Страница 9 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Найти числовое значение выражения, предварительно упростив его:

1) $5a - (2b - 3a) - b$ при $a = 0,8, b = -1,2;$

2) $(3x - 5y) - (-x + 2y - 3)$ при $x = -\frac{3}{8}, y = \frac{1}{14}.$

1) Сначала упростим данное выражение $5a - (2b - 3a) - b$.

Для этого раскроем скобки. Так как перед скобкой стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:

$5a - (2b - 3a) - b = 5a - 2b + 3a - b$

Теперь приведем подобные слагаемые. Сгруппируем слагаемые с переменной $a$ и слагаемые с переменной $b$:

$(5a + 3a) + (-2b - b) = 8a - 3b$

Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него числовые значения $a = 0,8$ и $b = -1,2$:

$8a - 3b = 8 \cdot (0,8) - 3 \cdot (-1,2)$

Выполним вычисления:

$8 \cdot 0,8 = 6,4$

$-3 \cdot (-1,2) = 3,6$

$6,4 + 3,6 = 10$

Ответ: 10

2) Упростим выражение $(3x - 5y) - (-x + 2y - 3)$.

Раскроем скобки. Перед первыми скобками нет знака, поэтому их можно просто убрать. Перед вторыми скобками стоит знак минус, поэтому знаки всех слагаемых внутри них меняются на противоположные:

$(3x - 5y) - (-x + 2y - 3) = 3x - 5y + x - 2y + 3$

Приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:

$(3x + x) + (-5y - 2y) + 3 = 4x - 7y + 3$

Теперь подставим в упрощенное выражение числовые значения $x = -\frac{3}{8}$ и $y = \frac{1}{14}$:

$4x - 7y + 3 = 4 \cdot (-\frac{3}{8}) - 7 \cdot (\frac{1}{14}) + 3$

Выполним вычисления по действиям:

$4 \cdot (-\frac{3}{8}) = -\frac{4 \cdot 3}{8} = -\frac{12}{8} = -\frac{3}{2}$

$-7 \cdot (\frac{1}{14}) = -\frac{7 \cdot 1}{14} = -\frac{7}{14} = -\frac{1}{2}$

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$-\frac{3}{2} - \frac{1}{2} + 3 = -\frac{3+1}{2} + 3 = -\frac{4}{2} + 3 = -2 + 3 = 1$

Ответ: 1

2. Найти значение выражения:

1) $\frac{a^{21} \cdot a^{13}}{a^{31}}$ при $a = 1,6$; $a = -0,11$;

2) $\frac{n^{48}}{n^{19} \cdot n^{26}}$ при $n = 0,3$; $n = -0,4$.

1) Сначала упростим данное выражение, используя свойства степеней. Выражение: $\frac{a^{21} \cdot a^{13}}{a^{31}}$.

Для числителя применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$a^{21} \cdot a^{13} = a^{21+13} = a^{34}$

Теперь выражение имеет вид $\frac{a^{34}}{a^{31}}$.

Далее применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$\frac{a^{34}}{a^{31}} = a^{34-31} = a^3$

Теперь, когда выражение упрощено до $a^3$, мы можем подставить в него заданные значения $a$.

а) при $a = 1.6$:

$(1.6)^3 = 1.6 \cdot 1.6 \cdot 1.6 = 2.56 \cdot 1.6 = 4.096$

б) при $a = -0.11$:

$(-0.11)^3 = (-0.11) \cdot (-0.11) \cdot (-0.11) = 0.0121 \cdot (-0.11) = -0.001331$

Ответ: при $a = 1.6$ значение выражения равно $4.096$; при $a = -0.11$ значение выражения равно $-0.001331$.

2) Сначала упростим данное выражение, используя свойства степеней. Выражение: $\frac{n^{48}}{n^{19} \cdot n^{26}}$.

Для знаменателя применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$n^{19} \cdot n^{26} = n^{19+26} = n^{45}$

Теперь выражение имеет вид $\frac{n^{48}}{n^{45}}$.

Далее применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$\frac{n^{48}}{n^{45}} = n^{48-45} = n^3$

Теперь, когда выражение упрощено до $n^3$, мы можем подставить в него заданные значения $n$.

а) при $n = 0.3$:

$(0.3)^3 = 0.3 \cdot 0.3 \cdot 0.3 = 0.09 \cdot 0.3 = 0.027$

б) при $n = -0.4$:

$(-0.4)^3 = (-0.4) \cdot (-0.4) \cdot (-0.4) = 0.16 \cdot (-0.4) = -0.064$

Ответ: при $n = 0.3$ значение выражения равно $0.027$; при $n = -0.4$ значение выражения равно $-0.064$.

