Страница 17 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

32. Пятьдесят рабочих нужно разделить на бригады, в каждой из которых будет либо 6, либо 8 человек. Сколько бригад может получиться при таком делении?

Пусть $x$ — количество бригад, состоящих из 6 человек, а $y$ — количество бригад, состоящих из 8 человек. Общее число рабочих — 50. Мы можем составить уравнение, связывающее эти величины:

$6x + 8y = 50$

Поскольку $x$ и $y$ представляют собой количество бригад, они должны быть целыми неотрицательными числами ($x \ge 0$, $y \ge 0$).

Для упрощения расчетов разделим обе части уравнения на их наибольший общий делитель, равный 2:

$3x + 4y = 25$

Теперь нам нужно найти все пары целых неотрицательных чисел $(x, y)$, которые являются решением этого уравнения. Выразим переменную $x$ через $y$:

$3x = 25 - 4y$

$x = \frac{25 - 4y}{3}$

Так как $x$ должен быть неотрицательным, то $25 - 4y \ge 0$, что означает $4y \le 25$, или $y \le 6.25$. Следовательно, нам нужно проверить целые значения $y$ от 0 до 6, чтобы найти те, при которых $x$ также будет целым числом.

• При $y = 0$, $x = \frac{25-0}{3} = \frac{25}{3}$, не является целым числом.
• При $y = 1$, $x = \frac{25-4}{3} = \frac{21}{3} = 7$. Это первое решение.
  В этом случае общее количество бригад: $x + y = 7 + 1 = 8$.
• При $y = 2$, $x = \frac{25-8}{3} = \frac{17}{3}$, не является целым числом.
• При $y = 3$, $x = \frac{25-12}{3} = \frac{13}{3}$, не является целым числом.
• При $y = 4$, $x = \frac{25-16}{3} = \frac{9}{3} = 3$. Это второе решение.
  В этом случае общее количество бригад: $x + y = 3 + 4 = 7$.
• При $y = 5$, $x = \frac{25-20}{3} = \frac{5}{3}$, не является целым числом.
• При $y = 6$, $x = \frac{25-24}{3} = \frac{1}{3}$, не является целым числом.

Мы нашли два возможных варианта разделения рабочих. В первом варианте получается 8 бригад (7 бригад по 6 человек и 1 бригада по 8 человек). Во втором варианте получается 7 бригад (3 бригады по 6 человек и 4 бригады по 8 человек).

Таким образом, при заданном условии может получиться либо 7, либо 8 бригад.

Ответ: 7 или 8.

33. Решить систему уравнений:

1) $\begin{cases} x - 3y = 5 - 0.2x - 20y, \\ 0.5x - y - 2 = 2 - x - 20y; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x + 5 = 1 - x + 2y, \\ 14x - 5 = 9x - 3y - 2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 7x - 3y = -2, \\ -8x + y = 12; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{1}{2}x + 3y = 1.5, \\ 0.5x - 2y = 4; \end{cases}$

5) $\begin{cases} 4x - 3y = -3, \\ -10x - 6y = 3; \end{cases}$

6) $\begin{cases} 10x + 3y = 0.1, \\ 7x - 2y = 1.3. \end{cases}$

1) Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} x - 3y = 5 - 0,2x - 20y \\ 0,5x - y - 2 = 2 - x - 20y \end{cases} $
Сначала упростим оба уравнения, перенеся все переменные в левую часть, а числа — в правую.
Первое уравнение:
$x + 0,2x - 3y + 20y = 5$
$1,2x + 17y = 5$
Второе уравнение:
$0,5x + x - y + 20y = 2 + 2$
$1,5x + 19y = 4$
Получаем упрощенную систему:
$ \begin{cases} 1,2x + 17y = 5 \\ 1,5x + 19y = 4 \end{cases} $
Чтобы избавиться от дробей, умножим первое уравнение на 5, а второе на 4:
$ \begin{cases} 5(1,2x + 17y) = 5 \cdot 5 \\ 4(1,5x + 19y) = 4 \cdot 4 \end{cases} $
$ \begin{cases} 6x + 85y = 25 \\ 6x + 76y = 16 \end{cases} $
Теперь решим систему методом сложения (вычитания). Вычтем второе уравнение из первого:
$(6x + 85y) - (6x + 76y) = 25 - 16$
$9y = 9$
$y = 1$
Подставим найденное значение $y$ в уравнение $1,5x + 19y = 4$:
$1,5x + 19(1) = 4$
$1,5x + 19 = 4$
$1,5x = 4 - 19$
$1,5x = -15$
$x = -15 / 1,5$
$x = -10$
Ответ: $x = -10$, $y = 1$.

2) Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} 2x + 5 = 1 - x + 2y \\ 14x - 5 = 9x - 3y - 2 \end{cases} $
Упростим оба уравнения.
Первое уравнение:
$2x + x - 2y = 1 - 5$
$3x - 2y = -4$
Второе уравнение:
$14x - 9x + 3y = 5 - 2$
$5x + 3y = 3$
Получаем систему:
$ \begin{cases} 3x - 2y = -4 \\ 5x + 3y = 3 \end{cases} $
Решим методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$ \begin{cases} 3(3x - 2y) = 3(-4) \\ 2(5x + 3y) = 2(3) \end{cases} $
$ \begin{cases} 9x - 6y = -12 \\ 10x + 6y = 6 \end{cases} $
Сложим два уравнения:
$(9x - 6y) + (10x + 6y) = -12 + 6$
$19x = -6$
$x = -6/19$
Подставим значение $x$ в уравнение $5x + 3y = 3$:
$5(-6/19) + 3y = 3$
$-30/19 + 3y = 3$
$3y = 3 + 30/19$
$3y = 57/19 + 30/19$
$3y = 87/19$
$y = (87/19) / 3$
$y = 29/19$
Ответ: $x = -6/19$, $y = 29/19$.

3) Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} 7x - 3y = -2 \\ -8x + y = 12 \end{cases} $
Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 12 + 8x$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$7x - 3(12 + 8x) = -2$
$7x - 36 - 24x = -2$
$-17x = 36 - 2$
$-17x = 34$
$x = -2$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 12 + 8x$:
$y = 12 + 8(-2)$
$y = 12 - 16$
$y = -4$
Ответ: $x = -2$, $y = -4$.

4) Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{1}{2}x + 3y = 1,5 \\ 0,5x - 2y = 4 \end{cases} $
Заметим, что $\frac{1}{2} = 0,5$. Система имеет вид:
$ \begin{cases} 0,5x + 3y = 1,5 \\ 0,5x - 2y = 4 \end{cases} $
Решим методом вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:
$(0,5x + 3y) - (0,5x - 2y) = 1,5 - 4$
$5y = -2,5$
$y = -0,5$
Подставим значение $y$ в уравнение $0,5x - 2y = 4$:
$0,5x - 2(-0,5) = 4$
$0,5x + 1 = 4$
$0,5x = 3$
$x = 6$
Ответ: $x = 6$, $y = -0,5$.

5) Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} 4x - 3y = -3 \\ -10x - 6y = 3 \end{cases} $
Решим методом сложения. Умножим первое уравнение на -2:
$-2(4x - 3y) = -2(-3)$
$-8x + 6y = 6$
Теперь система выглядит так:
$ \begin{cases} -8x + 6y = 6 \\ -10x - 6y = 3 \end{cases} $
Сложим два уравнения:
$(-8x + 6y) + (-10x - 6y) = 6 + 3$
$-18x = 9$
$x = -9/18 = -1/2$
Подставим значение $x$ в первое исходное уравнение $4x - 3y = -3$:
$4(-1/2) - 3y = -3$
$-2 - 3y = -3$
$-3y = -1$
$y = 1/3$
Ответ: $x = -1/2$, $y = 1/3$.

6) Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} 10x + 3y = 0,1 \\ 7x - 2y = 1,3 \end{cases} $
Решим методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3:
$ \begin{cases} 2(10x + 3y) = 2(0,1) \\ 3(7x - 2y) = 3(1,3) \end{cases} $
$ \begin{cases} 20x + 6y = 0,2 \\ 21x - 6y = 3,9 \end{cases} $
Сложим два полученных уравнения:
$(20x + 6y) + (21x - 6y) = 0,2 + 3,9$
$41x = 4,1$
$x = 4,1 / 41$
$x = 0,1$
Подставим значение $x$ в первое исходное уравнение $10x + 3y = 0,1$:
$10(0,1) + 3y = 0,1$
$1 + 3y = 0,1$
$3y = 0,1 - 1$
$3y = -0,9$
$y = -0,3$
Ответ: $x = 0,1$, $y = -0,3$.

34. Решить уравнение:

1) $|x| = 1,5;$

2) $|5x| = 8;$

3) $5|x| = \frac{1}{3};$

4) $|x - 1| = 2;$

5) $|2 - x| = 7;$

6) $|2x - 4| = 6.$

1) $|x| = 1,5$

По определению модуля, если $|x| = a$ и $a \ge 0$, то решением является $x = a$ или $x = -a$. В данном уравнении $a = 1,5$.

