Страница 23 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

56. Показать, что решением неравенства $3x - 2 < 3(x + 2) - 5$ является любое число.

Для того чтобы доказать, что решением неравенства является любое

57. Найти наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству:

1) $\frac{3x-1}{2} + \frac{2x+1}{3} < 2;$

2) $\frac{1-4x}{6} - \frac{2-3x}{4} < -1.$

1) Чтобы решить неравенство $\frac{3x-1}{2} + \frac{2x+1}{3} < 2$, сначала приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 - это 6. Умножим обе части неравенства на 6:

$6 \cdot \left(\frac{3x-1}{2} + \frac{2x+1}{3}\right) < 6 \cdot 2$

$3(3x-1) + 2(2x+1) < 12$

Раскроем скобки:

$9x - 3 + 4x + 2 < 12$

Приведем подобные слагаемые:

$13x - 1 < 12$

Перенесем -1 в правую часть с противоположным знаком:

$13x < 12 + 1$

$13x < 13$

Разделим обе части на 13:

$x < 1$

Мы ищем наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству. Наибольшее целое число, которое меньше 1, это 0.

Ответ: 0

2) Чтобы решить неравенство $\frac{1-4x}{6} - \frac{2-3x}{4} \le -1$, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 4 - это 12. Умножим обе части неравенства на 12:

$12 \cdot \left(\frac{1-4x}{6} - \frac{2-3x}{4}\right) \le 12 \cdot (-1)$

$2(1-4x) - 3(2-3x) \le -12$

Раскроем скобки. Обратите внимание на знак "минус" перед второй дробью:

$2 - 8x - 6 + 9x \le -12$

Приведем подобные слагаемые:

$(-8x+9x) + (2-6) \le -12$

$x - 4 \le -12$

Перенесем -4 в правую часть с противоположным знаком:

$x \le -12 + 4$

$x \le -8$

Мы ищем наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству. Наибольшее целое число, которое меньше или равно -8, это само число -8.

Ответ: -8

58. Решить систему неравенств:

1) $\begin{cases} 3x - 5 > x - 7, \\ x + 4 < 2(x + 1); \end{cases}$

2) $\begin{cases} 4(x + 1) < 3(x + 2) + 1, \\ -2x + 1 \le 1 - 7x; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 0,5x + 3 \le -1,5x, \\ 5(2 - x) < 3(1 - x) + 3; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 0,3x + 0,1 \ge 0,2x - 0,1, \\ 6(x + 2) > 7x + 8. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 3x - 5 > x - 7 \\ x + 4 < 2(x + 1) \end{cases} $
Сначала решим первое неравенство:
$3x - 5 > x - 7$
$3x - x > -7 + 5$
$2x > -2$
$x > -1$
Теперь решим второе неравенство:
$x + 4 < 2(x + 1)$
$x + 4 < 2x + 2$
$4 - 2 < 2x - x$
$2 < x$
Найдем пересечение полученных решений: $x > -1$ и $x > 2$. Общим решением системы является множество значений $x$, удовлетворяющих обоим неравенствам одновременно. Это промежуток $x > 2$.
Ответ: $x \in (2, +\infty)$.

2) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 4(x + 1) < 3(x + 2) + 1 \\ -2x + 1 \le 1 - 7x \end{cases} $
Сначала решим первое неравенство:
$4(x + 1) < 3(x + 2) + 1$
$4x + 4 < 3x + 6 + 1$
$4x + 4 < 3x + 7$
$4x - 3x < 7 - 4$
$x < 3$
Теперь решим второе неравенство:
$-2x + 1 \le 1 - 7x$
$7x - 2x \le 1 - 1$
$5x \le 0$
$x \le 0$
Найдем пересечение полученных решений: $x < 3$ и $x \le 0$. Общим решением является множество значений $x$, которые одновременно меньше 3 и меньше либо равны 0. Это промежуток $x \le 0$.
Ответ: $x \in (-\infty, 0]$.

3) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 0,5x + 3 \le -1,5x \\ 5(2 - x) < 3(1 - x) + 3 \end{cases} $
Сначала решим первое неравенство:
$0,5x + 3 \le -1,5x$
$0,5x + 1,5x \le -3$
$2x \le -3$
$x \le -1,5$
Теперь решим второе неравенство:
$5(2 - x) < 3(1 - x) + 3$
$10 - 5x < 3 - 3x + 3$
$10 - 5x < 6 - 3x$
$10 - 6 < 5x - 3x$
$4 < 2x$
$2 < x$
Найдем пересечение полученных решений: $x \le -1,5$ и $x > 2$. Множества решений этих двух неравенств не пересекаются, так как не существует числа, которое было бы одновременно меньше или равно -1,5 и больше 2.
Ответ: решений нет.

4) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 0,3x + 0,1 \ge 0,2x - 0,1 \\ 6(x + 2) > 7x + 8 \end{cases} $
Сначала решим первое неравенство:
$0,3x + 0,1 \ge 0,2x - 0,1$
$0,3x - 0,2x \ge -0,1 - 0,1$
$0,1x \ge -0,2$
Умножим обе части на 10:
$x \ge -2$
Теперь решим второе неравенство:
$6(x + 2) > 7x + 8$
$6x + 12 > 7x + 8$
$12 - 8 > 7x - 6x$
$4 > x$
Найдем пересечение полученных решений: $x \ge -2$ и $x < 4$. Общим решением является множество значений $x$, которые больше либо равны -2 и одновременно меньше 4. Это интервал от -2 (включительно) до 4 (не включительно).
Ответ: $x \in [-2, 4)$.

59. Найти все целые решения системы $\begin{cases} \frac{x-2}{5} \ge \frac{x-3}{6}, \\ 5x-1 < 3(x+1). \end{cases}$

Для того чтобы найти все целые решения системы неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение полученных множеств решений.

1. Решим первое неравенство:

$$ \frac{x-2}{5} \ge \frac{x-3}{6} $$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное чисел 5 и 6, то есть на 30. Так как 30 является положительным числом, знак неравенства сохраняется.

$$ 30 \cdot \frac{x-2}{5} \ge 30 \cdot \frac{x-3}{6} $$

$$ 6(x-2) \ge 5(x-3) $$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$$ 6x - 12 \ge 5x - 15 $$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую часть:

$$ 6x - 5x \ge -15 + 12 $$

$$ x \ge -3 $$

Решением первого неравенства является числовой промежуток $[-3; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство:

$$ 5x - 1 < 3(x+1) $$

Раскроем скобки в правой части неравенства:

$$ 5x - 1 < 3x + 3 $$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые — в правую:

$$ 5x - 3x < 3 + 1 $$

$$ 2x < 4 $$

Разделим обе части неравенства на 2:

$$ x < 2 $$

Решением второго неравенства является числовой промежуток $(-\infty; 2)$.

3. Найдем все целые решения системы:

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств, то есть все значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно: $x \ge -3$ и $x < 2$.

Запишем это в виде двойного неравенства:

$$ -3 \le x < 2 $$

Согласно условию, нам нужно найти все целые числа, которые принадлежат этому промежутку. Это числа: -3 (входит в промежуток), -2, -1, 0, 1. Число 2 не входит в промежуток, так как неравенство строгое.

Таким образом, целыми решениями системы являются числа -3, -2, -1, 0, 1.

Ответ: -3, -2, -1, 0, 1.

60. Решить неравенство:

1) $\frac{-21}{5-6x} > 0$;

2) $\frac{0,8x-2}{x^2+1} < 0$.

1) Решим неравенство $\frac{-21}{5-6x} > 0$.

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Числитель дроби, $-21$, является отрицательным числом. Следовательно, для того чтобы всё выражение было больше нуля, знаменатель также должен быть отрицательным.

Составим и решим неравенство для знаменателя:

$5 - 6x < 0$

Перенесем $5$ в правую часть неравенства:

$-6x < -5$

Разделим обе части неравенства на $-6$. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{-5}{-6}$

$x > \frac{5}{6}$

Таким образом, решением неравенства является промежуток от $\frac{5}{6}$ до $+\infty$, не включая саму точку $\frac{5}{6}$, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Ответ: $x \in (\frac{5}{6}; +\infty)$.

2) Решим неравенство $\frac{0,8x-2}{x^2+1} < 0$.

Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Проанализируем знаменатель $x^2+1$. Поскольку $

61. Решить уравнение:

1) $|5x - 1| = 0;$

2) $|0,5x + 3| = 1;$

3) $|x + 2| = -2;$

4) $|7 - x| = -0,1;$

5) $|3x - 5| = 1;$

6) $|1 - 2x| = 5.$

1) Дано уравнение $|5x - 1| = 0$.