3. Выполнить действия:

1) $(-\frac{2}{3}a^2b^6c)^3 \cdot 9a^5bc^2;$

2) $12x^2yz^7 (0,5x^3y^8)^2;$

3) $(36m^8n^2k) : (12m^2n);$

4) $(-\frac{5}{9}a^9b^8c^7) : (5a^3b^3c).$

Для того чтобы выполнить действия в выражении $(-\frac{2}{3}a^2b^6c)^3 \cdot 9a^5bc^2$, необходимо сначала возвести первый одночлен в третью степень.

При возведении одночлена в степень нужно каждый его множитель возвести в эту степень: $(xyz)^n = x^n y^n z^n$. При возведении степени в степень их показатели перемножаются: $(x^m)^n = x^{mn}$.

$(-\frac{2}{3}a^2b^6c)^3 = (-\frac{2}{3})^3 \cdot (a^2)^3 \cdot (b^6)^3 \cdot c^3 = -\frac{8}{27} \cdot a^{2 \cdot 3} \cdot b^{6 \cdot 3} \cdot c^3 = -\frac{8}{27}a^6b^{18}c^3$.

Теперь умножим полученный результат на второй одночлен $9a^5bc^2$:

$(-\frac{8}{27}a^6b^{18}c^3) \cdot (9a^5bc^2)$.

Чтобы перемножить одночлены, нужно перемножить их коэффициенты и сложить показатели степеней с одинаковыми основаниями ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):

$(-\frac{8}{27} \cdot 9) \cdot (a^6 \cdot a^5) \cdot (b^{18} \cdot b^1) \cdot (c^3 \cdot c^2) = -\frac{72}{27} \cdot a^{6+5} \cdot b^{18+1} \cdot c^{3+2}$.

Сократим дробь $\frac{72}{27}$ на 9, получим $\frac{8}{3}$.

Итоговое выражение: $-\frac{8}{3}a^{11}b^{19}c^5$.

Ответ: $-\frac{8}{3}a^{11}b^{19}c^5$.

Рассмотрим выражение $12x^2yz^7(0,5x^3y^8)^2$.

Сначала возведем в квадрат одночлен в скобках:

$(0,5x^3y^8)^2 = (0,5)^2 \cdot (x^3)^2 \cdot (y^8)^2 = 0,25 \cdot x^{3 \cdot 2} \cdot y^{8 \cdot 2} = 0,25x^6y^{16}$.

Теперь умножим результат на первый одночлен $12x^2yz^7$:

$12x^2yz^7 \cdot 0,25x^6y^{16}$.

Перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:

$(12 \cdot 0,25) \cdot (x^2 \cdot x^6) \cdot (y^1 \cdot y^{16}) \cdot z^7 = 3 \cdot x^{2+6} \cdot y^{1+16} \cdot z^7 = 3x^8y^{17}z^7$.

Ответ: $3x^8y^{17}z^7$.

Необходимо выполнить деление одночленов: $(36m^8n^2k) : (12m^2n)$.

Для этого представим деление в виде дроби:

$\frac{36m^8n^2k}{12m^2n}$.

Теперь разделим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями. При делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели вычитаются: $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.

$\frac{36}{12} \cdot \frac{m^8}{m^2} \cdot \frac{n^2}{n^1} \cdot k = 3 \cdot m^{8-2} \cdot n^{2-1} \cdot k = 3m^6nk$.

Ответ: $3m^6nk$.

Выполним деление: $(-\frac{5}{9}a^9b^8c^7) : (5a^3b^3c)$.

Запишем выражение в виде дроби:

$\frac{-\frac{5}{9}a^9b^8c^7}{5a^3b^3c}$.

Разделим отдельно числовые коэффициенты и переменные:

Деление коэффициентов: $(-\frac{5}{9}) : 5 = -\frac{5}{9 \cdot 5} = -\frac{1}{9}$.

Деление переменных: $\frac{a^9b^8c^7}{a^3b^3c^1} = a^{9-3}b^{8-3}c^{7-1} = a^6b^5c^6$.

Объединим полученные результаты:

$-\frac{1}{9}a^6b^5c^6$.

Ответ: $-\frac{1}{9}a^6b^5c^6$.

4. Записать в стандартном виде многочлен:

1) $5a^3b - 3ab^2 + 4ab^2 - 7a^3b$;

2) $2xy^2x^3 - 3xyxy + 8x^2y^2x^2 - 14$;

3) $1\frac{1}{3}ab(-6a^2b) - 0,7a^3 \cdot 20b - b^2 \cdot 7a^3$.

