Номер 37, страница 17 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

37. Установить, при каком значении $a$ любое число является корнем уравнения:

1) $7x + 2 - ax = 2(x + 1);$

2) $(3 - a)x + 4x = 2 - 5x.$

Чтобы любое число являлось корнем линейного уравнения, это уравнение должно быть тождеством, то есть после всех преобразований оно должно принять вид $0 \cdot x = 0$. Это означает, что коэффициент при переменной $x$ должен быть равен нулю, и свободный член (число без переменной) также должен быть равен нулю.

1) $7x + 2 - ax = 2(x + 1)$

Сначала преобразуем уравнение, раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые с $x$ в одной части, а свободные члены — в другой.

Раскроем скобки в правой части:

$7x + 2 - ax = 2x + 2$

Перенесем все слагаемые с $x$ влево, а числа — вправо:

$7x - ax - 2x = 2 - 2$

Вынесем $x$ за скобки в левой части и упростим правую часть:

$(7 - a - 2)x = 0$

Упростим выражение в скобках:

$(5 - a)x = 0$

Мы получили уравнение вида $B \cdot x = C$, где $B = 5 - a$ и $C = 0$. Чтобы оно было верным для любого $x$, коэффициент при $x$ должен быть равен нулю.

$5 - a = 0$

Решая это уравнение, находим $a$:

$a = 5$

При $a = 5$ исходное уравнение превращается в $0 \cdot x = 0$, что является верным равенством для любого числа $x$.

Ответ: $a=5$.

2) $(3 - a)x + 4x = 2 - 5x$

Так же, как и в первом случае, преобразуем уравнение, собрав все слагаемые с $x$ в левой части.

$(3 - a)x + 4x + 5x = 2$

Вынесем $x$ за скобки:

$(3 - a + 4 + 5)x = 2$

Упростим выражение в скобках:

$(12 - a)x = 2$

Мы получили уравнение вида $B \cdot x = C$, где $B = 12 - a$ и $C = 2$. Чтобы это уравнение имело бесконечно много корней (т.е. чтобы корнем было любое число), оно должно иметь вид $0 \cdot x = 0$. Это требует одновременного выполнения двух условий:

1. Коэффициент при $x$ должен быть равен нулю: $12 - a = 0$.
2. Свободный член должен быть равен нулю: $2 = 0$.

Из первого условия находим, что $a = 12$.

Однако второе условие, $2 = 0$, является ложным и не выполняется ни при каком значении $a$. Следовательно, невозможно подобрать такое значение $a$, при котором уравнение станет тождеством $0 \cdot x = 0$. Если подставить $a = 12$, мы получим уравнение $0 \cdot x = 2$, которое не имеет решений.

Ответ: таких значений $a$ не существует.