Номер 12, страница 10 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

12. Выполнить действия:

1) $\frac{3x+5}{x-2} - \frac{11-x}{x-2}$;

2) $\frac{2a}{a-b} + \frac{2a-b}{b-a}$;

3) $\frac{3}{a} + 5 - \frac{2}{a-b}$;

4) $\frac{3a}{6a+8} - \frac{1}{2} - \frac{2}{4-3a}$;

5) $\frac{5b-b^2}{3a} \cdot \frac{6a^2}{b^3-5b^2}$;

6) $\frac{6c^3}{9-a^2} \cdot \frac{a^3-6a+9}{4a^2c}$;

7) $\frac{a^3b}{3a-6b} : \frac{a^2b^2-a^2b}{ac-2bc}$;

8) $\frac{10-15b}{(a-b)^2} : \frac{9b^2-4}{3b-3a}$;

9) $\left(\frac{a}{7a-4} - \frac{1}{a+3}\right) \cdot \frac{12-21a}{(2-a)^2}$;

10) $\left(\frac{x}{x-2} - \frac{x}{x+2} - \frac{x^2+4}{4-x^2}\right) : \frac{2x+x^2}{(2-x)^2}$.

1) $\frac{3x+5}{x-2} - \frac{11-x}{x-2}$

Поскольку у дробей одинаковый знаменатель, вычитаем их числители, объединив их под общей чертой:

$\frac{(3x+5) - (11-x)}{x-2} = \frac{3x+5-11+x}{x-2}$

Приводим подобные слагаемые в числителе:

$\frac{4x-6}{x-2}$

Выносим общий множитель 2 в числителе:

$\frac{2(2x-3)}{x-2}$

Ответ: $\frac{2(2x-3)}{x-2}$.

2) $\frac{2a}{a-b} + \frac{2a-b}{b-a}$

Заметим, что знаменатели противоположны: $b-a = -(a-b)$. Изменим знак перед второй дробью и в ее знаменателе:

$\frac{2a}{a-b} - \frac{2a-b}{a-b}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, вычитаем числители:

$\frac{2a - (2a-b)}{a-b} = \frac{2a - 2a + b}{a-b} = \frac{b}{a-b}$

Ответ: $\frac{b}{a-b}$.

3) $\frac{3}{a} + 5 - \frac{2}{a-b}$

Представим 5 как дробь $\frac{5}{1}$. Общий знаменатель для всех членов выражения - это $a(a-b)$. Приведем все дроби к этому знаменателю:

$\frac{3(a-b)}{a(a-b)} + \frac{5a(a-b)}{a(a-b)} - \frac{2a}{a(a-b)}$

Объединим числители под общим знаменателем:

$\frac{3(a-b) + 5a(a-b) - 2a}{a(a-b)}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{3a - 3b + 5a^2 - 5ab - 2a}{a(a-b)} = \frac{5a^2 + a - 3b - 5ab}{a(a-b)}$

Ответ: $\frac{5a^2 - 5ab + a - 3b}{a(a-b)}$.

4) $\frac{3a}{6a+8} - \frac{1}{2} - \frac{2}{4-3a}$

Сначала упростим знаменатели и знаки. $6a+8=2(3a+4)$, а $4-3a = -(3a-4)$.

$\frac{3a}{2(3a+4)} - \frac{1}{2} + \frac{2}{3a-4}$

Общий знаменатель: $2(3a+4)(3a-4) = 2(9a^2-16)$. Приведем дроби к нему:

$\frac{3a(3a-4)}{2(9a^2-16)} - \frac{(3a+4)(3a-4)}{2(9a^2-16)} + \frac{2 \cdot 2(3a+4)}{2(9a^2-16)}$

Объединим числители:

$\frac{9a^2-12a - (9a^2-16) + 4(3a+4)}{2(9a^2-16)} = \frac{9a^2-12a - 9a^2+16 + 12a+16}{2(9a^2-16)}$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{32}{2(9a^2-16)} = \frac{16}{9a^2-16}$

Ответ: $\frac{16}{9a^2-16}$.

5) $\frac{5b-b^2}{3a} \cdot \frac{6a^2}{b^3-5b^2}$

Разложим числители и знаменатели на множители:

$5b-b^2 = b(5-b) = -b(b-5)$

$b^3-5b^2 = b^2(b-5)$

Подставим разложенные выражения в исходное:

$\frac{-b(b-5)}{3a} \cdot \frac{6a^2}{b^2(b-5)}$

Сократим общие множители $b$, $(b-5)$, $3$ и $a$:

$\frac{-1}{1} \cdot \frac{2a}{b} = -\frac{2a}{b}$

Ответ: $-\frac{2a}{b}$.

