Номер 11, страница 10 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

11. Сократить дробь:

1) $\frac{12a^2b^3c^5}{27a^4b^3c^2}$;

2) $\frac{a^7(a-b)^2}{a^4(a-b)^3}$;

3) $\frac{2a+6}{a^2-9}$;

4) $\frac{(m-2n)^2}{10n-5m}$;

5) $\frac{a^2-4}{a^3+8}$;

6) $\frac{8a^3-27}{9-4a^2}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{12a^2b^3c^5}{27a^4b^3c^2}$, нужно сократить числовые коэффициенты и степени каждой переменной по отдельности.

Сначала сократим коэффициенты: $\frac{12}{27}$. Наибольший общий делитель чисел 12 и 27 равен 3. Разделим числитель и знаменатель на 3: $\frac{12 \div 3}{27 \div 3} = \frac{4}{9}$.

Теперь сократим переменные, используя свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

Для переменной $a$: $\frac{a^2}{a^4} = a^{2-4} = a^{-2} = \frac{1}{a^2}$.

Для переменной $b$: $\frac{b^3}{b^3} = b^{3-3} = b^0 = 1$.

Для переменной $c$: $\frac{c^5}{c^2} = c^{5-2} = c^3$.

Собираем все вместе: $\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{a^2} \cdot 1 \cdot c^3 = \frac{4c^3}{9a^2}$.

Ответ: $\frac{4c^3}{9a^2}$.

2) Чтобы сократить дробь $\frac{a^7(a-b)^2}{a^4(a-b)^3}$, воспользуемся свойством степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$ для каждого множителя.

Сократим степени для $a$: $\frac{a^7}{a^4} = a^{7-4} = a^3$.

Сократим степени для выражения $(a-b)$: $\frac{(a-b)^2}{(a-b)^3} = (a-b)^{2-3} = (a-b)^{-1} = \frac{1}{a-b}$.

Объединив результаты, получаем: $a^3 \cdot \frac{1}{a-b} = \frac{a^3}{a-b}$.

Ответ: $\frac{a^3}{a-b}$.

3) Для сокращения дроби $\frac{2a+6}{a^2-9}$ необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $2a+6$. Вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(a+3)$.

Знаменатель: $a^2-9$. Это разность квадратов $a^2-3^2$, которая раскладывается по формуле $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$: $(a-3)(a+3)$.

Подставим разложения в дробь: $\frac{2(a+3)}{(a-3)(a+3)}$.

Сокращаем общий множитель $(a+3)$ (при условии, что $a \neq -3$): $\frac{2}{a-3}$.

Ответ: $\frac{2}{a-3}$.

4) Рассмотрим дробь $\frac{(m-2n)^2}{10n-5m}$.

Числитель $(m-2n)^2$ можно записать как $(m-2n)(m-2n)$.

Разложим на множители знаменатель $10n-5m$. Вынесем общий множитель 5 за скобки: $5(2n-m)$.

Заметим, что выражения $(m-2n)$ и $(2n-m)$ являются противоположными, то есть $2n-m = -(m-2n)$. Тогда знаменатель можно записать как $-5(m-2n)$.

Дробь принимает вид: $\frac{(m-2n)^2}{-5(m-2n)}$.

Сократим общий множитель $(m-2n)$ (при условии, что $m \neq 2n$): $\frac{m-2n}{-5} = -\frac{m-2n}{5}$.

Ответ: $-\frac{m-2n}{5}$.

5) Для сокращения дроби $\frac{a^2-4}{a^3+8}$ разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения.

Числитель $a^2-4$ — это разность квадратов $a^2-2^2$. Используем формулу $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$: $(a-2)(a+2)$.

Знаменатель $a^3+8$ — это сумма кубов $a^3+2^3$. Используем формулу $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$: $(a+2)(a^2-a \cdot 2+2^2) = (a+2)(a^2-2a+4)$.

Подставляем разложения в дробь: $\frac{(a-2)(a+2)}{(a+2)(a^2-2a+4)}$.

Сокращаем общий множитель $(a+2)$ (при условии, что $a \neq -2$): $\frac{a-2}{a^2-2a+4}$.

Ответ: $\frac{a-2}{a^2-2a+4}$.

6) Чтобы сократить дробь $\frac{8a^3-27}{9-4a^2}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель $8a^3-27$ — это разность кубов $(2a)^3-3^3$. Используем формулу $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$: $(2a-3)((2a)^2+2a \cdot 3+3^2) = (2a-3)(4a^2+6a+9)$.

Знаменатель $9-4a^2$ — это разность квадратов $3^2-(2a)^2$. Используем формулу $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$: $(3-2a)(3+2a)$.

Перепишем дробь с разложенными множителями: $\frac{(2a-3)(4a^2+6a+9)}{(3-2a)(3+2a)}$.

Заметим, что $3-2a = -(2a-3)$. Подставим это в знаменатель: $\frac{(2a-3)(4a^2+6a+9)}{-(2a-3)(3+2a)}$.

Сокращаем общий множитель $(2a-3)$ (при условии, что $a \neq \frac{3}{2}$): $\frac{4a^2+6a+9}{-(3+2a)} = -\frac{4a^2+6a+9}{2a+3}$.

Ответ: $-\frac{4a^2+6a+9}{2a+3}$.