1) Чтобы записать многочлен $5a^3b - 3ab^2 + 4ab^2 - 7a^3b$ в стандартном виде, необходимо найти и сложить подобные члены. Подобные члены — это одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть.
В данном многочлене подобными являются две пары членов: ($5a^3b$ и $-7a^3b$) и ($-3ab^2$ и $4ab^2$).
Сгруппируем и сложим их:
$(5a^3b - 7a^3b) + (-3ab^2 + 4ab^2) = (5-7)a^3b + (-3+4)ab^2 = -2a^3b + 1 \cdot ab^2 = -2a^3b + ab^2$.
Полученные члены многочлена расположены в порядке убывания их степеней. Степень члена $-2a^3b$ равна $3+1=4$. Степень члена $ab^2$ равна $1+2=3$.
Ответ: $-2a^3b + ab^2$.

2) Сначала приведём каждый член многочлена $2xy^2x^3 - 3xyxy + 8x^2y^2x^2 - 14$ к стандартному виду, перемножив переменные.
$2xy^2x^3 = 2 \cdot (x \cdot x^3) \cdot y^2 = 2x^{1+3}y^2 = 2x^4y^2$
$-3xyxy = -3 \cdot (x \cdot x) \cdot (y \cdot y) = -3x^{1+1}y^{1+1} = -3x^2y^2$
$8x^2y^2x^2 = 8 \cdot (x^2 \cdot x^2) \cdot y^2 = 8x^{2+2}y^2 = 8x^4y^2$
Член $-14$ уже находится в стандартном виде.
После преобразования многочлен имеет вид: $2x^4y^2 - 3x^2y^2 + 8x^4y^2 - 14$.
Теперь приведём подобные члены. Подобными являются $2x^4y^2$ и $8x^4y^2$.
$(2x^4y^2 + 8x^4y^2) - 3x^2y^2 - 14 = (2+8)x^4y^2 - 3x^2y^2 - 14 = 10x^4y^2 - 3x^2y^2 - 14$.
Члены уже расположены в порядке убывания степеней (степень $10x^4y^2$ равна $4+2=6$, степень $-3x^2y^2$ равна $2+2=4$, степень $-14$ равна $0$).
Ответ: $10x^4y^2 - 3x^2y^2 - 14$.

3) Для приведения выражения $1\frac{1}{3}ab(-6a^2b) - 0,7a^3 \cdot 20b - b^2 \cdot 7a^3$ к стандартному виду многочлена, сначала упростим каждый из трех его членов.
Первый член: $1\frac{1}{3}ab(-6a^2b) = \frac{4}{3}ab \cdot (-6a^2b) = (\frac{4}{3} \cdot (-6)) \cdot (a \cdot a^2) \cdot (b \cdot b) = -8a^3b^2$.
Второй член: $-0,7a^3 \cdot 20b = (-0,7 \cdot 20) \cdot a^3b = -14a^3b$.
Третий член: $-b^2 \cdot 7a^3 = -7a^3b^2$.
В результате получаем многочлен: $-8a^3b^2 - 14a^3b - 7a^3b^2$.
Теперь приведём подобные члены $-8a^3b^2$ и $-7a^3b^2$:
$(-8a^3b^2 - 7a^3b^2) - 14a^3b = (-8-7)a^3b^2 - 14a^3b = -15a^3b^2 - 14a^3b$.
Расположим члены в порядке убывания степеней. Степень члена $-15a^3b^2$ равна $3+2=5$. Степень члена $-14a^3b$ равна $3+1=4$. Порядок уже правильный.
Ответ: $-15a^3b^2 - 14a^3b$.

5. Найти произведение многочлена и одночлена:

1) $5n(0.2n - 2n^2 - \frac{1}{3}p);$

2) $(4x - 1\frac{1}{3}xy - 2y)(-1\frac{1}{2}x^2).$

1) Чтобы найти произведение многочлена $(0,2n - 2n^2 - \frac{1}{3}p)$ и одночлена $5n$, необходимо умножить одночлен на каждый член многочлена, используя распределительное свойство умножения, а затем сложить полученные результаты.

$5n(0,2n - 2n^2 - \frac{1}{3}p) = 5n \cdot 0,2n + 5n \cdot (-2n^2) + 5n \cdot (-\frac{1}{3}p)$

Выполним умножение для каждого слагаемого по отдельности:

1. Умножим $5n$ на $0,2n$:
$5n \cdot 0,2n = (5 \cdot 0,2) \cdot (n \cdot n) = 1 \cdot n^2 = n^2$.

2. Умножим $5n$ на $-2n^2$:
$5n \cdot (-2n^2) = (5 \cdot (-2)) \cdot (n \cdot n^2) = -10 \cdot n^{1+2} = -10n^3$.

3. Умножим $5n$ на $-\frac{1}{3}p$:
$5n \cdot (-\frac{1}{3}p) = (5 \cdot (-\frac{1}{3})) \cdot (n \cdot p) = -\frac{5}{3}np$.

