Страница 10 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

7. Умножить многочлен на многочлен:

1) $(2a - 0.3b)(3a + 5b - 1)$;

2) $(x - 3)(-x^2 - 2x + 3)$.

1) Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

$(2a - 0.3b)(3a + 5b - 1) = 2a \cdot (3a + 5b - 1) - 0.3b \cdot (3a + 5b - 1)$

Раскроем скобки, выполнив умножение:

$2a \cdot 3a + 2a \cdot 5b + 2a \cdot (-1) - 0.3b \cdot 3a - 0.3b \cdot 5b - 0.3b \cdot (-1) = 6a^2 + 10ab - 2a - 0.9ab - 1.5b^2 + 0.3b$

Теперь приведем подобные слагаемые. Подобными являются члены, содержащие $ab$:

$10ab - 0.9ab = 9.1ab$

Запишем итоговый многочлен, сгруппировав члены:

$6a^2 + 9.1ab - 1.5b^2 - 2a + 0.3b$

Ответ: $6a^2 + 9.1ab - 1.5b^2 - 2a + 0.3b$

2) Аналогично первому примеру, умножим каждый член многочлена $(x-3)$ на каждый член многочлена $(-x^2 - 2x + 3)$.

$(x - 3)(-x^2 - 2x + 3) = x \cdot (-x^2 - 2x + 3) - 3 \cdot (-x^2 - 2x + 3)$

Раскроем скобки:

$x \cdot (-x^2) + x \cdot (-2x) + x \cdot 3 - 3 \cdot (-x^2) - 3 \cdot (-2x) - 3 \cdot 3 = -x^3 - 2x^2 + 3x + 3x^2 + 6x - 9$

Приведем подобные слагаемые:

Для членов с $x^2$: $-2x^2 + 3x^2 = x^2$

Для членов с $x$: $3x + 6x = 9x$

Запишем итоговый многочлен, расположив члены по убыванию степеней переменной $x$:

$-x^3 + x^2 + 9x - 9$

Ответ: $-x^3 + x^2 + 9x - 9$

8. Возвести в степень, пользуясь формулами сокращённого умножения:

1) $ (1\frac{1}{3} + 3n)^2; $

2) $ (0.4a^2 - 5b)^2; $

3) $ (-3p + 10q)^2; $

4) $ (-6k - 0.5n)^2; $

5) $ (a^2 + 4)^3; $

6) $ (0.2 - b)^3; $

7) $ (-3 - x)^3; $

8) $ (-\frac{1}{3} + a)^3; $

9) $ ((2 - x)(2 + x))^2. $

1)Для возведения в квадрат выражения $(1\frac{1}{3} + 3n)^2$ используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Сначала представим смешанную дробь $1\frac{1}{3}$ в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$. В данном случае $a = \frac{4}{3}$ и $b = 3n$.
Подставим значения в формулу:
$(\frac{4}{3} + 3n)^2 = (\frac{4}{3})^2 + 2 \cdot \frac{4}{3} \cdot 3n + (3n)^2 = \frac{16}{9} + \frac{2 \cdot 4 \cdot 3}{3}n + 9n^2 = \frac{16}{9} + 8n + 9n^2$.
Приведем к стандартному виду многочлена: $9n^2 + 8n + \frac{16}{9}$. Можно также представить $\frac{16}{9}$ как $1\frac{7}{9}$.
Ответ: $9n^2 + 8n + \frac{16}{9}$.

2)Для выражения $(0,4a^2 - 5b)^2$ используем формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Здесь $a = 0,4a^2$ и $b = 5b$.
Подставим значения в формулу:
$(0,4a^2 - 5b)^2 = (0,4a^2)^2 - 2 \cdot 0,4a^2 \cdot 5b + (5b)^2 = 0,16a^4 - 4a^2b + 25b^2$.
Ответ: $0,16a^4 - 4a^2b + 25b^2$.

3)Для выражения $(-3p + 10q)^2$ можно поменять слагаемые местами, чтобы было удобнее: $(10q - 3p)^2$. Теперь используем формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, где $a = 10q$ и $b = 3p$.
Подставим значения в формулу:
$(10q - 3p)^2 = (10q)^2 - 2 \cdot 10q \cdot 3p + (3p)^2 = 100q^2 - 60pq + 9p^2$.
Приведем к стандартному виду: $9p^2 - 60pq + 100q^2$.
Ответ: $9p^2 - 60pq + 100q^2$.

4)В выражении $(-6k - 0,5n)^2$ можно вынести знак минус за скобки: $(-(6k + 0,5n))^2$. Так как квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного, получаем $(6k + 0,5n)^2$. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, где $a = 6k$ и $b = 0,5n$.
Подставим значения в формулу:
$(6k + 0,5n)^2 = (6k)^2 + 2 \cdot 6k \cdot 0,5n + (0,5n)^2 = 36k^2 + 6kn + 0,25n^2$.
Ответ: $36k^2 + 6kn + 0,25n^2$.

