Номер 8, страница 10 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

8. Возвести в степень, пользуясь формулами сокращённого умножения:

1) $ (1\frac{1}{3} + 3n)^2; $

2) $ (0.4a^2 - 5b)^2; $

3) $ (-3p + 10q)^2; $

4) $ (-6k - 0.5n)^2; $

5) $ (a^2 + 4)^3; $

6) $ (0.2 - b)^3; $

7) $ (-3 - x)^3; $

8) $ (-\frac{1}{3} + a)^3; $

9) $ ((2 - x)(2 + x))^2. $

1)Для возведения в квадрат выражения $(1\frac{1}{3} + 3n)^2$ используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Сначала представим смешанную дробь $1\frac{1}{3}$ в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$. В данном случае $a = \frac{4}{3}$ и $b = 3n$.
Подставим значения в формулу:
$(\frac{4}{3} + 3n)^2 = (\frac{4}{3})^2 + 2 \cdot \frac{4}{3} \cdot 3n + (3n)^2 = \frac{16}{9} + \frac{2 \cdot 4 \cdot 3}{3}n + 9n^2 = \frac{16}{9} + 8n + 9n^2$.
Приведем к стандартному виду многочлена: $9n^2 + 8n + \frac{16}{9}$. Можно также представить $\frac{16}{9}$ как $1\frac{7}{9}$.
Ответ: $9n^2 + 8n + \frac{16}{9}$.

2)Для выражения $(0,4a^2 - 5b)^2$ используем формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Здесь $a = 0,4a^2$ и $b = 5b$.
Подставим значения в формулу:
$(0,4a^2 - 5b)^2 = (0,4a^2)^2 - 2 \cdot 0,4a^2 \cdot 5b + (5b)^2 = 0,16a^4 - 4a^2b + 25b^2$.
Ответ: $0,16a^4 - 4a^2b + 25b^2$.

3)Для выражения $(-3p + 10q)^2$ можно поменять слагаемые местами, чтобы было удобнее: $(10q - 3p)^2$. Теперь используем формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, где $a = 10q$ и $b = 3p$.
Подставим значения в формулу:
$(10q - 3p)^2 = (10q)^2 - 2 \cdot 10q \cdot 3p + (3p)^2 = 100q^2 - 60pq + 9p^2$.
Приведем к стандартному виду: $9p^2 - 60pq + 100q^2$.
Ответ: $9p^2 - 60pq + 100q^2$.

4)В выражении $(-6k - 0,5n)^2$ можно вынести знак минус за скобки: $(-(6k + 0,5n))^2$. Так как квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного, получаем $(6k + 0,5n)^2$. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, где $a = 6k$ и $b = 0,5n$.
Подставим значения в формулу:
$(6k + 0,5n)^2 = (6k)^2 + 2 \cdot 6k \cdot 0,5n + (0,5n)^2 = 36k^2 + 6kn + 0,25n^2$.
Ответ: $36k^2 + 6kn + 0,25n^2$.

5)Для возведения в куб выражения $(a^2 + 4)^3$ используем формулу куба суммы $(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$. Здесь $x = a^2$ и $y = 4$.
Подставим значения в формулу:
$(a^2 + 4)^3 = (a^2)^3 + 3 \cdot (a^2)^2 \cdot 4 + 3 \cdot a^2 \cdot 4^2 + 4^3 = a^6 + 3 \cdot a^4 \cdot 4 + 3 \cdot a^2 \cdot 16 + 64 = a^6 + 12a^4 + 48a^2 + 64$.
Ответ: $a^6 + 12a^4 + 48a^2 + 64$.

6)Для выражения $(0,2 - b)^3$ используем формулу куба разности $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$. Здесь $a = 0,2$ и $b = b$.
Подставим значения в формулу:
$(0,2 - b)^3 = (0,2)^3 - 3 \cdot (0,2)^2 \cdot b + 3 \cdot 0,2 \cdot b^2 - b^3 = 0,008 - 3 \cdot 0,04 \cdot b + 0,6b^2 - b^3 = 0,008 - 0,12b + 0,6b^2 - b^3$.
Приведем к стандартному виду: $-b^3 + 0,6b^2 - 0,12b + 0,008$.
Ответ: $-b^3 + 0,6b^2 - 0,12b + 0,008$.

7)В выражении $(-3 - x)^3$ вынесем знак минус за скобки: $(-(3 + x))^3 = (-1)^3 \cdot (3 + x)^3 = -(3 + x)^3$. Теперь используем формулу куба суммы $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ для $(3+x)^3$, где $a = 3$ и $b = x$.
$(3+x)^3 = 3^3 + 3 \cdot 3^2 \cdot x + 3 \cdot 3 \cdot x^2 + x^3 = 27 + 27x + 9x^2 + x^3$.
Не забудем про знак минус перед скобкой:
$-(27 + 27x + 9x^2 + x^3) = -27 - 27x - 9x^2 - x^3$.
Приведем к стандартному виду: $-x^3 - 9x^2 - 27x - 27$.
Ответ: $-x^3 - 9x^2 - 27x - 27$.

8)Выражение $(-\frac{1}{3} + a)^3$ можно переписать как $(a - \frac{1}{3})^3$. Используем формулу куба разности $(x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$, где $x = a$ и $y = \frac{1}{3}$.
Подставим значения в формулу:
$(a - \frac{1}{3})^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot a \cdot (\frac{1}{3})^2 - (\frac{1}{3})^3 = a^3 - a^2 + 3 \cdot a \cdot \frac{1}{9} - \frac{1}{27} = a^3 - a^2 + \frac{1}{3}a - \frac{1}{27}$.
Ответ: $a^3 - a^2 + \frac{1}{3}a - \frac{1}{27}$.

9)В выражении $((2 - x)(2 + x))^2$ сначала упростим внутреннюю часть, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
$(2 - x)(2 + x) = 2^2 - x^2 = 4 - x^2$.
Теперь нужно возвести результат в квадрат: $(4 - x^2)^2$. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, где $a = 4$ и $b = x^2$.
$(4 - x^2)^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot x^2 + (x^2)^2 = 16 - 8x^2 + x^4$.
Приведем к стандартному виду: $x^4 - 8x^2 + 16$.
Ответ: $x^4 - 8x^2 + 16$.