Следовательно, уравнение имеет два корня:
$x_1 = 1,5$
$x_2 = -1,5$

Ответ: $-1,5; 1,5$.

2) $|5x| = 8$

Уравнение вида $|A| = b$, где $b \ge 0$, равносильно совокупности двух уравнений: $A = b$ или $A = -b$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:
1) $5x = 8$
$x = \frac{8}{5}$
$x_1 = 1,6$

2) $5x = -8$
$x = -\frac{8}{5}$
$x_2 = -1,6$

Ответ: $-1,6; 1,6$.

3) $5|x| = \frac{1}{3}$

Сначала разделим обе части уравнения на 5, чтобы выделить выражение с модулем:

$|x| = \frac{1}{3} \div 5$

$|x| = \frac{1}{3 \cdot 5}$

$|x| = \frac{1}{15}$

Теперь, по определению модуля, получаем два корня:

$x_1 = \frac{1}{15}$
$x_2 = -\frac{1}{15}$

Ответ: $-\frac{1}{15}; \frac{1}{15}$.

4) $|x - 1| = 2$

Уравнение вида $|A| = b$, где $b \ge 0$, равносильно совокупности двух уравнений: $A = b$ или $A = -b$.

Рассмотрим два случая:
1) $x - 1 = 2$
$x = 2 + 1$
$x_1 = 3$

2) $x - 1 = -2$
$x = -2 + 1$
$x_2 = -1$

Ответ: $-1; 3$.

5) $|2 - x| = 7$

Уравнение вида $|A| = b$, где $b \ge 0$, равносильно совокупности двух уравнений: $A = b$ или $A = -b$.

Рассмотрим два случая:
1) $2 - x = 7$
$-x = 7 - 2$
$-x = 5$
$x_1 = -5$

2) $2 - x = -7$
$-x = -7 - 2$
$-x = -9$
$x_2 = 9$

Ответ: $-5; 9$.

6) $|2x - 4| = 6$

Уравнение вида $|A| = b$, где $b \ge 0$, равносильно совокупности двух уравнений: $A = b$ или $A = -b$.

Рассмотрим два случая:
1) $2x - 4 = 6$
$2x = 6 + 4$
$2x = 10$
$x = \frac{10}{2}$
$x_1 = 5$

2) $2x - 4 = -6$
$2x = -6 + 4$
$2x = -2$
$x = \frac{-2}{2}$
$x_2 = -1$

Ответ: $-1; 5$.

35. При каком значении a уравнение:

1) $(5 - 2a)x = a;$

2) $ax + 3 - 2x = 3$

имеет только один корень?

Линейное уравнение вида $kx = b$ имеет только один корень, если коэффициент при переменной $x$ не равен нулю, то есть $k \neq 0$.

Если коэффициент $k = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = b$. В этом случае возможны два варианта:

• Если $b \neq 0$, то уравнение не имеет корней.
• Если $b = 0$, то уравнение имеет бесконечно много корней (любое число является решением).

Для того чтобы данное уравнение имело только один корень, нужно найти значения параметра $a$, при которых коэффициент при $x$ не обращается в ноль.

Это уравнение является линейным относительно переменной $x$. Коэффициент при $x$ равен $(5 - 2a)$.

Уравнение будет иметь единственный корень при условии, что этот коэффициент не равен нулю:

$5 - 2a \neq 0$

Решим это неравенство относительно $a$:

$2a \neq 5$

$a \neq \frac{5}{2}$

$a \neq 2.5$

Таким образом, при всех значениях $a$, кроме $a = 2.5$, уравнение имеет ровно один корень.

Ответ: при $a \neq 2.5$.

Сначала преобразуем уравнение, приведя его к стандартному виду $kx = b$. Для этого сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а постоянные члены перенесем в правую часть.

$ax - 2x = 3 - 3$

Вынесем $x$ за скобки в левой части:

$(a - 2)x = 0$

В полученном уравнении коэффициент при $x$ равен $(a - 2)$.

Уравнение будет иметь единственный корень, если этот коэффициент не равен нулю:

$a - 2 \neq 0$

Решим это неравенство относительно $a$:

$a \neq 2$

Следовательно, при всех значениях $a$, кроме $a = 2$, уравнение имеет ровно один корень. Стоит отметить, что если $a = 2$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$, что верно для любого $x$, то есть уравнение имеет бесконечно много корней.

Ответ: при $a \neq 2$.

36. При каких значениях $a$ уравнение:

1) $(2a - 3)x = a + 1$;

2) $(4 - 5a)x = 3 - a$

не имеет корней?