Модуль выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само выражение равно нулю. Следовательно, мы можем убрать знак модуля и приравнять выражение к нулю:

$5x - 1 = 0$

Перенесем -1 в правую часть уравнения, изменив знак:

$5x = 1$

Разделим обе части уравнения на 5, чтобы найти $x$:

$x = \frac{1}{5} = 0,2$

Ответ: $0,2$

2) Дано уравнение $|0,5x + 3| = 1$.

Это уравнение распадается на два случая, так как модуль выражения равен 1. Это означает, что выражение под знаком модуля может быть равно как 1, так и -1.

Случай 1:

$0,5x + 3 = 1$

$0,5x = 1 - 3$

$0,5x = -2$

$x_1 = \frac{-2}{0,5} = -4$

Случай 2:

$0,5x + 3 = -1$

$0,5x = -1 - 3$

$0,5x = -4$

$x_2 = \frac{-4}{0,5} = -8$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $-8; -4$

3) Дано уравнение $|x + 2| = -2$.

По определению, модуль (абсолютная величина) любого числа или выражения является неотрицательной величиной, то есть $|a| \ge 0$ для любого $a$.

В данном уравнении левая часть $|x + 2|$ всегда неотрицательна, а правая часть равна -2, что является отрицательным числом. Неотрицательное число не может быть равно отрицательному, следовательно, у этого уравнения нет решений.

Ответ: нет корней.

4) Дано уравнение $|7 - x| = -0,1$.

Как и в предыдущем случае, левая часть уравнения, $|7 - x|$, по определению модуля, всегда больше или равна нулю ($|7 - x| \ge 0$). Правая часть уравнения равна -0,1, что является отрицательным числом. Равенство между неотрицательной и отрицательной величиной невозможно, поэтому данное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

5) Дано уравнение $|3x - 5| = 1$.

Уравнение с модулем, равным положительному числу, раскрывается в виде двух отдельных уравнений:

Случай 1:

$3x - 5 = 1$

$3x = 1 + 5$

$3x = 6$

$x_1 = \frac{6}{3} = 2$

Случай 2:

$3x - 5 = -1$

$3x = -1 + 5$

$3x = 4$

$x_2 = \frac{4}{3}$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $\frac{4}{3}; 2$

6) Дано уравнение $|1 - 2x| = 5$.

Данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

Случай 1:

$1 - 2x = 5$

$-2x = 5 - 1$

$-2x = 4$

$x_1 = \frac{4}{-2} = -2$

Случай 2:

$1 - 2x = -5$

$-2x = -5 - 1$

$-2x = -6$

$x_2 = \frac{-6}{-2} = 3$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $-2; 3$

Решить неравенство (62—63).

62.

1) $|3x + 1| \le 7;$ 2) $|2 - x| < 3;

3) $|2x - 3| > 1;$ 4) $|1 - x| \ge 4.$

1) Дано неравенство $|3x + 1| \le 7$. Неравенство с модулем вида $|f(x)| \le a$ (где $a > 0$) равносильно двойному неравенству $-a \le f(x) \le a$. Применив это правило, получаем:
$-7 \le 3x + 1 \le 7$
Вычтем 1 из всех частей неравенства, чтобы выделить слагаемое с $x$:
$-7 - 1 \le 3x \le 7 - 1$
$-8 \le 3x \le 6$
Теперь разделим все части неравенства на 3:
$-\frac{8}{3} \le x \le 2$
Таким образом, решение представляет собой отрезок.

Ответ: $x \in [-\frac{8}{3}; 2]$

2) Дано неравенство $|2 - x| < 3$. Неравенство вида $|f(x)| < a$ (где $a > 0$) равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$. Используя это свойство, получаем:
$-3 < 2 - x < 3$
Вычтем 2 из всех частей неравенства:
$-3 - 2 < -x < 3 - 2$
$-5 < -x < 1$
Умножим все части на -1, не забывая изменить знаки неравенства на противоположные:
$5 > x > -1$
Запишем это в более привычном виде, от меньшего к большему:
$-1 < x < 5$
Решением является интервал.

