Номер 38, страница 17 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

38. Решить уравнение, в котором a и b — некоторые числа,

x — неизвестное:

1) $a(x - 5) = 2x - 3;$

2) $3(x - a) = 21 + 3x;$

3) $2(ax - 3) = 3x - 6;$

4) $2ax = b - 1;$

5) $3 - bx = a;$

6) $5b = a(x + 2);$

7) $2a = b(x + 2);$

8) $3(x + b) = 2(ax - 6).$

1) a(x - 5) = 2x - 3;

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения: $ax - 5a = 2x - 3$.

Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:

$ax - 2x = 5a - 3$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(a - 2) = 5a - 3$

Дальнейшее решение зависит от значения выражения в скобках, $(a - 2)$.

• Если $a - 2 \neq 0$, то есть $a \neq 2$, то мы можем разделить обе части уравнения на $(a - 2)$ и найти $x$:
  $x = \frac{5a - 3}{a - 2}$
• Если $a - 2 = 0$, то есть $a = 2$, уравнение принимает вид $x \cdot 0 = 5 \cdot 2 - 3$, или $0 = 7$. Это равенство неверно, следовательно, при $a = 2$ уравнение не имеет решений.

Ответ: если $a \ne 2$, то $x = \frac{5a - 3}{a - 2}$; если $a = 2$, то корней нет.

2) 3(x - a) = 21 + 3x;

Раскроем скобки в левой части:

$3x - 3a = 21 + 3x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону:

$3x - 3x = 21 + 3a$

$0 \cdot x = 21 + 3a$

Рассмотрим два случая:

• Если правая часть равна нулю, то есть $21 + 3a = 0$, что эквивалентно $3a = -21$ или $a = -7$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это равенство верно для любого значения $x$.
• Если правая часть не равна нулю, то есть $a \neq -7$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = C$, где $C$ — ненулевое число. Такое уравнение не имеет решений.

Ответ: если $a = -7$, то $x$ — любое число; если $a \ne -7$, то корней нет.

3) 2(ax - 3) = 3x - 6;

Раскроем скобки:

$2ax - 6 = 3x - 6$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$2ax - 3x = -6 + 6$

$2ax - 3x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(2a - 3) = 0$

Рассмотрим два случая:

• Если $2a - 3 \neq 0$, то есть $a \neq \frac{3}{2}$, то для выполнения равенства необходимо, чтобы $x = 0$.
• Если $2a - 3 = 0$, то есть $a = \frac{3}{2}$, уравнение принимает вид $x \cdot 0 = 0$. Это равенство верно для любого значения $x$.

Ответ: если $a \ne \frac{3}{2}$, то $x = 0$; если $a = \frac{3}{2}$, то $x$ — любое число.

4) 2ax = b - 1;

Это уравнение вида $kx = m$, где $k = 2a$ и $m = b - 1$.

• Если коэффициент $2a \neq 0$, то есть $a \neq 0$, то уравнение имеет единственный корень:
  $x = \frac{b - 1}{2a}$
• Если коэффициент $2a = 0$, то есть $a = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = b - 1$. Здесь возможны два подслучая:
  • Если $b - 1 = 0$, то есть $b = 1$, уравнение становится $0 \cdot x = 0$, что верно для любого $x$.
  • Если $b - 1 \neq 0$, то есть $b \neq 1$, уравнение становится $0 \cdot x = C$ (где $C \neq 0$), что не имеет решений.

Ответ: если $a \ne 0$, то $x = \frac{b - 1}{2a}$; если $a = 0$ и $b = 1$, то $x$ — любое число; если $a = 0$ и $b \ne 1$, то корней нет.

5) 3 - bx = a;

Перенесем 3 в правую часть:

$-bx = a - 3$

Умножим обе части на -1:

$bx = 3 - a$

Рассмотрим случаи в зависимости от параметра $b$:

• Если $b \neq 0$, то мы можем разделить обе части на $b$:
  $x = \frac{3 - a}{b}$
• Если $b = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 3 - a$. Здесь возможны два подслучая:
  • Если $3 - a = 0$, то есть $a = 3$, уравнение становится $0 \cdot x = 0$, что верно для любого $x$.
  • Если $3 - a \neq 0$, то есть $a \neq 3$, уравнение не имеет решений.

Ответ: если $b \ne 0$, то $x = \frac{3 - a}{b}$; если $b = 0$ и $a = 3$, то $x$ — любое число; если $b = 0$ и $a \ne 3$, то корней нет.

6) 5b = a(x + 2);

Раскроем скобки в правой части:

$5b = ax + 2a$

Выразим слагаемое с $x$:

$ax = 5b - 2a$

Рассмотрим случаи в зависимости от параметра $a$:

• Если $a \neq 0$, разделим обе части на $a$:
  $x = \frac{5b - 2a}{a}$ или $x = \frac{5b}{a} - 2$
• Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 5b - 2 \cdot 0$, то есть $0 = 5b$, что означает $b=0$.
  • Если $a = 0$ и $b = 0$, исходное уравнение становится $0=0$, что верно для любого $x$.
  • Если $a = 0$ и $b \neq 0$, уравнение принимает вид $5b = 0$, что является ложным утверждением. В этом случае решений нет.

Ответ: если $a \ne 0$, то $x = \frac{5b}{a} - 2$; если $a = 0$ и $b = 0$, то $x$ — любое число; если $a = 0$ и $b \ne 0$, то корней нет.

7) 2a = b(x + 2);

Раскроем скобки:

$2a = bx + 2b$

Выразим слагаемое с $x$:

$bx = 2a - 2b$

Рассмотрим случаи в зависимости от параметра $b$:

• Если $b \neq 0$, разделим обе части на $b$:
  $x = \frac{2a - 2b}{b}$ или $x = \frac{2a}{b} - 2$
• Если $b = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 2a - 2 \cdot 0$, то есть $0 = 2a$, что означает $a=0$.
  • Если $b = 0$ и $a = 0$, исходное уравнение становится $0=0$, что верно для любого $x$.
  • Если $b = 0$ и $a \neq 0$, уравнение принимает вид $2a = 0$, что является ложным утверждением. В этом случае решений нет.

Ответ: если $b \ne 0$, то $x = \frac{2a}{b} - 2$; если $b = 0$ и $a = 0$, то $x$ — любое число; если $b = 0$ и $a \ne 0$, то корней нет.

8) 3(x + b) = 2(ax - 6).

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3x + 3b = 2ax - 12$

Сгруппируем слагаемые с $x$ в одной части, а свободные члены — в другой:

$12 + 3b = 2ax - 3x$

Вынесем $x$ за скобки в правой части:

$12 + 3b = x(2a - 3)$

Решение зависит от значения выражения $(2a - 3)$:

• Если $2a - 3 \neq 0$, то есть $a \neq \frac{3}{2}$, то мы можем выразить $x$:
  $x = \frac{12 + 3b}{2a - 3}$
• Если $2a - 3 = 0$, то есть $a = \frac{3}{2}$, уравнение принимает вид $12 + 3b = x \cdot 0$. Здесь возможны два подслучая:
  • Если $12 + 3b = 0$, то есть $3b = -12$ или $b = -4$, уравнение становится $0 = 0$, что верно для любого $x$.
  • Если $12 + 3b \neq 0$, то есть $b \neq -4$, уравнение не имеет решений.

Ответ: если $a \ne \frac{3}{2}$, то $x = \frac{3b + 12}{2a - 3}$; если $a = \frac{3}{2}$ и $b = -4$, то $x$ — любое число; если $a = \frac{3}{2}$ и $b \ne -4$, то корней нет.