Линейное уравнение вида $kx = b$ не имеет корней в том случае, когда коэффициент при переменной $x$ равен нулю ($k = 0$), а свободный член (правая часть уравнения) не равен нулю ($b \neq 0$). Это приводит к уравнению вида $0 \cdot x = b$, где $b \neq 0$, что невозможно ни при каком значении $x$.

Таким образом, для каждого уравнения нам нужно найти такое значение параметра $a$, при котором коэффициент при $x$ обращается в ноль, а правая часть уравнения — нет.

1) $(2a - 3)x = a + 1$

В этом уравнении коэффициент при $x$ равен $k = 2a - 3$, а правая часть равна $b = a + 1$.

Уравнение не имеет корней, если выполняются условия:

$\begin{cases} 2a - 3 = 0 \\ a + 1 \neq 0 \end{cases}$

Сначала решим первое уравнение системы:

$2a - 3 = 0$

$2a = 3$

$a = \frac{3}{2} = 1.5$

Теперь проверим, выполняется ли второе условие при найденном значении $a$:

$a + 1 \neq 0$

$1.5 + 1 \neq 0$

$2.5 \neq 0$

Условие выполнено. Значит, при $a = 1.5$ уравнение не имеет корней.

Ответ: $a = 1.5$.

2) $(4 - 5a)x = 3 - a$

В этом уравнении коэффициент при $x$ равен $k = 4 - 5a$, а правая часть равна $b = 3 - a$.

Уравнение не имеет корней, если выполняются условия:

$\begin{cases} 4 - 5a = 0 \\ 3 - a \neq 0 \end{cases}$

Сначала решим первое уравнение системы:

$4 - 5a = 0$

$5a = 4$

$a = \frac{4}{5} = 0.8$

Теперь проверим, выполняется ли второе условие при найденном значении $a$:

$3 - a \neq 0$

$3 - 0.8 \neq 0$

$2.2 \neq 0$

Условие выполнено. Значит, при $a = 0.8$ уравнение не имеет корней.

Ответ: $a = 0.8$.

37. Установить, при каком значении $a$ любое число является корнем уравнения:

1) $7x + 2 - ax = 2(x + 1);$

2) $(3 - a)x + 4x = 2 - 5x.$

Чтобы любое число являлось корнем линейного уравнения, это уравнение должно быть тождеством, то есть после всех преобразований оно должно принять вид $0 \cdot x = 0$. Это означает, что коэффициент при переменной $x$ должен быть равен нулю, и свободный член (число без переменной) также должен быть равен нулю.

1) $7x + 2 - ax = 2(x + 1)$

Сначала преобразуем уравнение, раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые с $x$ в одной части, а свободные члены — в другой.

Раскроем скобки в правой части:

$7x + 2 - ax = 2x + 2$

Перенесем все слагаемые с $x$ влево, а числа — вправо:

$7x - ax - 2x = 2 - 2$

Вынесем $x$ за скобки в левой части и упростим правую часть:

$(7 - a - 2)x = 0$

Упростим выражение в скобках:

$(5 - a)x = 0$

Мы получили уравнение вида $B \cdot x = C$, где $B = 5 - a$ и $C = 0$. Чтобы оно было верным для любого $x$, коэффициент при $x$ должен быть равен нулю.

$5 - a = 0$

Решая это уравнение, находим $a$:

$a = 5$

При $a = 5$ исходное уравнение превращается в $0 \cdot x = 0$, что является верным равенством для любого числа $x$.

Ответ: $a=5$.

2) $(3 - a)x + 4x = 2 - 5x$

Так же, как и в первом случае, преобразуем уравнение, собрав все слагаемые с $x$ в левой части.

$(3 - a)x + 4x + 5x = 2$

Вынесем $x$ за скобки:

$(3 - a + 4 + 5)x = 2$

Упростим выражение в скобках:

$(12 - a)x = 2$

Мы получили уравнение вида $B \cdot x = C$, где $B = 12 - a$ и $C = 2$. Чтобы это уравнение имело бесконечно много корней (т.е. чтобы корнем было любое число), оно должно иметь вид $0 \cdot x = 0$. Это требует одновременного выполнения двух условий:

1. Коэффициент при $x$ должен быть равен нулю: $12 - a = 0$.
2. Свободный член должен быть равен нулю: $2 = 0$.

Из первого условия находим, что $a = 12$.

Однако второе условие, $2 = 0$, является ложным и не выполняется ни при каком значении $a$. Следовательно, невозможно подобрать такое значение $a$, при котором уравнение станет тождеством $0 \cdot x = 0$. Если подставить $a = 12$, мы получим уравнение $0 \cdot x = 2$, которое не имеет решений.

