Номер 33, страница 17 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

33. Решить систему уравнений:

1) $\begin{cases} x - 3y = 5 - 0.2x - 20y, \\ 0.5x - y - 2 = 2 - x - 20y; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x + 5 = 1 - x + 2y, \\ 14x - 5 = 9x - 3y - 2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 7x - 3y = -2, \\ -8x + y = 12; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{1}{2}x + 3y = 1.5, \\ 0.5x - 2y = 4; \end{cases}$

5) $\begin{cases} 4x - 3y = -3, \\ -10x - 6y = 3; \end{cases}$

6) $\begin{cases} 10x + 3y = 0.1, \\ 7x - 2y = 1.3. \end{cases}$

1) Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} x - 3y = 5 - 0,2x - 20y \\ 0,5x - y - 2 = 2 - x - 20y \end{cases} $
Сначала упростим оба уравнения, перенеся все переменные в левую часть, а числа — в правую.
Первое уравнение:
$x + 0,2x - 3y + 20y = 5$
$1,2x + 17y = 5$
Второе уравнение:
$0,5x + x - y + 20y = 2 + 2$
$1,5x + 19y = 4$
Получаем упрощенную систему:
$ \begin{cases} 1,2x + 17y = 5 \\ 1,5x + 19y = 4 \end{cases} $
Чтобы избавиться от дробей, умножим первое уравнение на 5, а второе на 4:
$ \begin{cases} 5(1,2x + 17y) = 5 \cdot 5 \\ 4(1,5x + 19y) = 4 \cdot 4 \end{cases} $
$ \begin{cases} 6x + 85y = 25 \\ 6x + 76y = 16 \end{cases} $
Теперь решим систему методом сложения (вычитания). Вычтем второе уравнение из первого:
$(6x + 85y) - (6x + 76y) = 25 - 16$
$9y = 9$
$y = 1$
Подставим найденное значение $y$ в уравнение $1,5x + 19y = 4$:
$1,5x + 19(1) = 4$
$1,5x + 19 = 4$
$1,5x = 4 - 19$
$1,5x = -15$
$x = -15 / 1,5$
$x = -10$
Ответ: $x = -10$, $y = 1$.

2) Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} 2x + 5 = 1 - x + 2y \\ 14x - 5 = 9x - 3y - 2 \end{cases} $
Упростим оба уравнения.
Первое уравнение:
$2x + x - 2y = 1 - 5$
$3x - 2y = -4$
Второе уравнение:
$14x - 9x + 3y = 5 - 2$
$5x + 3y = 3$
Получаем систему:
$ \begin{cases} 3x - 2y = -4 \\ 5x + 3y = 3 \end{cases} $
Решим методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$ \begin{cases} 3(3x - 2y) = 3(-4) \\ 2(5x + 3y) = 2(3) \end{cases} $
$ \begin{cases} 9x - 6y = -12 \\ 10x + 6y = 6 \end{cases} $
Сложим два уравнения:
$(9x - 6y) + (10x + 6y) = -12 + 6$
$19x = -6$
$x = -6/19$
Подставим значение $x$ в уравнение $5x + 3y = 3$:
$5(-6/19) + 3y = 3$
$-30/19 + 3y = 3$
$3y = 3 + 30/19$
$3y = 57/19 + 30/19$
$3y = 87/19$
$y = (87/19) / 3$
$y = 29/19$
Ответ: $x = -6/19$, $y = 29/19$.

3) Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} 7x - 3y = -2 \\ -8x + y = 12 \end{cases} $
Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 12 + 8x$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$7x - 3(12 + 8x) = -2$
$7x - 36 - 24x = -2$
$-17x = 36 - 2$
$-17x = 34$
$x = -2$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 12 + 8x$:
$y = 12 + 8(-2)$
$y = 12 - 16$
$y = -4$
Ответ: $x = -2$, $y = -4$.

4) Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{1}{2}x + 3y = 1,5 \\ 0,5x - 2y = 4 \end{cases} $
Заметим, что $\frac{1}{2} = 0,5$. Система имеет вид:
$ \begin{cases} 0,5x + 3y = 1,5 \\ 0,5x - 2y = 4 \end{cases} $
Решим методом вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:
$(0,5x + 3y) - (0,5x - 2y) = 1,5 - 4$
$5y = -2,5$
$y = -0,5$
Подставим значение $y$ в уравнение $0,5x - 2y = 4$:
$0,5x - 2(-0,5) = 4$
$0,5x + 1 = 4$
$0,5x = 3$
$x = 6$
Ответ: $x = 6$, $y = -0,5$.

5) Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} 4x - 3y = -3 \\ -10x - 6y = 3 \end{cases} $
Решим методом сложения. Умножим первое уравнение на -2:
$-2(4x - 3y) = -2(-3)$
$-8x + 6y = 6$
Теперь система выглядит так:
$ \begin{cases} -8x + 6y = 6 \\ -10x - 6y = 3 \end{cases} $
Сложим два уравнения:
$(-8x + 6y) + (-10x - 6y) = 6 + 3$
$-18x = 9$
$x = -9/18 = -1/2$
Подставим значение $x$ в первое исходное уравнение $4x - 3y = -3$:
$4(-1/2) - 3y = -3$
$-2 - 3y = -3$
$-3y = -1$
$y = 1/3$
Ответ: $x = -1/2$, $y = 1/3$.

6) Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} 10x + 3y = 0,1 \\ 7x - 2y = 1,3 \end{cases} $
Решим методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3:
$ \begin{cases} 2(10x + 3y) = 2(0,1) \\ 3(7x - 2y) = 3(1,3) \end{cases} $
$ \begin{cases} 20x + 6y = 0,2 \\ 21x - 6y = 3,9 \end{cases} $
Сложим два полученных уравнения:
$(20x + 6y) + (21x - 6y) = 0,2 + 3,9$
$41x = 4,1$
$x = 4,1 / 41$
$x = 0,1$
Подставим значение $x$ в первое исходное уравнение $10x + 3y = 0,1$:
$10(0,1) + 3y = 0,1$
$1 + 3y = 0,1$
$3y = 0,1 - 1$
$3y = -0,9$
$y = -0,3$
Ответ: $x = 0,1$, $y = -0,3$.