5)Для возведения в куб выражения $(a^2 + 4)^3$ используем формулу куба суммы $(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$. Здесь $x = a^2$ и $y = 4$.
Подставим значения в формулу:
$(a^2 + 4)^3 = (a^2)^3 + 3 \cdot (a^2)^2 \cdot 4 + 3 \cdot a^2 \cdot 4^2 + 4^3 = a^6 + 3 \cdot a^4 \cdot 4 + 3 \cdot a^2 \cdot 16 + 64 = a^6 + 12a^4 + 48a^2 + 64$.
Ответ: $a^6 + 12a^4 + 48a^2 + 64$.

6)Для выражения $(0,2 - b)^3$ используем формулу куба разности $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$. Здесь $a = 0,2$ и $b = b$.
Подставим значения в формулу:
$(0,2 - b)^3 = (0,2)^3 - 3 \cdot (0,2)^2 \cdot b + 3 \cdot 0,2 \cdot b^2 - b^3 = 0,008 - 3 \cdot 0,04 \cdot b + 0,6b^2 - b^3 = 0,008 - 0,12b + 0,6b^2 - b^3$.
Приведем к стандартному виду: $-b^3 + 0,6b^2 - 0,12b + 0,008$.
Ответ: $-b^3 + 0,6b^2 - 0,12b + 0,008$.

7)В выражении $(-3 - x)^3$ вынесем знак минус за скобки: $(-(3 + x))^3 = (-1)^3 \cdot (3 + x)^3 = -(3 + x)^3$. Теперь используем формулу куба суммы $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ для $(3+x)^3$, где $a = 3$ и $b = x$.
$(3+x)^3 = 3^3 + 3 \cdot 3^2 \cdot x + 3 \cdot 3 \cdot x^2 + x^3 = 27 + 27x + 9x^2 + x^3$.
Не забудем про знак минус перед скобкой:
$-(27 + 27x + 9x^2 + x^3) = -27 - 27x - 9x^2 - x^3$.
Приведем к стандартному виду: $-x^3 - 9x^2 - 27x - 27$.
Ответ: $-x^3 - 9x^2 - 27x - 27$.

8)Выражение $(-\frac{1}{3} + a)^3$ можно переписать как $(a - \frac{1}{3})^3$. Используем формулу куба разности $(x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$, где $x = a$ и $y = \frac{1}{3}$.
Подставим значения в формулу:
$(a - \frac{1}{3})^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot a \cdot (\frac{1}{3})^2 - (\frac{1}{3})^3 = a^3 - a^2 + 3 \cdot a \cdot \frac{1}{9} - \frac{1}{27} = a^3 - a^2 + \frac{1}{3}a - \frac{1}{27}$.
Ответ: $a^3 - a^2 + \frac{1}{3}a - \frac{1}{27}$.

9)В выражении $((2 - x)(2 + x))^2$ сначала упростим внутреннюю часть, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
$(2 - x)(2 + x) = 2^2 - x^2 = 4 - x^2$.
Теперь нужно возвести результат в квадрат: $(4 - x^2)^2$. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, где $a = 4$ и $b = x^2$.
$(4 - x^2)^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot x^2 + (x^2)^2 = 16 - 8x^2 + x^4$.
Приведем к стандартному виду: $x^4 - 8x^2 + 16$.
Ответ: $x^4 - 8x^2 + 16$.

9. Представить данный многочлен в виде произведения, применив формулы сокращённого умножения:

1) $x^8 - 4$;

2) $25n^2 - 49p^4$;

3) $1\frac{9}{16}a^2 - 0,09b^2$;

4) $0,0081x^6 - 1\frac{7}{9}y^{10}$.

Для разложения данного многочлена на множители воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Представим каждый член многочлена $x^8 - 4$ в виде квадрата.
$x^8 = (x^4)^2$
$4 = 2^2$
Таким образом, получаем выражение $(x^4)^2 - 2^2$. В данном случае $a = x^4$ и $b = 2$.
Применяя формулу, получаем:
$x^8 - 4 = (x^4)^2 - 2^2 = (x^4 - 2)(x^4 + 2)$.

Ответ: $(x^4 - 2)(x^4 + 2)$.

Применим формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Представим каждый член многочлена $25n^2 - 49p^4$ в виде квадрата.
$25n^2 = (5n)^2$
$49p^4 = (7p^2)^2$
Следовательно, выражение можно записать как $(5n)^2 - (7p^2)^2$. Здесь $a = 5n$ и $b = 7p^2$.
Применяя формулу, получаем:
$25n^2 - 49p^4 = (5n)^2 - (7p^2)^2 = (5n - 7p^2)(5n + 7p^2)$.