Ответ: таких значений $a$ не существует.

38. Решить уравнение, в котором a и b — некоторые числа,

x — неизвестное:

1) $a(x - 5) = 2x - 3;$

2) $3(x - a) = 21 + 3x;$

3) $2(ax - 3) = 3x - 6;$

4) $2ax = b - 1;$

5) $3 - bx = a;$

6) $5b = a(x + 2);$

7) $2a = b(x + 2);$

8) $3(x + b) = 2(ax - 6).$

1) a(x - 5) = 2x - 3;

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения: $ax - 5a = 2x - 3$.

Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:

$ax - 2x = 5a - 3$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(a - 2) = 5a - 3$

Дальнейшее решение зависит от значения выражения в скобках, $(a - 2)$.

• Если $a - 2 \neq 0$, то есть $a \neq 2$, то мы можем разделить обе части уравнения на $(a - 2)$ и найти $x$:
  $x = \frac{5a - 3}{a - 2}$
• Если $a - 2 = 0$, то есть $a = 2$, уравнение принимает вид $x \cdot 0 = 5 \cdot 2 - 3$, или $0 = 7$. Это равенство неверно, следовательно, при $a = 2$ уравнение не имеет решений.

Ответ: если $a \ne 2$, то $x = \frac{5a - 3}{a - 2}$; если $a = 2$, то корней нет.

2) 3(x - a) = 21 + 3x;

Раскроем скобки в левой части:

$3x - 3a = 21 + 3x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону:

$3x - 3x = 21 + 3a$

$0 \cdot x = 21 + 3a$

Рассмотрим два случая:

• Если правая часть равна нулю, то есть $21 + 3a = 0$, что эквивалентно $3a = -21$ или $a = -7$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это равенство верно для любого значения $x$.
• Если правая часть не равна нулю, то есть $a \neq -7$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = C$, где $C$ — ненулевое число. Такое уравнение не имеет решений.

Ответ: если $a = -7$, то $x$ — любое число; если $a \ne -7$, то корней нет.

3) 2(ax - 3) = 3x - 6;

Раскроем скобки:

$2ax - 6 = 3x - 6$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$2ax - 3x = -6 + 6$

$2ax - 3x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(2a - 3) = 0$

Рассмотрим два случая:

• Если $2a - 3 \neq 0$, то есть $a \neq \frac{3}{2}$, то для выполнения равенства необходимо, чтобы $x = 0$.
• Если $2a - 3 = 0$, то есть $a = \frac{3}{2}$, уравнение принимает вид $x \cdot 0 = 0$. Это равенство верно для любого значения $x$.

Ответ: если $a \ne \frac{3}{2}$, то $x = 0$; если $a = \frac{3}{2}$, то $x$ — любое число.

4) 2ax = b - 1;

Это уравнение вида $kx = m$, где $k = 2a$ и $m = b - 1$.

• Если коэффициент $2a \neq 0$, то есть $a \neq 0$, то уравнение имеет единственный корень:
  $x = \frac{b - 1}{2a}$
• Если коэффициент $2a = 0$, то есть $a = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = b - 1$. Здесь возможны два подслучая:
  • Если $b - 1 = 0$, то есть $b = 1$, уравнение становится $0 \cdot x = 0$, что верно для любого $x$.
  • Если $b - 1 \neq 0$, то есть $b \neq 1$, уравнение становится $0 \cdot x = C$ (где $C \neq 0$), что не имеет решений.

Ответ: если $a \ne 0$, то $x = \frac{b - 1}{2a}$; если $a = 0$ и $b = 1$, то $x$ — любое число; если $a = 0$ и $b \ne 1$, то корней нет.

5) 3 - bx = a;

Перенесем 3 в правую часть:

$-bx = a - 3$

Умножим обе части на -1:

$bx = 3 - a$

Рассмотрим случаи в зависимости от параметра $b$:

• Если $b \neq 0$, то мы можем разделить обе части на $b$:
  $x = \frac{3 - a}{b}$
• Если $b = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 3 - a$. Здесь возможны два подслучая:
  • Если $3 - a = 0$, то есть $a = 3$, уравнение становится $0 \cdot x = 0$, что верно для любого $x$.
  • Если $3 - a \neq 0$, то есть $a \neq 3$, уравнение не имеет решений.

Ответ: если $b \ne 0$, то $x = \frac{3 - a}{b}$; если $b = 0$ и $a = 3$, то $x$ — любое число; если $b = 0$ и $a \ne 3$, то корней нет.

