Номер 41, страница 17 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

41. 1) Бригада должна была выполнить заказ за 25 дней. Ежедневно перевыполняя норму на 7 деталей, бригада за 20 дней перевыполнила план на 35 деталей. Сколько деталей в день изготавливала бригада?

2) Заказ по производству сейфовых дверей цех должен был выполнить за 28 дней. Однако уже за день до срока цех не только выполнил заказ, но и изготовил сверх заказа одну дверь, так как делал на две двери в день больше. Сколько дверей цех планировал выпускать ежедневно?

1)

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это плановая норма изготовления деталей в день.
По условию, бригада должна была выполнить заказ за 25 дней. Значит, общий объем заказа составляет $25x$ деталей.
Фактически бригада ежедневно перевыполняла норму на 7 деталей, то есть изготавливала $x + 7$ деталей в день.
Бригада работала 20 дней. За это время она изготовила $20 \cdot (x + 7)$ деталей.
Также из условия известно, что за 20 дней бригада перевыполнила план на 35 деталей. Это означает, что количество фактически изготовленных деталей равно плановому количеству деталей плюс еще 35.
Составим и решим уравнение, приравняв фактическое количество деталей к плановому, увеличенному на 35:
$20 \cdot (x + 7) = 25x + 35$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$20x + 140 = 25x + 35$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:
$140 - 35 = 25x - 20x$
$105 = 5x$
$x = \frac{105}{5}$
$x = 21$
Мы нашли плановую норму — 21 деталь в день.
В вопросе спрашивается, сколько деталей в день изготавливала бригада фактически.
Фактическая производительность: $x + 7 = 21 + 7 = 28$ деталей в день.

Ответ: 28 деталей.

2)

Пусть $y$ — это плановое количество сейфовых дверей, которое цех должен был выпускать ежедневно.
Плановый срок выполнения заказа — 28 дней. Следовательно, весь заказ составляет $28y$ дверей.
Фактически цех изготавливал на 2 двери в день больше, то есть его производительность была $y + 2$ двери в день.
Цех завершил работу за день до установленного срока, то есть он работал $28 - 1 = 27$ дней.
За 27 дней цех изготовил $27 \cdot (y + 2)$ дверей.
По условию, за это время цех не только выполнил весь заказ, но и изготовил сверх него одну дверь. Это значит, что фактическое количество изготовленных дверей равно плановому объему заказа плюс еще одна дверь.
Составим и решим уравнение:
$27 \cdot (y + 2) = 28y + 1$
Раскроем скобки:
$27y + 54 = 28y + 1$
Сгруппируем переменные и константы:
$54 - 1 = 28y - 27y$
$y = 53$
Мы нашли $y$, что и является плановой ежедневной нормой выпуска дверей, о которой спрашивается в задаче.

Ответ: 53 двери.