Ответ: $(5n - 7p^2)(5n + 7p^2)$.

Сначала преобразуем коэффициенты в удобный для вычислений вид. Переведем смешанную дробь $1\frac{9}{16}$ в неправильную, а десятичную дробь $0,09$ — в обыкновенную.
$1\frac{9}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{25}{16}$
$0,09 = \frac{9}{100}$
Исходное выражение принимает вид: $\frac{25}{16}a^2 - \frac{9}{100}b^2$.
Теперь применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. Для этого представим каждый член в виде квадрата.
$\frac{25}{16}a^2 = (\frac{5}{4}a)^2$
$\frac{9}{100}b^2 = (\frac{3}{10}b)^2$
В данном случае $A = \frac{5}{4}a$ и $B = \frac{3}{10}b$.
Подставляем в формулу:
$(\frac{5}{4}a)^2 - (\frac{3}{10}b)^2 = (\frac{5}{4}a - \frac{3}{10}b)(\frac{5}{4}a + \frac{3}{10}b)$.

Ответ: $(\frac{5}{4}a - \frac{3}{10}b)(\frac{5}{4}a + \frac{3}{10}b)$.

Для разложения на множители сначала преобразуем коэффициенты в обыкновенные дроби.
$0,0081 = \frac{81}{10000}$
$1\frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{16}{9}$
Выражение принимает вид: $\frac{81}{10000}x^6 - \frac{16}{9}y^{10}$.
Воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. Представим каждый член выражения в виде квадрата.
$\frac{81}{10000}x^6 = (\frac{9}{100}x^3)^2$
$\frac{16}{9}y^{10} = (\frac{4}{3}y^5)^2$
В данном случае $A = \frac{9}{100}x^3$ и $B = \frac{4}{3}y^5$.
Подставляем в формулу:
$(\frac{9}{100}x^3)^2 - (\frac{4}{3}y^5)^2 = (\frac{9}{100}x^3 - \frac{4}{3}y^5)(\frac{9}{100}x^3 + \frac{4}{3}y^5)$.

Ответ: $(\frac{9}{100}x^3 - \frac{4}{3}y^5)(\frac{9}{100}x^3 + \frac{4}{3}y^5)$.

10. Разложить многочлен на множители:

1) $3a^2 + 12ab + 12b^2;$

2) $6a^3b^2 - 36a^2b^3 + 54ab^4;$

3) $a^2 - 2ab + 5a - 10b;$

4) $a^3 - 3b + a^2b - 3a;$

5) $a^5 + 3a^3 - 8a^2 - 24;$

6) $a^2 - 3a + b^2 + 3b - 2ab.$

1) $3a^2 + 12ab + 12b^2$

Первым шагом вынесем общий числовой множитель 3 за скобки:

$3(a^2 + 4ab + 4b^2)$

Выражение в скобках, $a^2 + 4ab + 4b^2$, представляет собой полный квадрат. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В данном случае, если принять $x=a$ и $y=2b$, то мы получим:

$x^2 = a^2$

$y^2 = (2b)^2 = 4b^2$

$2xy = 2 \cdot a \cdot 2b = 4ab$

Все члены совпадают, следовательно, $a^2 + 4ab + 4b^2 = (a + 2b)^2$.

Подставив это в исходное выражение, получаем конечный результат.

Ответ: $3(a + 2b)^2$

2) $6a^3b^2 - 36a^2b^3 + 54ab^4$

Для начала найдем и вынесем за скобки общий множитель всех членов многочлена. Наибольший общий делитель для коэффициентов 6, 36 и 54 равен 6. Для переменных $a$ и $b$ берем наименьшие степени, то есть $a^1$ и $b^2$. Таким образом, общий множитель — это $6ab^2$.

$6ab^2(a^2 - 6ab + 9b^2)$

Выражение в скобках $a^2 - 6ab + 9b^2$ является полным квадратом разности. Применим формулу: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Пусть $x=a$ и $y=3b$. Тогда:

$x^2 = a^2$

$y^2 = (3b)^2 = 9b^2$

$2xy = 2 \cdot a \cdot 3b = 6ab$

Таким образом, $a^2 - 6ab + 9b^2 = (a - 3b)^2$.

