Номер 3, страница 9 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

3. Выполнить действия:

1) $(-\frac{2}{3}a^2b^6c)^3 \cdot 9a^5bc^2;$

2) $12x^2yz^7 (0,5x^3y^8)^2;$

3) $(36m^8n^2k) : (12m^2n);$

4) $(-\frac{5}{9}a^9b^8c^7) : (5a^3b^3c).$

Для того чтобы выполнить действия в выражении $(-\frac{2}{3}a^2b^6c)^3 \cdot 9a^5bc^2$, необходимо сначала возвести первый одночлен в третью степень.

При возведении одночлена в степень нужно каждый его множитель возвести в эту степень: $(xyz)^n = x^n y^n z^n$. При возведении степени в степень их показатели перемножаются: $(x^m)^n = x^{mn}$.

$(-\frac{2}{3}a^2b^6c)^3 = (-\frac{2}{3})^3 \cdot (a^2)^3 \cdot (b^6)^3 \cdot c^3 = -\frac{8}{27} \cdot a^{2 \cdot 3} \cdot b^{6 \cdot 3} \cdot c^3 = -\frac{8}{27}a^6b^{18}c^3$.

Теперь умножим полученный результат на второй одночлен $9a^5bc^2$:

$(-\frac{8}{27}a^6b^{18}c^3) \cdot (9a^5bc^2)$.

Чтобы перемножить одночлены, нужно перемножить их коэффициенты и сложить показатели степеней с одинаковыми основаниями ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):

$(-\frac{8}{27} \cdot 9) \cdot (a^6 \cdot a^5) \cdot (b^{18} \cdot b^1) \cdot (c^3 \cdot c^2) = -\frac{72}{27} \cdot a^{6+5} \cdot b^{18+1} \cdot c^{3+2}$.

Сократим дробь $\frac{72}{27}$ на 9, получим $\frac{8}{3}$.

Итоговое выражение: $-\frac{8}{3}a^{11}b^{19}c^5$.

Ответ: $-\frac{8}{3}a^{11}b^{19}c^5$.

Рассмотрим выражение $12x^2yz^7(0,5x^3y^8)^2$.

Сначала возведем в квадрат одночлен в скобках:

$(0,5x^3y^8)^2 = (0,5)^2 \cdot (x^3)^2 \cdot (y^8)^2 = 0,25 \cdot x^{3 \cdot 2} \cdot y^{8 \cdot 2} = 0,25x^6y^{16}$.

Теперь умножим результат на первый одночлен $12x^2yz^7$:

$12x^2yz^7 \cdot 0,25x^6y^{16}$.

Перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:

$(12 \cdot 0,25) \cdot (x^2 \cdot x^6) \cdot (y^1 \cdot y^{16}) \cdot z^7 = 3 \cdot x^{2+6} \cdot y^{1+16} \cdot z^7 = 3x^8y^{17}z^7$.

Ответ: $3x^8y^{17}z^7$.

Необходимо выполнить деление одночленов: $(36m^8n^2k) : (12m^2n)$.

Для этого представим деление в виде дроби:

$\frac{36m^8n^2k}{12m^2n}$.

Теперь разделим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями. При делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели вычитаются: $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.

$\frac{36}{12} \cdot \frac{m^8}{m^2} \cdot \frac{n^2}{n^1} \cdot k = 3 \cdot m^{8-2} \cdot n^{2-1} \cdot k = 3m^6nk$.

Ответ: $3m^6nk$.

Выполним деление: $(-\frac{5}{9}a^9b^8c^7) : (5a^3b^3c)$.

Запишем выражение в виде дроби:

$\frac{-\frac{5}{9}a^9b^8c^7}{5a^3b^3c}$.

Разделим отдельно числовые коэффициенты и переменные:

Деление коэффициентов: $(-\frac{5}{9}) : 5 = -\frac{5}{9 \cdot 5} = -\frac{1}{9}$.

Деление переменных: $\frac{a^9b^8c^7}{a^3b^3c^1} = a^{9-3}b^{8-3}c^{7-1} = a^6b^5c^6$.

Объединим полученные результаты:

$-\frac{1}{9}a^6b^5c^6$.

Ответ: $-\frac{1}{9}a^6b^5c^6$.