Номер 5, страница 9 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

5. Найти произведение многочлена и одночлена:

1) $5n(0.2n - 2n^2 - \frac{1}{3}p);$

2) $(4x - 1\frac{1}{3}xy - 2y)(-1\frac{1}{2}x^2).$

1) Чтобы найти произведение многочлена $(0,2n - 2n^2 - \frac{1}{3}p)$ и одночлена $5n$, необходимо умножить одночлен на каждый член многочлена, используя распределительное свойство умножения, а затем сложить полученные результаты.

$5n(0,2n - 2n^2 - \frac{1}{3}p) = 5n \cdot 0,2n + 5n \cdot (-2n^2) + 5n \cdot (-\frac{1}{3}p)$

Выполним умножение для каждого слагаемого по отдельности:

1. Умножим $5n$ на $0,2n$:
$5n \cdot 0,2n = (5 \cdot 0,2) \cdot (n \cdot n) = 1 \cdot n^2 = n^2$.

2. Умножим $5n$ на $-2n^2$:
$5n \cdot (-2n^2) = (5 \cdot (-2)) \cdot (n \cdot n^2) = -10 \cdot n^{1+2} = -10n^3$.

3. Умножим $5n$ на $-\frac{1}{3}p$:
$5n \cdot (-\frac{1}{3}p) = (5 \cdot (-\frac{1}{3})) \cdot (n \cdot p) = -\frac{5}{3}np$.

Теперь сложим полученные одночлены. Для приведения многочлена к стандартному виду, расположим его члены в порядке убывания степени переменной $n$:

$n^2 - 10n^3 - \frac{5}{3}np = -10n^3 + n^2 - \frac{5}{3}np$.

Ответ: $-10n^3 + n^2 - \frac{5}{3}np$.

2) Чтобы найти произведение многочлена $(4x - 1\frac{1}{3}xy - 2y)$ и одночлена $(-1\frac{1}{2}x^2)$, умножим одночлен на каждый член многочлена. Для удобства вычислений сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные.

$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

$-1\frac{1}{2} = -\frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{3}{2}$

Исходное выражение примет вид: $(4x - \frac{4}{3}xy - 2y)(-\frac{3}{2}x^2)$.

Применим распределительное свойство умножения:

$(4x - \frac{4}{3}xy - 2y)(-\frac{3}{2}x^2) = 4x \cdot (-\frac{3}{2}x^2) + (-\frac{4}{3}xy) \cdot (-\frac{3}{2}x^2) + (-2y) \cdot (-\frac{3}{2}x^2)$

Выполним умножение для каждого слагаемого:

1. Умножим $4x$ на $(-\frac{3}{2}x^2)$:
$4x \cdot (-\frac{3}{2}x^2) = (4 \cdot (-\frac{3}{2})) \cdot (x \cdot x^2) = -\frac{12}{2}x^{1+2} = -6x^3$.

2. Умножим $-\frac{4}{3}xy$ на $(-\frac{3}{2}x^2)$:
$(-\frac{4}{3}xy) \cdot (-\frac{3}{2}x^2) = ((-\frac{4}{3}) \cdot (-\frac{3}{2})) \cdot (x \cdot x^2 \cdot y) = \frac{12}{6}x^{1+2}y = 2x^3y$.

3. Умножим $-2y$ на $(-\frac{3}{2}x^2)$:
$(-2y) \cdot (-\frac{3}{2}x^2) = ((-2) \cdot (-\frac{3}{2})) \cdot (x^2 \cdot y) = \frac{6}{2}x^2y = 3x^2y$.

Сложим полученные результаты:

$-6x^3 + 2x^3y + 3x^2y$.

Ответ: $-6x^3 + 2x^3y + 3x^2y$.