Номер 4, страница 9 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

4. Записать в стандартном виде многочлен:

1) $5a^3b - 3ab^2 + 4ab^2 - 7a^3b$;

2) $2xy^2x^3 - 3xyxy + 8x^2y^2x^2 - 14$;

3) $1\frac{1}{3}ab(-6a^2b) - 0,7a^3 \cdot 20b - b^2 \cdot 7a^3$.

1) Чтобы записать многочлен $5a^3b - 3ab^2 + 4ab^2 - 7a^3b$ в стандартном виде, необходимо найти и сложить подобные члены. Подобные члены — это одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть.
В данном многочлене подобными являются две пары членов: ($5a^3b$ и $-7a^3b$) и ($-3ab^2$ и $4ab^2$).
Сгруппируем и сложим их:
$(5a^3b - 7a^3b) + (-3ab^2 + 4ab^2) = (5-7)a^3b + (-3+4)ab^2 = -2a^3b + 1 \cdot ab^2 = -2a^3b + ab^2$.
Полученные члены многочлена расположены в порядке убывания их степеней. Степень члена $-2a^3b$ равна $3+1=4$. Степень члена $ab^2$ равна $1+2=3$.
Ответ: $-2a^3b + ab^2$.

2) Сначала приведём каждый член многочлена $2xy^2x^3 - 3xyxy + 8x^2y^2x^2 - 14$ к стандартному виду, перемножив переменные.
$2xy^2x^3 = 2 \cdot (x \cdot x^3) \cdot y^2 = 2x^{1+3}y^2 = 2x^4y^2$
$-3xyxy = -3 \cdot (x \cdot x) \cdot (y \cdot y) = -3x^{1+1}y^{1+1} = -3x^2y^2$
$8x^2y^2x^2 = 8 \cdot (x^2 \cdot x^2) \cdot y^2 = 8x^{2+2}y^2 = 8x^4y^2$
Член $-14$ уже находится в стандартном виде.
После преобразования многочлен имеет вид: $2x^4y^2 - 3x^2y^2 + 8x^4y^2 - 14$.
Теперь приведём подобные члены. Подобными являются $2x^4y^2$ и $8x^4y^2$.
$(2x^4y^2 + 8x^4y^2) - 3x^2y^2 - 14 = (2+8)x^4y^2 - 3x^2y^2 - 14 = 10x^4y^2 - 3x^2y^2 - 14$.
Члены уже расположены в порядке убывания степеней (степень $10x^4y^2$ равна $4+2=6$, степень $-3x^2y^2$ равна $2+2=4$, степень $-14$ равна $0$).
Ответ: $10x^4y^2 - 3x^2y^2 - 14$.

3) Для приведения выражения $1\frac{1}{3}ab(-6a^2b) - 0,7a^3 \cdot 20b - b^2 \cdot 7a^3$ к стандартному виду многочлена, сначала упростим каждый из трех его членов.
Первый член: $1\frac{1}{3}ab(-6a^2b) = \frac{4}{3}ab \cdot (-6a^2b) = (\frac{4}{3} \cdot (-6)) \cdot (a \cdot a^2) \cdot (b \cdot b) = -8a^3b^2$.
Второй член: $-0,7a^3 \cdot 20b = (-0,7 \cdot 20) \cdot a^3b = -14a^3b$.
Третий член: $-b^2 \cdot 7a^3 = -7a^3b^2$.
В результате получаем многочлен: $-8a^3b^2 - 14a^3b - 7a^3b^2$.
Теперь приведём подобные члены $-8a^3b^2$ и $-7a^3b^2$:
$(-8a^3b^2 - 7a^3b^2) - 14a^3b = (-8-7)a^3b^2 - 14a^3b = -15a^3b^2 - 14a^3b$.
Расположим члены в порядке убывания степеней. Степень члена $-15a^3b^2$ равна $3+2=5$. Степень члена $-14a^3b$ равна $3+1=4$. Порядок уже правильный.
Ответ: $-15a^3b^2 - 14a^3b$.