Окончательное разложение многочлена имеет вид:

Ответ: $6ab^2(a - 3b)^2$

3) $a^2 - 2ab + 5a - 10b$

Для разложения этого многочлена на множители воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(a^2 - 2ab) + (5a - 10b)$

Теперь вынесем общий множитель из каждой группы:

$a(a - 2b) + 5(a - 2b)$

Мы получили два слагаемых, у которых есть общий множитель $(a - 2b)$. Вынесем его за скобки:

$(a - 2b)(a + 5)$

Ответ: $(a - 2b)(a + 5)$

4) $a^3 - 3b + a^2b - 3a$

Применим метод группировки. Для удобства переставим слагаемые. Сгруппируем первое слагаемое с четвертым, а второе с третьим:

$(a^3 - 3a) + (a^2b - 3b)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a(a^2 - 3) + b(a^2 - 3)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(a^2 - 3)$:

$(a^2 - 3)(a + b)$

Ответ: $(a^2 - 3)(a + b)$

5) $a^5 + 3a^3 - 8a^2 - 24$

Используем метод группировки. Объединим в группы первые два и последние два слагаемых:

$(a^5 + 3a^3) - (8a^2 + 24)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a^3(a^2 + 3) - 8(a^2 + 3)$

Теперь можно вынести общий множитель $(a^2 + 3)$:

$(a^2 + 3)(a^3 - 8)$

Второй множитель $(a^3 - 8)$ является разностью кубов. Применим формулу $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$, где $x=a$ и $y=2$.

$a^3 - 8 = a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + 2a + 2^2) = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$

Объединяем все множители для получения окончательного ответа.

Ответ: $(a^2 + 3)(a - 2)(a^2 + 2a + 4)$

6) $a^2 - 3a + b^2 + 3b - 2ab$

Перегруппируем слагаемые таким образом, чтобы выделить известные формулы сокращенного умножения. Объединим $a^2$, $-2ab$ и $b^2$:

$(a^2 - 2ab + b^2) - 3a + 3b$

Выражение в скобках является полным квадратом разности: $(a-b)^2$.

$(a - b)^2 - 3a + 3b$

Теперь сгруппируем оставшиеся два члена и вынесем общий множитель -3:

$(a - b)^2 - 3(a - b)$

В получившемся выражении есть общий множитель $(a - b)$, который мы вынесем за скобки:

$(a - b)((a - b) - 3)$

Раскроем внутренние скобки для окончательного вида.

Ответ: $(a - b)(a - b - 3)$

11. Сократить дробь:

1) $\frac{12a^2b^3c^5}{27a^4b^3c^2}$;

2) $\frac{a^7(a-b)^2}{a^4(a-b)^3}$;

3) $\frac{2a+6}{a^2-9}$;

4) $\frac{(m-2n)^2}{10n-5m}$;

5) $\frac{a^2-4}{a^3+8}$;

6) $\frac{8a^3-27}{9-4a^2}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{12a^2b^3c^5}{27a^4b^3c^2}$, нужно сократить числовые коэффициенты и степени каждой переменной по отдельности.

Сначала сократим коэффициенты: $\frac{12}{27}$. Наибольший общий делитель чисел 12 и 27 равен 3. Разделим числитель и знаменатель на 3: $\frac{12 \div 3}{27 \div 3} = \frac{4}{9}$.

Теперь сократим переменные, используя свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

Для переменной $a$: $\frac{a^2}{a^4} = a^{2-4} = a^{-2} = \frac{1}{a^2}$.

Для переменной $b$: $\frac{b^3}{b^3} = b^{3-3} = b^0 = 1$.

Для переменной $c$: $\frac{c^5}{c^2} = c^{5-2} = c^3$.

Собираем все вместе: $\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{a^2} \cdot 1 \cdot c^3 = \frac{4c^3}{9a^2}$.

Ответ: $\frac{4c^3}{9a^2}$.

2) Чтобы сократить дробь $\frac{a^7(a-b)^2}{a^4(a-b)^3}$, воспользуемся свойством степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$ для каждого множителя.

Сократим степени для $a$: $\frac{a^7}{a^4} = a^{7-4} = a^3$.

Сократим степени для выражения $(a-b)$: $\frac{(a-b)^2}{(a-b)^3} = (a-b)^{2-3} = (a-b)^{-1} = \frac{1}{a-b}$.

Объединив результаты, получаем: $a^3 \cdot \frac{1}{a-b} = \frac{a^3}{a-b}$.

Ответ: $\frac{a^3}{a-b}$.

3) Для сокращения дроби $\frac{2a+6}{a^2-9}$ необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $2a+6$. Вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(a+3)$.

Знаменатель: $a^2-9$. Это разность квадратов $a^2-3^2$, которая раскладывается по формуле $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$: $(a-3)(a+3)$.

Подставим разложения в дробь: $\frac{2(a+3)}{(a-3)(a+3)}$.

Сокращаем общий множитель $(a+3)$ (при условии, что $a \neq -3$): $\frac{2}{a-3}$.

Ответ: $\frac{2}{a-3}$.

4) Рассмотрим дробь $\frac{(m-2n)^2}{10n-5m}$.

Числитель $(m-2n)^2$ можно записать как $(m-2n)(m-2n)$.

Разложим на множители знаменатель $10n-5m$. Вынесем общий множитель 5 за скобки: $5(2n-m)$.

