - 4b^2} = \frac{-8b^2}{a^2 - 4b^2}$

Выполним деление:

$\frac{4b}{a^2 - 4b^2} : \frac{-8b^2}{a^2 - 4b^2} = \frac{4b}{a^2 - 4b^2} \cdot \frac{a^2 - 4b^2}{-8b^2}$

Сокращаем $(a^2 - 4b^2)$ и упрощаем оставшееся выражение:

$\frac{4b}{-8b^2} = -\frac{1}{2b}$

Ответ: $-\frac{1}{2b}$.

3) Выполним действия для выражения $\left(\frac{y}{x^3 - x^2y + xy^2} + \frac{x-2y}{x^3+y^3}\right) \cdot \frac{x^3 - xy^2}{x^2+y^2} + \frac{2y^2}{x^3+x^2y+xy^2+y^3}$.

Решим по действиям. Сначала выполним сложение в скобках. Разложим знаменатели на множители:

$x^3 - x^2y + xy^2 = x(x^2 - xy + y^2)$

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$

$\frac{y}{x(x^2 - xy + y^2)} + \frac{x-2y}{(x+y)(x^2 - xy + y^2)}$

Приводим к общему знаменателю $x(x+y)(x^2 - xy + y^2)$:

$\frac{y(x+y) + x(x-2y)}{x(x+y)(x^2 - xy + y^2)} = \frac{xy+y^2+x^2-2xy}{x(x+y)(x^2 - xy + y^2)} = \frac{x^2 - xy + y^2}{x(x+y)(x^2 - xy + y^2)} = \frac{1}{x(x+y)}$

Теперь выполним умножение. Преобразуем второй множитель:

$\frac{x^3 - xy^2}{x^2+y^2} = \frac{x(x^2 - y^2)}{x^2+y^2} = \frac{x(x-y)(x+y)}{x^2+y^2}$

$\frac{1}{x(x+y)} \cdot \frac{x(x-y)(x+y)}{x^2+y^2} = \frac{x-y}{x^2+y^2}$

Осталось выполнить сложение. Преобразуем знаменатель последней дроби, сгруппировав слагаемые:

$x^3+x^2y+xy^2+y^3 = x^2(x+y) + y^2(x+y) = (x^2+y^2)(x+y)$

Складываем полученные результаты:

$\frac{x-y}{x^2+y^2} + \frac{2y^2}{(x^2+y^2)(x+y)}$

Приводим к общему знаменателю $(x^2+y^2)(x+y)$:

$\frac{(x-y)(x+y) + 2y^2}{(x^2+y^2)(x+y)} = \frac{x^2 - y^2 + 2y^2}{(x^2+y^2)(x+y)} = \frac{x^2 + y^2}{(x^2+y^2)(x+y)}$

Сокращаем дробь на $(x^2+y^2)$:

$\frac{1}{x+y}$

Ответ: $\frac{1}{x+y}$.