6) $\frac{6c^3}{9-a^2} \cdot \frac{a^3-6a+9}{4a^2c}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй. $9-a^2=(3-a)(3+a)$. Для многочлена $a^3-6a+9$ подбором находим корень $a=-3$. Делением в столбик получаем: $a^3-6a+9 = (a+3)(a^2-3a+3)$.

$\frac{6c^3}{(3-a)(3+a)} \cdot \frac{(a+3)(a^2-3a+3)}{4a^2c}$

Сокращаем общие множители $(a+3)$, $c$, и числовые коэффициенты 6 и 4:

$\frac{3c^2}{3-a} \cdot \frac{a^2-3a+3}{2a^2} = \frac{3c^2(a^2-3a+3)}{2a^2(3-a)}$

Ответ: $\frac{3c^2(a^2-3a+3)}{2a^2(3-a)}$.

7) $\frac{a^3b}{3a-6b} : \frac{a^2b^2-a^2b}{ac-2bc}$

Заменяем деление умножением на обратную дробь:

$\frac{a^3b}{3a-6b} \cdot \frac{ac-2bc}{a^2b^2-a^2b}$

Разложим числители и знаменатели на множители:

$\frac{a^3b}{3(a-2b)} \cdot \frac{c(a-2b)}{a^2b(b-1)}$

Сокращаем общие множители $a^2b$ и $(a-2b)$:

$\frac{a}{3} \cdot \frac{c}{b-1} = \frac{ac}{3(b-1)}$

Ответ: $\frac{ac}{3(b-1)}$.

8) $\frac{10-15b}{(a-b)^2} : \frac{9b^2-4}{3b-3a}$

Заменяем деление умножением на обратную дробь и раскладываем на множители:

$\frac{5(2-3b)}{(a-b)^2} \cdot \frac{3(b-a)}{(3b-2)(3b+2)}$

Используем тождества $2-3b = -(3b-2)$ и $b-a = -(a-b)$:

$\frac{-5(3b-2)}{(a-b)^2} \cdot \frac{-3(a-b)}{(3b-2)(3b+2)}$

Сокращаем общие множители $(3b-2)$ и $(a-b)$:

$\frac{-5}{a-b} \cdot \frac{-3}{3b+2} = \frac{15}{(a-b)(3b+2)}$

Ответ: $\frac{15}{(a-b)(3b+2)}$.

9) $(\frac{a}{7a-4} - \frac{1}{a+3}) \cdot \frac{12-21a}{(2-a)^2}$

Сначала выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(7a-4)(a+3)$:

$\frac{a(a+3) - 1(7a-4)}{(7a-4)(a+3)} = \frac{a^2+3a-7a+4}{(7a-4)(a+3)} = \frac{a^2-4a+4}{(7a-4)(a+3)} = \frac{(a-2)^2}{(7a-4)(a+3)}$

Теперь выполним умножение. Разложим множители второй дроби: $12-21a = -3(7a-4)$ и $(2-a)^2 = (a-2)^2$.

$\frac{(a-2)^2}{(7a-4)(a+3)} \cdot \frac{-3(7a-4)}{(a-2)^2}$

Сокращаем общие множители $(a-2)^2$ и $(7a-4)$:

$\frac{1}{a+3} \cdot (-3) = -\frac{3}{a+3}$

Ответ: $-\frac{3}{a+3}$.

10) $(\frac{x}{x-2} - \frac{x}{x+2} - \frac{x^2+4}{4-x^2}) : \frac{2x+x^2}{(2-x)^2}$

Сначала выполним действия в скобках. Заметим, что $4-x^2=-(x^2-4)=-(x-2)(x+2)$.

$\frac{x}{x-2} - \frac{x}{x+2} + \frac{x^2+4}{x^2-4}$

Приведем к общему знаменателю $(x-2)(x+2)$:

$\frac{x(x+2) - x(x-2) + (x^2+4)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x^2+2x - x^2+2x + x^2+4}{(x-2)(x+2)} = \frac{x^2+4x+4}{(x-2)(x+2)}$

Числитель является полным квадратом: $\frac{(x+2)^2}{(x-2)(x+2)} = \frac{x+2}{x-2}$.

Теперь выполним деление:

$\frac{x+2}{x-2} : \frac{x(2+x)}{(2-x)^2} = \frac{x+2}{x-2} \cdot \frac{(2-x)^2}{x(x+2)}$

Учитывая, что $(2-x)^2 = (x-2)^2$, сокращаем $(x+2)$ и $(x-2)$:

$\frac{1}{1} \cdot \frac{x-2}{x} = \frac{x-2}{x}$

Ответ: $\frac{x-2}{x}$.