Заметим, что выражения $(m-2n)$ и $(2n-m)$ являются противоположными, то есть $2n-m = -(m-2n)$. Тогда знаменатель можно записать как $-5(m-2n)$.

Дробь принимает вид: $\frac{(m-2n)^2}{-5(m-2n)}$.

Сократим общий множитель $(m-2n)$ (при условии, что $m \neq 2n$): $\frac{m-2n}{-5} = -\frac{m-2n}{5}$.

Ответ: $-\frac{m-2n}{5}$.

5) Для сокращения дроби $\frac{a^2-4}{a^3+8}$ разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения.

Числитель $a^2-4$ — это разность квадратов $a^2-2^2$. Используем формулу $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$: $(a-2)(a+2)$.

Знаменатель $a^3+8$ — это сумма кубов $a^3+2^3$. Используем формулу $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$: $(a+2)(a^2-a \cdot 2+2^2) = (a+2)(a^2-2a+4)$.

Подставляем разложения в дробь: $\frac{(a-2)(a+2)}{(a+2)(a^2-2a+4)}$.

Сокращаем общий множитель $(a+2)$ (при условии, что $a \neq -2$): $\frac{a-2}{a^2-2a+4}$.

Ответ: $\frac{a-2}{a^2-2a+4}$.

6) Чтобы сократить дробь $\frac{8a^3-27}{9-4a^2}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель $8a^3-27$ — это разность кубов $(2a)^3-3^3$. Используем формулу $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$: $(2a-3)((2a)^2+2a \cdot 3+3^2) = (2a-3)(4a^2+6a+9)$.

Знаменатель $9-4a^2$ — это разность квадратов $3^2-(2a)^2$. Используем формулу $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$: $(3-2a)(3+2a)$.

Перепишем дробь с разложенными множителями: $\frac{(2a-3)(4a^2+6a+9)}{(3-2a)(3+2a)}$.

Заметим, что $3-2a = -(2a-3)$. Подставим это в знаменатель: $\frac{(2a-3)(4a^2+6a+9)}{-(2a-3)(3+2a)}$.

Сокращаем общий множитель $(2a-3)$ (при условии, что $a \neq \frac{3}{2}$): $\frac{4a^2+6a+9}{-(3+2a)} = -\frac{4a^2+6a+9}{2a+3}$.

Ответ: $-\frac{4a^2+6a+9}{2a+3}$.

12. Выполнить действия:

1) $\frac{3x+5}{x-2} - \frac{11-x}{x-2}$;

2) $\frac{2a}{a-b} + \frac{2a-b}{b-a}$;

3) $\frac{3}{a} + 5 - \frac{2}{a-b}$;

4) $\frac{3a}{6a+8} - \frac{1}{2} - \frac{2}{4-3a}$;

5) $\frac{5b-b^2}{3a} \cdot \frac{6a^2}{b^3-5b^2}$;

6) $\frac{6c^3}{9-a^2} \cdot \frac{a^3-6a+9}{4a^2c}$;

7) $\frac{a^3b}{3a-6b} : \frac{a^2b^2-a^2b}{ac-2bc}$;

8) $\frac{10-15b}{(a-b)^2} : \frac{9b^2-4}{3b-3a}$;

9) $\left(\frac{a}{7a-4} - \frac{1}{a+3}\right) \cdot \frac{12-21a}{(2-a)^2}$;

10) $\left(\frac{x}{x-2} - \frac{x}{x+2} - \frac{x^2+4}{4-x^2}\right) : \frac{2x+x^2}{(2-x)^2}$.

1) $\frac{3x+5}{x-2} - \frac{11-x}{x-2}$

Поскольку у дробей одинаковый знаменатель, вычитаем их числители, объединив их под общей чертой:

$\frac{(3x+5) - (11-x)}{x-2} = \frac{3x+5-11+x}{x-2}$

Приводим подобные слагаемые в числителе:

$\frac{4x-6}{x-2}$

Выносим общий множитель 2 в числителе:

$\frac{2(2x-3)}{x-2}$

Ответ: $\frac{2(2x-3)}{x-2}$.

2) $\frac{2a}{a-b} + \frac{2a-b}{b-a}$

Заметим, что знаменатели противоположны: $b-a = -(a-b)$. Изменим знак перед второй дробью и в ее знаменателе:

$\frac{2a}{a-b} - \frac{2a-b}{a-b}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, вычитаем числители:

$\frac{2a - (2a-b)}{a-b} = \frac{2a - 2a + b}{a-b} = \frac{b}{a-b}$

Ответ: $\frac{b}{a-b}$.