6) 5b = a(x + 2);

Раскроем скобки в правой части:

$5b = ax + 2a$

Выразим слагаемое с $x$:

$ax = 5b - 2a$

Рассмотрим случаи в зависимости от параметра $a$:

• Если $a \neq 0$, разделим обе части на $a$:
  $x = \frac{5b - 2a}{a}$ или $x = \frac{5b}{a} - 2$
• Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 5b - 2 \cdot 0$, то есть $0 = 5b$, что означает $b=0$.
  • Если $a = 0$ и $b = 0$, исходное уравнение становится $0=0$, что верно для любого $x$.
  • Если $a = 0$ и $b \neq 0$, уравнение принимает вид $5b = 0$, что является ложным утверждением. В этом случае решений нет.

Ответ: если $a \ne 0$, то $x = \frac{5b}{a} - 2$; если $a = 0$ и $b = 0$, то $x$ — любое число; если $a = 0$ и $b \ne 0$, то корней нет.

7) 2a = b(x + 2);

Раскроем скобки:

$2a = bx + 2b$

Выразим слагаемое с $x$:

$bx = 2a - 2b$

Рассмотрим случаи в зависимости от параметра $b$:

• Если $b \neq 0$, разделим обе части на $b$:
  $x = \frac{2a - 2b}{b}$ или $x = \frac{2a}{b} - 2$
• Если $b = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 2a - 2 \cdot 0$, то есть $0 = 2a$, что означает $a=0$.
  • Если $b = 0$ и $a = 0$, исходное уравнение становится $0=0$, что верно для любого $x$.
  • Если $b = 0$ и $a \neq 0$, уравнение принимает вид $2a = 0$, что является ложным утверждением. В этом случае решений нет.

Ответ: если $b \ne 0$, то $x = \frac{2a}{b} - 2$; если $b = 0$ и $a = 0$, то $x$ — любое число; если $b = 0$ и $a \ne 0$, то корней нет.

8) 3(x + b) = 2(ax - 6).

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3x + 3b = 2ax - 12$

Сгруппируем слагаемые с $x$ в одной части, а свободные члены — в другой:

$12 + 3b = 2ax - 3x$

Вынесем $x$ за скобки в правой части:

$12 + 3b = x(2a - 3)$

Решение зависит от значения выражения $(2a - 3)$:

• Если $2a - 3 \neq 0$, то есть $a \neq \frac{3}{2}$, то мы можем выразить $x$:
  $x = \frac{12 + 3b}{2a - 3}$
• Если $2a - 3 = 0$, то есть $a = \frac{3}{2}$, уравнение принимает вид $12 + 3b = x \cdot 0$. Здесь возможны два подслучая:
  • Если $12 + 3b = 0$, то есть $3b = -12$ или $b = -4$, уравнение становится $0 = 0$, что верно для любого $x$.
  • Если $12 + 3b \neq 0$, то есть $b \neq -4$, уравнение не имеет решений.

Ответ: если $a \ne \frac{3}{2}$, то $x = \frac{3b + 12}{2a - 3}$; если $a = \frac{3}{2}$ и $b = -4$, то $x$ — любое число; если $a = \frac{3}{2}$ и $b \ne -4$, то корней нет.

39. Найти все значения a, при которых система уравнений:

1) $ \begin{cases} 5x + ay = 40, \\ 2x + 3y = 4a; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 2x - 3ay = 5a, \\ 3x - (5a - 1)y = 7a + 1 \end{cases} $

не имеет решений.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными вида $ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $ не имеет решений тогда и только тогда, когда коэффициенты при переменных пропорциональны, но не пропорциональны свободным членам. Геометрически это означает, что прямые, являющиеся графиками уравнений, параллельны и не совпадают.

Это условие можно записать в виде пропорции: $ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $

1)

Рассмотрим систему: $ \begin{cases} 5x + ay = 40 \\ 2x + 3y = 4a \end{cases} $

Коэффициенты уравнений: $ A_1=5, B_1=a, C_1=40 $ $ A_2=2, B_2=3, C_2=4a $

Составим пропорцию для случая, когда система не имеет решений: $ \frac{5}{2} = \frac{a}{3} \neq \frac{40}{4a} $

Сначала решим первую часть пропорции (равенство): $ \frac{5}{2} = \frac{a}{3} $

Используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем: $ 2a = 5 \cdot 3 $ $ 2a = 15 $ $ a = \frac{15}{2} = 7.5 $

Теперь необходимо проверить, выполняется ли при найденном значении $a$ вторая часть условия (неравенство): $ \frac{a}{3} \neq \frac{40}{4a} $

Подставим $ a = 7.5 $: $ \frac{7.5}{3} \neq \frac{40}{4 \cdot 7.5} $ $ 2.5 \neq \frac{40}{30} $ $ \frac{5}{2} \neq \frac{4}{3} $

Неравенство верно. Следовательно, при $ a = 7.5 $ система не имеет решений.

