Номер 16, страница 11 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

16. Доказать, что выражение:

1) $7 + a - (3b - a - (2b - 2a)) + b$ принимает положительные значения при любых значениях $a$ и $b$;

2) $-(3m - (5n - (2m + n))) - 4n - 1 + 5m$ принимает отрицательные значения при любых значениях $m$ и $n$.

1) Чтобы доказать, что выражение $7 + a - (3b - a - (2b - 2a)) + b$ принимает положительные значения при любых значениях $a$ и $b$, необходимо упростить его, последовательно раскрывая скобки, начиная с самых внутренних.

Исходное выражение: $7 + a - (3b - a - (2b - 2a)) + b$

1. Раскроем внутренние скобки $(2b - 2a)$. Так как перед ними стоит знак минус, знаки внутри меняются на противоположные:
$7 + a - (3b - a - 2b + 2a) + b$

2. Приведем подобные слагаемые внутри оставшихся скобок:
$(3b - 2b) + (-a + 2a) = b + a$

3. Подставим упрощенное выражение обратно:
$7 + a - (a + b) + b$

4. Раскроем последние скобки:
$7 + a - a - b + b$

5. Приведем подобные слагаемые:
$(a - a) + (-b + b) + 7 = 0 + 0 + 7 = 7$

В результате упрощения мы получили число 7. Так как $7 > 0$, данное выражение всегда принимает положительное значение, независимо от значений переменных $a$ и $b$.

Ответ: значение выражения тождественно равно 7, что является положительным числом при любых значениях $a$ и $b$.

2) Чтобы доказать, что выражение $-(3m - (5n - (2m + n))) - 4n - 1 + 5m$ принимает отрицательные значения при любых значениях $m$ и $n$, необходимо упростить его, последовательно раскрывая скобки, начиная с самых внутренних.

Исходное выражение: $-(3m - (5n - (2m + n))) - 4n - 1 + 5m$

1. Раскроем внутренние скобки $(2m + n)$:
$-(3m - (5n - 2m - n)) - 4n - 1 + 5m$

2. Приведем подобные слагаемые внутри средних скобок:
$(5n - n) - 2m = 4n - 2m$

3. Подставим упрощенное выражение обратно:
$-(3m - (4n - 2m)) - 4n - 1 + 5m$

4. Раскроем оставшиеся внутренние скобки $(4n - 2m)$:
$-(3m - 4n + 2m) - 4n - 1 + 5m$

5. Приведем подобные слагаемые внутри последних скобок:
$(3m + 2m) - 4n = 5m - 4n$

6. Подставим упрощенное выражение и раскроем скобки:
$-(5m - 4n) - 4n - 1 + 5m = -5m + 4n - 4n - 1 + 5m$

7. Приведем подобные слагаемые во всем выражении:
$(-5m + 5m) + (4n - 4n) - 1 = 0 + 0 - 1 = -1$

В результате упрощения мы получили число -1. Так как $-1 < 0$, данное выражение всегда принимает отрицательное значение, независимо от значений переменных $m$ и $n$.

Ответ: значение выражения тождественно равно -1, что является отрицательным числом при любых значениях $m$ и $n$.