3) $\frac{3}{a} + 5 - \frac{2}{a-b}$

Представим 5 как дробь $\frac{5}{1}$. Общий знаменатель для всех членов выражения - это $a(a-b)$. Приведем все дроби к этому знаменателю:

$\frac{3(a-b)}{a(a-b)} + \frac{5a(a-b)}{a(a-b)} - \frac{2a}{a(a-b)}$

Объединим числители под общим знаменателем:

$\frac{3(a-b) + 5a(a-b) - 2a}{a(a-b)}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{3a - 3b + 5a^2 - 5ab - 2a}{a(a-b)} = \frac{5a^2 + a - 3b - 5ab}{a(a-b)}$

Ответ: $\frac{5a^2 - 5ab + a - 3b}{a(a-b)}$.

4) $\frac{3a}{6a+8} - \frac{1}{2} - \frac{2}{4-3a}$

Сначала упростим знаменатели и знаки. $6a+8=2(3a+4)$, а $4-3a = -(3a-4)$.

$\frac{3a}{2(3a+4)} - \frac{1}{2} + \frac{2}{3a-4}$

Общий знаменатель: $2(3a+4)(3a-4) = 2(9a^2-16)$. Приведем дроби к нему:

$\frac{3a(3a-4)}{2(9a^2-16)} - \frac{(3a+4)(3a-4)}{2(9a^2-16)} + \frac{2 \cdot 2(3a+4)}{2(9a^2-16)}$

Объединим числители:

$\frac{9a^2-12a - (9a^2-16) + 4(3a+4)}{2(9a^2-16)} = \frac{9a^2-12a - 9a^2+16 + 12a+16}{2(9a^2-16)}$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{32}{2(9a^2-16)} = \frac{16}{9a^2-16}$

Ответ: $\frac{16}{9a^2-16}$.

5) $\frac{5b-b^2}{3a} \cdot \frac{6a^2}{b^3-5b^2}$

Разложим числители и знаменатели на множители:

$5b-b^2 = b(5-b) = -b(b-5)$

$b^3-5b^2 = b^2(b-5)$

Подставим разложенные выражения в исходное:

$\frac{-b(b-5)}{3a} \cdot \frac{6a^2}{b^2(b-5)}$

Сократим общие множители $b$, $(b-5)$, $3$ и $a$:

$\frac{-1}{1} \cdot \frac{2a}{b} = -\frac{2a}{b}$

Ответ: $-\frac{2a}{b}$.

6) $\frac{6c^3}{9-a^2} \cdot \frac{a^3-6a+9}{4a^2c}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй. $9-a^2=(3-a)(3+a)$. Для многочлена $a^3-6a+9$ подбором находим корень $a=-3$. Делением в столбик получаем: $a^3-6a+9 = (a+3)(a^2-3a+3)$.

$\frac{6c^3}{(3-a)(3+a)} \cdot \frac{(a+3)(a^2-3a+3)}{4a^2c}$

Сокращаем общие множители $(a+3)$, $c$, и числовые коэффициенты 6 и 4:

$\frac{3c^2}{3-a} \cdot \frac{a^2-3a+3}{2a^2} = \frac{3c^2(a^2-3a+3)}{2a^2(3-a)}$

Ответ: $\frac{3c^2(a^2-3a+3)}{2a^2(3-a)}$.

7) $\frac{a^3b}{3a-6b} : \frac{a^2b^2-a^2b}{ac-2bc}$

Заменяем деление умножением на обратную дробь:

$\frac{a^3b}{3a-6b} \cdot \frac{ac-2bc}{a^2b^2-a^2b}$

Разложим числители и знаменатели на множители:

$\frac{a^3b}{3(a-2b)} \cdot \frac{c(a-2b)}{a^2b(b-1)}$

Сокращаем общие множители $a^2b$ и $(a-2b)$:

$\frac{a}{3} \cdot \frac{c}{b-1} = \frac{ac}{3(b-1)}$

Ответ: $\frac{ac}{3(b-1)}$.

8) $\frac{10-15b}{(a-b)^2} : \frac{9b^2-4}{3b-3a}$

Заменяем деление умножением на обратную дробь и раскладываем на множители:

$\frac{5(2-3b)}{(a-b)^2} \cdot \frac{3(b-a)}{(3b-2)(3b+2)}$

Используем тождества $2-3b = -(3b-2)$ и $b-a = -(a-b)$:

$\frac{-5(3b-2)}{(a-b)^2} \cdot \frac{-3(a-b)}{(3b-2)(3b+2)}$

Сокращаем общие множители $(3b-2)$ и $(a-b)$:

$\frac{-5}{a-b} \cdot \frac{-3}{3b+2} = \frac{15}{(a-b)(3b+2)}$

Ответ: $\frac{15}{(a-b)(3b+2)}$.