Теперь сложим полученные одночлены. Для приведения многочлена к стандартному виду, расположим его члены в порядке убывания степени переменной $n$:

$n^2 - 10n^3 - \frac{5}{3}np = -10n^3 + n^2 - \frac{5}{3}np$.

Ответ: $-10n^3 + n^2 - \frac{5}{3}np$.

2) Чтобы найти произведение многочлена $(4x - 1\frac{1}{3}xy - 2y)$ и одночлена $(-1\frac{1}{2}x^2)$, умножим одночлен на каждый член многочлена. Для удобства вычислений сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные.

$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

$-1\frac{1}{2} = -\frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{3}{2}$

Исходное выражение примет вид: $(4x - \frac{4}{3}xy - 2y)(-\frac{3}{2}x^2)$.

Применим распределительное свойство умножения:

$(4x - \frac{4}{3}xy - 2y)(-\frac{3}{2}x^2) = 4x \cdot (-\frac{3}{2}x^2) + (-\frac{4}{3}xy) \cdot (-\frac{3}{2}x^2) + (-2y) \cdot (-\frac{3}{2}x^2)$

Выполним умножение для каждого слагаемого:

1. Умножим $4x$ на $(-\frac{3}{2}x^2)$:
$4x \cdot (-\frac{3}{2}x^2) = (4 \cdot (-\frac{3}{2})) \cdot (x \cdot x^2) = -\frac{12}{2}x^{1+2} = -6x^3$.

2. Умножим $-\frac{4}{3}xy$ на $(-\frac{3}{2}x^2)$:
$(-\frac{4}{3}xy) \cdot (-\frac{3}{2}x^2) = ((-\frac{4}{3}) \cdot (-\frac{3}{2})) \cdot (x \cdot x^2 \cdot y) = \frac{12}{6}x^{1+2}y = 2x^3y$.

3. Умножим $-2y$ на $(-\frac{3}{2}x^2)$:
$(-2y) \cdot (-\frac{3}{2}x^2) = ((-2) \cdot (-\frac{3}{2})) \cdot (x^2 \cdot y) = \frac{6}{2}x^2y = 3x^2y$.

Сложим полученные результаты:

$-6x^3 + 2x^3y + 3x^2y$.

Ответ: $-6x^3 + 2x^3y + 3x^2y$.

6. Разделить многочлен на одночлен:

1) $(8x^3 - 4x^2 + 6x) : (-2x);$

2) $(5ab^2 - 14a^2b^2 - 3a^3b) : (2ab).$

1) Чтобы разделить многочлен на одночлен, необходимо каждый член многочлена разделить на этот одночлен, а затем сложить полученные результаты. Выполним деление для выражения $(8x^3 - 4x^2 + 6x) : (-2x)$.

Представим деление в виде дроби и разделим ее на три отдельные дроби:

$\frac{8x^3 - 4x^2 + 6x}{-2x} = \frac{8x^3}{-2x} + \frac{-4x^2}{-2x} + \frac{6x}{-2x}$

Теперь вычислим значение каждой дроби по отдельности, используя правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

Первый член: $\frac{8x^3}{-2x} = -4x^{3-1} = -4x^2$

Второй член: $\frac{-4x^2}{-2x} = 2x^{2-1} = 2x$

Третий член: $\frac{6x}{-2x} = -3x^{1-1} = -3x^0 = -3 \cdot 1 = -3$

Сложим полученные одночлены, чтобы получить итоговый многочлен:

$-4x^2 + 2x - 3$

Ответ: $-4x^2 + 2x - 3$

2) Применим тот же метод для деления многочлена $(5ab^2 - 14a^2b^2 - 3a^3b)$ на одночлен $(2ab)$.

Представим операцию деления в виде дроби и разобьем ее на сумму дробей для каждого члена многочлена:

$\frac{5ab^2 - 14a^2b^2 - 3a^3b}{2ab} = \frac{5ab^2}{2ab} - \frac{14a^2b^2}{2ab} - \frac{3a^3b}{2ab}$

Вычислим значение каждой дроби по отдельности:

Первый член: $\frac{5ab^2}{2ab} = \frac{5}{2} \cdot a^{1-1} \cdot b^{2-1} = \frac{5}{2}a^0b^1 = \frac{5}{2}b$

Второй член: $-\frac{14a^2b^2}{2ab} = -7 \cdot a^{2-1} \cdot b^{2-1} = -7a^1b^1 = -7ab$

Третий член: $-\frac{3a^3b}{2ab} = -\frac{3}{2} \cdot a^{3-1} \cdot b^{1-1} = -\frac{3}{2}a^2b^0 = -\frac{3}{2}a^2$

Объединим полученные результаты:

$\frac{5}{2}b - 7ab - \frac{3}{2}a^2$

Ответ: $\frac{5}{2}b - 7ab - \frac{3}{2}a^2$