Номер 14, страница 10 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

14. Представить в виде степени:

1) $ \frac{a^2 \cdot a^{-5}}{a^3}; $

2) $ \frac{b^{-4} \cdot b^8}{b^6}; $

3) $ a^{-6}b^3; $

4) $ c^{-5}d^{-10}. $

1)

Для того чтобы представить выражение $\frac{a^2 \cdot a^{-5}}{a^3}$ в виде степени, воспользуемся свойствами степеней.
Сначала упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$a^2 \cdot a^{-5} = a^{2 + (-5)} = a^{-3}$.
Теперь выражение имеет вид $\frac{a^{-3}}{a^3}$.
Далее, используем правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:
$\frac{a^{-3}}{a^3} = a^{-3 - 3} = a^{-6}$.
Ответ: $a^{-6}$.

2)

Чтобы представить выражение $\frac{b^{-4} \cdot b^8}{b^6}$ в виде степени, сначала упростим числитель по правилу умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$b^{-4} \cdot b^8 = b^{-4 + 8} = b^4$.
Затем выполним деление, используя правило $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:
$\frac{b^4}{b^6} = b^{4 - 6} = b^{-2}$.
Ответ: $b^{-2}$.

3)

В выражении $a^{-6}b^3$ основания степеней различны. Чтобы представить его в виде одной степени, можно воспользоваться свойством степени произведения $(xy)^n = x^n y^n$, если удастся привести показатели к общему значению. Показатели $-6$ и $3$ имеют общий делитель $3$.
Представим показатель $-6$ как $-2 \cdot 3$.
Тогда $a^{-6}b^3 = a^{-2 \cdot 3}b^3 = (a^{-2})^3 b^3$.
Теперь, применяя свойство степени произведения в обратном порядке, получаем:
$(a^{-2})^3 b^3 = (a^{-2}b)^3$.
Ответ: $(a^{-2}b)^3$.

4)

Рассмотрим выражение $c^{-5}d^{-10}$. Основания $c$ и $d$ различны, поэтому ищем общий множитель у показателей $-5$ и $-10$. Таким множителем является $-5$.
Представим показатель $-10$ как $2 \cdot (-5)$.
Выражение примет вид: $c^{-5}d^{10} = c^{-5}d^{2 \cdot (-5)} = c^{-5}(d^2)^{-5}$.
Используя свойство $(xy)^n = x^n y^n$ в обратном порядке, объединяем степени:
$c^{-5}(d^2)^{-5} = (c \cdot d^2)^{-5} = (cd^2)^{-5}$.
Ответ: $(cd^2)^{-5}$.