Ответ: $a = 7.5$.

2)

Рассмотрим систему: $ \begin{cases} 2x - 3ay = 5a \\ 3x - (5a - 1)y = 7a + 1 \end{cases} $

Коэффициенты уравнений: $ A_1=2, B_1=-3a, C_1=5a $ $ A_2=3, B_2=-(5a-1), C_2=7a+1 $

Составим пропорцию для случая, когда система не имеет решений: $ \frac{2}{3} = \frac{-3a}{-(5a-1)} \neq \frac{5a}{7a+1} $

Решим первую часть пропорции (равенство): $ \frac{2}{3} = \frac{3a}{5a-1} $

Применяя свойство пропорции, получаем: $ 2(5a-1) = 3(3a) $ $ 10a - 2 = 9a $ $ 10a - 9a = 2 $ $ a = 2 $

Теперь проверим выполнение второй части условия (неравенство) при $ a = 2 $: $ \frac{3a}{5a-1} \neq \frac{5a}{7a+1} $

Подставим $ a = 2 $: $ \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2 - 1} \neq \frac{5 \cdot 2}{7 \cdot 2 + 1} $ $ \frac{6}{10 - 1} \neq \frac{10}{14 + 1} $ $ \frac{6}{9} \neq \frac{10}{15} $ $ \frac{2}{3} \neq \frac{2}{3} $

Это неравенство ложно, так как при $ a=2 $ левая и правая части равны. Это означает, что при $ a=2 $ выполняется условие $ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $, при котором система имеет бесконечно много решений (прямые совпадают). При всех остальных значениях $a$ ($a \neq 2$) система будет иметь единственное решение, так как $ \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2} $.

Таким образом, не существует такого значения $ a $, при котором данная система не имеет решений.

Ответ: таких значений $a$ не существует.

40. Найти все значения a, при которых система уравнений:

1) $$ \begin{cases} x + (a - 1)y = a, \\ 5x + (3a + 1)y = 15; \end{cases} $$

2) $$ \begin{cases} x - (a + 1)y = 2a, \\ ax - 6y = 8 \end{cases} $$

имеет бесконечно много решений. Найти эти решения.

1) Система линейных уравнений вида $\begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases}$ имеет бесконечно много решений тогда и только тогда, когда коэффициенты уравнений пропорциональны: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$.
Для данной системы $\begin{cases} x + (a - 1)y = a \\ 5x + (3a + 1)y = 15 \end{cases}$ имеем:
$A_1 = 1, B_1 = a - 1, C_1 = a$
$A_2 = 5, B_2 = 3a + 1, C_2 = 15$
Запишем условие пропорциональности: $\frac{1}{5} = \frac{a - 1}{3a + 1} = \frac{a}{15}$
Из пропорции $\frac{1}{5} = \frac{a}{15}$ находим $a$:
$5a = 15 \implies a = 3$.
Проверим, выполняется ли при этом значении $a$ равенство $\frac{1}{5} = \frac{a - 1}{3a + 1}$:
$\frac{3 - 1}{3(3) + 1} = \frac{2}{9 + 1} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Равенство $\frac{1}{5} = \frac{1}{5}$ верно. Следовательно, система имеет бесконечно много решений только при $a=3$.
Найдем эти решения. Подставим $a=3$ в исходную систему:
$\begin{cases} x + (3 - 1)y = 3 \\ 5x + (3(3) + 1)y = 15 \end{cases} \implies \begin{cases} x + 2y = 3 \\ 5x + 10y = 15 \end{cases}$
Второе уравнение получается из первого умножением на 5, поэтому система сводится к одному уравнению: $x + 2y = 3$.
Выразим $x$ через $y$: $x = 3 - 2y$.
Таким образом, решениями системы являются все пары чисел $(x, y)$, где $y$ - любое действительное число, а $x$ вычисляется по формуле $x = 3 - 2y$.

Ответ: система имеет бесконечно много решений при $a=3$. Эти решения имеют вид $(3 - 2y, y)$, где $y \in \mathbb{R}$.