9) $(\frac{a}{7a-4} - \frac{1}{a+3}) \cdot \frac{12-21a}{(2-a)^2}$

Сначала выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(7a-4)(a+3)$:

$\frac{a(a+3) - 1(7a-4)}{(7a-4)(a+3)} = \frac{a^2+3a-7a+4}{(7a-4)(a+3)} = \frac{a^2-4a+4}{(7a-4)(a+3)} = \frac{(a-2)^2}{(7a-4)(a+3)}$

Теперь выполним умножение. Разложим множители второй дроби: $12-21a = -3(7a-4)$ и $(2-a)^2 = (a-2)^2$.

$\frac{(a-2)^2}{(7a-4)(a+3)} \cdot \frac{-3(7a-4)}{(a-2)^2}$

Сокращаем общие множители $(a-2)^2$ и $(7a-4)$:

$\frac{1}{a+3} \cdot (-3) = -\frac{3}{a+3}$

Ответ: $-\frac{3}{a+3}$.

10) $(\frac{x}{x-2} - \frac{x}{x+2} - \frac{x^2+4}{4-x^2}) : \frac{2x+x^2}{(2-x)^2}$

Сначала выполним действия в скобках. Заметим, что $4-x^2=-(x^2-4)=-(x-2)(x+2)$.

$\frac{x}{x-2} - \frac{x}{x+2} + \frac{x^2+4}{x^2-4}$

Приведем к общему знаменателю $(x-2)(x+2)$:

$\frac{x(x+2) - x(x-2) + (x^2+4)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x^2+2x - x^2+2x + x^2+4}{(x-2)(x+2)} = \frac{x^2+4x+4}{(x-2)(x+2)}$

Числитель является полным квадратом: $\frac{(x+2)^2}{(x-2)(x+2)} = \frac{x+2}{x-2}$.

Теперь выполним деление:

$\frac{x+2}{x-2} : \frac{x(2+x)}{(2-x)^2} = \frac{x+2}{x-2} \cdot \frac{(2-x)^2}{x(x+2)}$

Учитывая, что $(2-x)^2 = (x-2)^2$, сокращаем $(x+2)$ и $(x-2)$:

$\frac{1}{1} \cdot \frac{x-2}{x} = \frac{x-2}{x}$

Ответ: $\frac{x-2}{x}$.

13. Вычислить:

1) $2^3 - 2^0 - 2^{-3} + (-2)^3 + (-2)^{-3}$; 2) $\frac{3^{-3} \cdot 3^5}{3^3} + (3^{-1})^2 - \left(\frac{3^2}{3^3}\right)^2$.

1) $2^3 - 2^0 - 2^{-3} + (-2)^3 + (-2)^{-3}$

Для решения данного выражения вычислим значение каждого слагаемого по отдельности, используя свойства степеней:
$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
$2^0 = 1$ (любое ненулевое число в нулевой степени равно 1)
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
$(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$
$(-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}$

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:
$8 - 1 - \frac{1}{8} + (-8) + (-\frac{1}{8}) = 8 - 1 - \frac{1}{8} - 8 - \frac{1}{8}$

Сгруппируем слагаемые для удобства вычислений:
$(8 - 8) - 1 - (\frac{1}{8} + \frac{1}{8}) = 0 - 1 - \frac{2}{8} = -1 - \frac{1}{4}$

Приведем к общему знаменателю и выполним вычитание:
$-1 - \frac{1}{4} = -\frac{4}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{5}{4}$
Также можно представить ответ в виде десятичной дроби: $-\frac{5}{4} = -1.25$

Ответ: $-\frac{5}{4}$

2) $\frac{3^{-3} \cdot 3^5}{3^3} + (3^{-1})^2 - (\frac{3^2}{3^3})^2$

Для решения этого выражения упростим каждую его часть по отдельности, применяя свойства степеней.

Первое слагаемое: $\frac{3^{-3} \cdot 3^5}{3^3}$
Сначала упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$3^{-3} \cdot 3^5 = 3^{-3+5} = 3^2$
Теперь разделим на знаменатель, используя правило деления степеней ($ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $):
$\frac{3^2}{3^3} = 3^{2-3} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$

Второе слагаемое: $(3^{-1})^2$
Используем правило возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):
$(3^{-1})^2 = 3^{-1 \cdot 2} = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

Третье слагаемое (вычитаемое): $(\frac{3^2}{3^3})^2$
Сначала упростим выражение в скобках:
$\frac{3^2}{3^3} = 3^{2-3} = 3^{-1}$
Теперь возведем результат в квадрат:
$(3^{-1})^2 = 3^{-1 \cdot 2} = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:
$\frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{9}$

Выполним сложение и вычитание:
$\frac{1}{3} + 0 = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

14. Представить в виде степени:

1) $ \frac{a^2 \cdot a^{-5}}{a^3}; $

2) $ \frac{b^{-4} \cdot b^8}{b^6}; $

3) $ a^{-6}b^3; $

4) $ c^{-5}d^{-10}. $

1)

Для того чтобы представить выражение $\frac{a^2 \cdot a^{-5}}{a^3}$ в виде степени, воспользуемся свойствами степеней.
Сначала упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$a^2 \cdot a^{-5} = a^{2 + (-5)} = a^{-3}$.
Теперь выражение имеет вид $\frac{a^{-3}}{a^3}$.
Далее, используем правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:
$\frac{a^{-3}}{a^3} = a^{-3 - 3} = a^{-6}$.
Ответ: $a^{-6}$.

