Номер 10, страница 10 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

10. Разложить многочлен на множители:

1) $3a^2 + 12ab + 12b^2;$

2) $6a^3b^2 - 36a^2b^3 + 54ab^4;$

3) $a^2 - 2ab + 5a - 10b;$

4) $a^3 - 3b + a^2b - 3a;$

5) $a^5 + 3a^3 - 8a^2 - 24;$

6) $a^2 - 3a + b^2 + 3b - 2ab.$

1) $3a^2 + 12ab + 12b^2$

Первым шагом вынесем общий числовой множитель 3 за скобки:

$3(a^2 + 4ab + 4b^2)$

Выражение в скобках, $a^2 + 4ab + 4b^2$, представляет собой полный квадрат. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В данном случае, если принять $x=a$ и $y=2b$, то мы получим:

$x^2 = a^2$

$y^2 = (2b)^2 = 4b^2$

$2xy = 2 \cdot a \cdot 2b = 4ab$

Все члены совпадают, следовательно, $a^2 + 4ab + 4b^2 = (a + 2b)^2$.

Подставив это в исходное выражение, получаем конечный результат.

Ответ: $3(a + 2b)^2$

2) $6a^3b^2 - 36a^2b^3 + 54ab^4$

Для начала найдем и вынесем за скобки общий множитель всех членов многочлена. Наибольший общий делитель для коэффициентов 6, 36 и 54 равен 6. Для переменных $a$ и $b$ берем наименьшие степени, то есть $a^1$ и $b^2$. Таким образом, общий множитель — это $6ab^2$.

$6ab^2(a^2 - 6ab + 9b^2)$

Выражение в скобках $a^2 - 6ab + 9b^2$ является полным квадратом разности. Применим формулу: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Пусть $x=a$ и $y=3b$. Тогда:

$x^2 = a^2$

$y^2 = (3b)^2 = 9b^2$

$2xy = 2 \cdot a \cdot 3b = 6ab$

Таким образом, $a^2 - 6ab + 9b^2 = (a - 3b)^2$.

Окончательное разложение многочлена имеет вид:

Ответ: $6ab^2(a - 3b)^2$

3) $a^2 - 2ab + 5a - 10b$

Для разложения этого многочлена на множители воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(a^2 - 2ab) + (5a - 10b)$

Теперь вынесем общий множитель из каждой группы:

$a(a - 2b) + 5(a - 2b)$

Мы получили два слагаемых, у которых есть общий множитель $(a - 2b)$. Вынесем его за скобки:

$(a - 2b)(a + 5)$

Ответ: $(a - 2b)(a + 5)$

4) $a^3 - 3b + a^2b - 3a$

Применим метод группировки. Для удобства переставим слагаемые. Сгруппируем первое слагаемое с четвертым, а второе с третьим:

$(a^3 - 3a) + (a^2b - 3b)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a(a^2 - 3) + b(a^2 - 3)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(a^2 - 3)$:

$(a^2 - 3)(a + b)$

Ответ: $(a^2 - 3)(a + b)$

5) $a^5 + 3a^3 - 8a^2 - 24$

Используем метод группировки. Объединим в группы первые два и последние два слагаемых:

$(a^5 + 3a^3) - (8a^2 + 24)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a^3(a^2 + 3) - 8(a^2 + 3)$

Теперь можно вынести общий множитель $(a^2 + 3)$:

$(a^2 + 3)(a^3 - 8)$

Второй множитель $(a^3 - 8)$ является разностью кубов. Применим формулу $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$, где $x=a$ и $y=2$.

$a^3 - 8 = a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + 2a + 2^2) = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$

Объединяем все множители для получения окончательного ответа.

Ответ: $(a^2 + 3)(a - 2)(a^2 + 2a + 4)$

6) $a^2 - 3a + b^2 + 3b - 2ab$

Перегруппируем слагаемые таким образом, чтобы выделить известные формулы сокращенного умножения. Объединим $a^2$, $-2ab$ и $b^2$:

$(a^2 - 2ab + b^2) - 3a + 3b$

Выражение в скобках является полным квадратом разности: $(a-b)^2$.

$(a - b)^2 - 3a + 3b$

Теперь сгруппируем оставшиеся два члена и вынесем общий множитель -3:

$(a - b)^2 - 3(a - b)$

В получившемся выражении есть общий множитель $(a - b)$, который мы вынесем за скобки:

$(a - b)((a - b) - 3)$

Раскроем внутренние скобки для окончательного вида.

Ответ: $(a - b)(a - b - 3)$