Номер 43, страница 18 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

43. 1) Из двух городов, расстояние между которыми 620 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Скорость одного поезда на 10 $\text{км/ч}$ меньше скорости другого. Найти скорости поездов, если через 3 ч после начала движения расстояние между ними сократилось до 170 км.

2) Из города $A$ в город $B$, расстояние между которыми 905 км, выехал автомобиль. Через час из города $B$ в город $A$ по той же автостраде навстречу ему выехал другой автомобиль со скоростью, на 5 $\text{км/ч}$ большей. Определить скорости автомобилей, если известно, что через 4 ч после начала движения второго автомобиля расстояние между ними сократилось до 120 км.

1) Пусть скорость одного поезда, которая меньше, равна $x$ км/ч. Тогда скорость второго поезда равна $(x + 10)$ км/ч.
Поезда движутся навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = x + (x + 10) = (2x + 10)$ км/ч.
Изначальное расстояние между поездами было 620 км. Через 3 часа расстояние сократилось до 170 км. Это значит, что за 3 часа они вместе проехали расстояние, равное разности начального и конечного расстояний.
Пройденное расстояние: $S = 620 - 170 = 450$ км.
Расстояние, пройденное обоими поездами, также можно выразить через скорость сближения и время: $S = v_{сбл} \cdot t$.
Составим и решим уравнение:
$(2x + 10) \cdot 3 = 450$
$2x + 10 = 450 / 3$
$2x + 10 = 150$
$2x = 150 - 10$
$2x = 140$
$x = 70$ (км/ч) – скорость первого поезда.
Теперь найдем скорость второго поезда:
$x + 10 = 70 + 10 = 80$ (км/ч) – скорость второго поезда.

Ответ: скорость одного поезда 70 км/ч, скорость другого поезда 80 км/ч.

2) Пусть скорость автомобиля, выехавшего из города А, равна $x$ км/ч. Тогда скорость второго автомобиля, выехавшего из города В, равна $(x + 5)$ км/ч.
Второй автомобиль выехал на 1 час позже и был в пути 4 часа. Значит, первый автомобиль был в пути $4 + 1 = 5$ часов.
За 5 часов первый автомобиль проехал расстояние $S_1 = 5x$ км.
За 4 часа второй автомобиль проехал расстояние $S_2 = 4(x + 5)$ км.
Изначальное расстояние между городами 905 км, а через указанное время оно стало 120 км. Значит, вместе автомобили проехали:
$S_{общ} = 905 - 120 = 785$ км.
Сумма расстояний, которые проехал каждый автомобиль, равна общему пройденному расстоянию: $S_1 + S_2 = S_{общ}$.
Составим и решим уравнение:
$5x + 4(x + 5) = 785$
$5x + 4x + 20 = 785$
$9x = 785 - 20$
$9x = 765$
$x = 765 / 9$
$x = 85$ (км/ч) – скорость первого автомобиля (из города А).
Теперь найдем скорость второго автомобиля:
$x + 5 = 85 + 5 = 90$ (км/ч) – скорость второго автомобиля (из города В).

Ответ: скорость автомобиля, выехавшего из города А, – 85 км/ч, а скорость автомобиля, выехавшего из города В, – 90 км/ч.