Номер 13, страница 10 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

13. Вычислить:

1) $2^3 - 2^0 - 2^{-3} + (-2)^3 + (-2)^{-3}$; 2) $\frac{3^{-3} \cdot 3^5}{3^3} + (3^{-1})^2 - \left(\frac{3^2}{3^3}\right)^2$.

1) $2^3 - 2^0 - 2^{-3} + (-2)^3 + (-2)^{-3}$

Для решения данного выражения вычислим значение каждого слагаемого по отдельности, используя свойства степеней:
$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
$2^0 = 1$ (любое ненулевое число в нулевой степени равно 1)
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
$(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$
$(-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}$

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:
$8 - 1 - \frac{1}{8} + (-8) + (-\frac{1}{8}) = 8 - 1 - \frac{1}{8} - 8 - \frac{1}{8}$

Сгруппируем слагаемые для удобства вычислений:
$(8 - 8) - 1 - (\frac{1}{8} + \frac{1}{8}) = 0 - 1 - \frac{2}{8} = -1 - \frac{1}{4}$

Приведем к общему знаменателю и выполним вычитание:
$-1 - \frac{1}{4} = -\frac{4}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{5}{4}$
Также можно представить ответ в виде десятичной дроби: $-\frac{5}{4} = -1.25$

Ответ: $-\frac{5}{4}$

2) $\frac{3^{-3} \cdot 3^5}{3^3} + (3^{-1})^2 - (\frac{3^2}{3^3})^2$

Для решения этого выражения упростим каждую его часть по отдельности, применяя свойства степеней.

Первое слагаемое: $\frac{3^{-3} \cdot 3^5}{3^3}$
Сначала упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$3^{-3} \cdot 3^5 = 3^{-3+5} = 3^2$
Теперь разделим на знаменатель, используя правило деления степеней ($ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $):
$\frac{3^2}{3^3} = 3^{2-3} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$

Второе слагаемое: $(3^{-1})^2$
Используем правило возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):
$(3^{-1})^2 = 3^{-1 \cdot 2} = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

Третье слагаемое (вычитаемое): $(\frac{3^2}{3^3})^2$
Сначала упростим выражение в скобках:
$\frac{3^2}{3^3} = 3^{2-3} = 3^{-1}$
Теперь возведем результат в квадрат:
$(3^{-1})^2 = 3^{-1 \cdot 2} = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:
$\frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{9}$

Выполним сложение и вычитание:
$\frac{1}{3} + 0 = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$