2) Для системы $\begin{cases} x - (a + 1)y = 2a \\ ax - 6y = 8 \end{cases}$ условие бесконечного множества решений принимает вид:
$\frac{1}{a} = \frac{-(a + 1)}{-6} = \frac{2a}{8}$
Заметим, что при $a=0$ система $\begin{cases} x - y = 0 \\ -6y = 8 \end{cases}$ имеет единственное решение, поэтому $a \neq 0$.
Упростим пропорцию:
$\frac{1}{a} = \frac{a + 1}{6} = \frac{a}{4}$
Из пропорции $\frac{1}{a} = \frac{a}{4}$ находим $a$:
$a^2 = 4 \implies a = 2$ или $a = -2$.
Проверим найденные значения $a$ для оставшейся части пропорции, например, $\frac{a + 1}{6} = \frac{a}{4}$.
При $a = 2$:
$\frac{2 + 1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ и $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Равенство $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ верно.
При $a = -2$:
$\frac{-2 + 1}{6} = -\frac{1}{6}$ и $\frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$. Равенство $-\frac{1}{6} = -\frac{1}{2}$ неверно.
Следовательно, система имеет бесконечно много решений только при $a=2$.
Найдем эти решения. Подставим $a=2$ в систему:
$\begin{cases} x - (2 + 1)y = 2(2) \\ 2x - 6y = 8 \end{cases} \implies \begin{cases} x - 3y = 4 \\ 2x - 6y = 8 \end{cases}$
Второе уравнение получается из первого умножением на 2, поэтому система сводится к одному уравнению: $x - 3y = 4$.
Выразим $x$ через $y$: $x = 4 + 3y$.
Решениями системы являются все пары чисел $(x, y)$, где $y$ - любое действительное число, а $x = 4 + 3y$.

Ответ: система имеет бесконечно много решений при $a=2$. Эти решения имеют вид $(4 + 3y, y)$, где $y \in \mathbb{R}$.

41. 1) Бригада должна была выполнить заказ за 25 дней. Ежедневно перевыполняя норму на 7 деталей, бригада за 20 дней перевыполнила план на 35 деталей. Сколько деталей в день изготавливала бригада?

2) Заказ по производству сейфовых дверей цех должен был выполнить за 28 дней. Однако уже за день до срока цех не только выполнил заказ, но и изготовил сверх заказа одну дверь, так как делал на две двери в день больше. Сколько дверей цех планировал выпускать ежедневно?

1)

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это плановая норма изготовления деталей в день.
По условию, бригада должна была выполнить заказ за 25 дней. Значит, общий объем заказа составляет $25x$ деталей.
Фактически бригада ежедневно перевыполняла норму на 7 деталей, то есть изготавливала $x + 7$ деталей в день.
Бригада работала 20 дней. За это время она изготовила $20 \cdot (x + 7)$ деталей.
Также из условия известно, что за 20 дней бригада перевыполнила план на 35 деталей. Это означает, что количество фактически изготовленных деталей равно плановому количеству деталей плюс еще 35.
Составим и решим уравнение, приравняв фактическое количество деталей к плановому, увеличенному на 35:
$20 \cdot (x + 7) = 25x + 35$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$20x + 140 = 25x + 35$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:
$140 - 35 = 25x - 20x$
$105 = 5x$
$x = \frac{105}{5}$
$x = 21$
Мы нашли плановую норму — 21 деталь в день.
В вопросе спрашивается, сколько деталей в день изготавливала бригада фактически.
Фактическая производительность: $x + 7 = 21 + 7 = 28$ деталей в день.

Ответ: 28 деталей.

2)

Пусть $y$ — это плановое количество сейфовых дверей, которое цех должен был выпускать ежедневно.
Плановый срок выполнения заказа — 28 дней. Следовательно, весь заказ составляет $28y$ дверей.
Фактически цех изготавливал на 2 двери в день больше, то есть его производительность была $y + 2$ двери в день.
Цех завершил работу за день до установленного срока, то есть он работал $28 - 1 = 27$ дней.
За 27 дней цех изготовил $27 \cdot (y + 2)$ дверей.
По условию, за это время цех не только выполнил весь заказ, но и изготовил сверх него одну дверь. Это значит, что фактическое количество изготовленных дверей равно плановому объему заказа плюс еще одна дверь.
Составим и решим уравнение:
$27 \cdot (y + 2) = 28y + 1$
Раскроем скобки:
$27y + 54 = 28y + 1$
Сгруппируем переменные и константы:
$54 - 1 = 28y - 27y$
$y = 53$
Мы нашли $y$, что и является плановой ежедневной нормой выпуска дверей, о которой спрашивается в задаче.

Ответ: 53 двери.