2)

Чтобы представить выражение $\frac{b^{-4} \cdot b^8}{b^6}$ в виде степени, сначала упростим числитель по правилу умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$b^{-4} \cdot b^8 = b^{-4 + 8} = b^4$.
Затем выполним деление, используя правило $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:
$\frac{b^4}{b^6} = b^{4 - 6} = b^{-2}$.
Ответ: $b^{-2}$.

3)

В выражении $a^{-6}b^3$ основания степеней различны. Чтобы представить его в виде одной степени, можно воспользоваться свойством степени произведения $(xy)^n = x^n y^n$, если удастся привести показатели к общему значению. Показатели $-6$ и $3$ имеют общий делитель $3$.
Представим показатель $-6$ как $-2 \cdot 3$.
Тогда $a^{-6}b^3 = a^{-2 \cdot 3}b^3 = (a^{-2})^3 b^3$.
Теперь, применяя свойство степени произведения в обратном порядке, получаем:
$(a^{-2})^3 b^3 = (a^{-2}b)^3$.
Ответ: $(a^{-2}b)^3$.

4)

Рассмотрим выражение $c^{-5}d^{-10}$. Основания $c$ и $d$ различны, поэтому ищем общий множитель у показателей $-5$ и $-10$. Таким множителем является $-5$.
Представим показатель $-10$ как $2 \cdot (-5)$.
Выражение примет вид: $c^{-5}d^{10} = c^{-5}d^{2 \cdot (-5)} = c^{-5}(d^2)^{-5}$.
Используя свойство $(xy)^n = x^n y^n$ в обратном порядке, объединяем степени:
$c^{-5}(d^2)^{-5} = (c \cdot d^2)^{-5} = (cd^2)^{-5}$.
Ответ: $(cd^2)^{-5}$.

15. Записать в стандартном виде число:

1) $0,000321$;

2) $0,000074$;

3) $31\frac{2}{5}$;

4) $1401\frac{3}{25}$.

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число. Для записи числа в стандартном виде необходимо определить мантиссу $a$ и порядок $n$.

1) 0,000321

Чтобы получить мантиссу $a$, которая должна быть в пределах от 1 до 10, мы должны переместить запятую в числе 0,000321 вправо. Перемещаем запятую после первой значащей цифры "3".
$0,000321 \rightarrow 3,21$
Запятая была перемещена на 4 позиции вправо. Это означает, что порядок $n$ будет отрицательным и равен -4.
Таким образом, число 0,000321 в стандартном виде записывается как $3,21 \cdot 10^{-4}$.
Ответ: $3,21 \cdot 10^{-4}$

2) 0,000074

Аналогично первому пункту, перемещаем запятую вправо до первой значащей цифры "7".
$0,000074 \rightarrow 7,4$
Запятая была перемещена на 5 позиций вправо, следовательно, порядок $n$ равен -5.
Стандартный вид числа: $7,4 \cdot 10^{-5}$.
Ответ: $7,4 \cdot 10^{-5}$

3) $31\frac{2}{5}$

Сначала преобразуем смешанное число в десятичную дробь.
$31\frac{2}{5} = 31 + \frac{2}{5} = 31 + 0,4 = 31,4$.
Теперь запишем число 31,4 в стандартном виде. Для этого переместим запятую влево так, чтобы перед ней осталась одна значащая цифра.
$31,4 \rightarrow 3,14$
Запятая была перемещена на 1 позицию влево, поэтому порядок $n$ будет положительным и равен 1.
Стандартный вид числа: $3,14 \cdot 10^1$.
Ответ: $3,14 \cdot 10^1$

4) $1401\frac{3}{25}$

Сначала преобразуем смешанное число в десятичную дробь. Для этого приведем знаменатель к 100.
$1401\frac{3}{25} = 1401 + \frac{3 \cdot 4}{25 \cdot 4} = 1401 + \frac{12}{100} = 1401 + 0,12 = 1401,12$.
Теперь запишем число 1401,12 в стандартном виде. Перемещаем запятую влево.
$1401,12 \rightarrow 1,40112$
Запятая была перемещена на 3 позиции влево. Это означает, что порядок $n$ равен 3.
Стандартный вид числа: $1,40112 \cdot 10^3$.
Ответ: $1,40112 \cdot 10^3$