Номер 40, страница 17 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

40. Найти все значения a, при которых система уравнений:

1) $$ \begin{cases} x + (a - 1)y = a, \\ 5x + (3a + 1)y = 15; \end{cases} $$

2) $$ \begin{cases} x - (a + 1)y = 2a, \\ ax - 6y = 8 \end{cases} $$

имеет бесконечно много решений. Найти эти решения.

1) Система линейных уравнений вида $\begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases}$ имеет бесконечно много решений тогда и только тогда, когда коэффициенты уравнений пропорциональны: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$.
Для данной системы $\begin{cases} x + (a - 1)y = a \\ 5x + (3a + 1)y = 15 \end{cases}$ имеем:
$A_1 = 1, B_1 = a - 1, C_1 = a$
$A_2 = 5, B_2 = 3a + 1, C_2 = 15$
Запишем условие пропорциональности: $\frac{1}{5} = \frac{a - 1}{3a + 1} = \frac{a}{15}$
Из пропорции $\frac{1}{5} = \frac{a}{15}$ находим $a$:
$5a = 15 \implies a = 3$.
Проверим, выполняется ли при этом значении $a$ равенство $\frac{1}{5} = \frac{a - 1}{3a + 1}$:
$\frac{3 - 1}{3(3) + 1} = \frac{2}{9 + 1} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Равенство $\frac{1}{5} = \frac{1}{5}$ верно. Следовательно, система имеет бесконечно много решений только при $a=3$.
Найдем эти решения. Подставим $a=3$ в исходную систему:
$\begin{cases} x + (3 - 1)y = 3 \\ 5x + (3(3) + 1)y = 15 \end{cases} \implies \begin{cases} x + 2y = 3 \\ 5x + 10y = 15 \end{cases}$
Второе уравнение получается из первого умножением на 5, поэтому система сводится к одному уравнению: $x + 2y = 3$.
Выразим $x$ через $y$: $x = 3 - 2y$.
Таким образом, решениями системы являются все пары чисел $(x, y)$, где $y$ - любое действительное число, а $x$ вычисляется по формуле $x = 3 - 2y$.

Ответ: система имеет бесконечно много решений при $a=3$. Эти решения имеют вид $(3 - 2y, y)$, где $y \in \mathbb{R}$.

2) Для системы $\begin{cases} x - (a + 1)y = 2a \\ ax - 6y = 8 \end{cases}$ условие бесконечного множества решений принимает вид:
$\frac{1}{a} = \frac{-(a + 1)}{-6} = \frac{2a}{8}$
Заметим, что при $a=0$ система $\begin{cases} x - y = 0 \\ -6y = 8 \end{cases}$ имеет единственное решение, поэтому $a \neq 0$.
Упростим пропорцию:
$\frac{1}{a} = \frac{a + 1}{6} = \frac{a}{4}$
Из пропорции $\frac{1}{a} = \frac{a}{4}$ находим $a$:
$a^2 = 4 \implies a = 2$ или $a = -2$.
Проверим найденные значения $a$ для оставшейся части пропорции, например, $\frac{a + 1}{6} = \frac{a}{4}$.
При $a = 2$:
$\frac{2 + 1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ и $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Равенство $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ верно.
При $a = -2$:
$\frac{-2 + 1}{6} = -\frac{1}{6}$ и $\frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$. Равенство $-\frac{1}{6} = -\frac{1}{2}$ неверно.
Следовательно, система имеет бесконечно много решений только при $a=2$.
Найдем эти решения. Подставим $a=2$ в систему:
$\begin{cases} x - (2 + 1)y = 2(2) \\ 2x - 6y = 8 \end{cases} \implies \begin{cases} x - 3y = 4 \\ 2x - 6y = 8 \end{cases}$
Второе уравнение получается из первого умножением на 2, поэтому система сводится к одному уравнению: $x - 3y = 4$.
Выразим $x$ через $y$: $x = 4 + 3y$.
Решениями системы являются все пары чисел $(x, y)$, где $y$ - любое действительное число, а $x = 4 + 3y$.

Ответ: система имеет бесконечно много решений при $a=2$. Эти решения имеют вид $(4 + 3y, y)$, где $y \in \mathbb{R}$.