Ответ: $x \in (-1; 5)$

3) Дано неравенство $|2x - 3| > 1$. Неравенство вида $|f(x)| > a$ (где $a > 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$. В нашем случае это означает:
$2x - 3 > 1$ или $2x - 3 < -1$
Решим каждое неравенство по отдельности.
Первое неравенство:
$2x - 3 > 1$
$2x > 1 + 3$
$2x > 4$
$x > 2$
Второе неравенство:
$2x - 3 < -1$
$2x < -1 + 3$
$2x < 2$
$x < 1$
Объединяя решения, получаем, что $x$ должен быть либо меньше 1, либо больше 2.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$

4) Дано неравенство $|1 - x| \ge 4$. Неравенство вида $|f(x)| \ge a$ (где $a > 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$. Применяем это правило:
$1 - x \ge 4$ или $1 - x \le -4$
Решим каждое неравенство.
Первое неравенство:
$1 - x \ge 4$
$-x \ge 4 - 1$
$-x \ge 3$
$x \le -3$ (знак неравенства меняется при умножении на -1)
Второе неравенство:
$1 - x \le -4$
$-x \le -4 - 1$
$-x \le -5$
$x \ge 5$ (знак неравенства меняется при умножении на -1)
Объединяем полученные решения.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [5; +\infty)$

63. 1) $|x - 4| \ge -3$;

2) $|x - 4| < -3$.

1) Рассмотрим неравенство $|x - 4| \ge -3$.

По определению, модуль (абсолютная величина) любого действительного числа является неотрицательной величиной. Это означает, что для любого значения $x$, выражение $|x - 4|$ всегда будет больше или равно нулю.

Математически это записывается так: $|x - 4| \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Поскольку любое неотрицательное число (которое $\ge 0$) всегда больше любого отрицательного числа (например, -3), неравенство $|x - 4| \ge -3$ будет верным при любом действительном значении $x$.

Следовательно, решением данного неравенства является множество всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2) Рассмотрим неравенство $|x - 4| < -3$.

Как уже упоминалось, модуль любого выражения является неотрицательной величиной, то есть $|x - 4| \ge 0$ для любого значения $x$.

Неравенство требует, чтобы значение модуля, которое всегда неотрицательно, было меньше отрицательного числа -3.

Не существует такого неотрицательного числа, которое было бы меньше -3. Таким образом, не существует такого значения $x$, при котором данное неравенство было бы верным.

Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

64. Решить систему неравенств:

1) $\begin{cases} 3x - 4 < x + 1, \\ -5x + 1 < 7 + x, \\ \frac{1}{4}x - 1 \le \frac{3}{4}x - 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 12x + 5 \ge 7x + 2, \\ 0,1x - 2 < 0,2x - 1, \\ 6x + 3 < 6 - 4x. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 3x - 4 < x + 1, \\ -5x + 1 < 7 + x, \\ \frac{1}{4}x - 1 \le \frac{3}{4}x - 1; \end{cases}$

Для решения системы необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Решаем первое неравенство:
$3x - 4 < x + 1$
$3x - x < 1 + 4$
$2x < 5$
$x < \frac{5}{2}$
$x < 2.5$

Решаем второе неравенство:
$-5x + 1 < 7 + x$
$-5x - x < 7 - 1$
$-6x < 6$
Делим обе части на -6 и меняем знак неравенства на противоположный:
$x > -1$

Решаем третье неравенство:
$\frac{1}{4}x - 1 \le \frac{3}{4}x - 1$
$\frac{1}{4}x \le \frac{3}{4}x$
$0 \le \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}x$
$0 \le \frac{2}{4}x$
$0 \le \frac{1}{2}x$
Умножаем обе части на 2:
$0 \le x$ или $x \ge 0$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x < 2.5$, $x > -1$ и $x \ge 0$.
Общим решением для всех трех неравенств является промежуток, где выполняются все три условия одновременно. Изобразив на числовой оси, видим, что пересечением является промежуток $0 \le x < 2.5$.

Ответ: $x \in [0; 2.5)$.

2) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 12x + 5 \ge 7x + 2, \\ 0.1x - 2 < 0.2x - 1, \\ 6x + 3 < 6 - 4x. \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Решаем первое неравенство:
$12x + 5 \ge 7x + 2$
$12x - 7x \ge 2 - 5$
$5x \ge -3$
$x \ge -\frac{3}{5}$
$x \ge -0.6$

Решаем второе неравенство:
$0.1x - 2 < 0.2x - 1$
$-2 + 1 < 0.2x - 0.1x$
$-1 < 0.1x$
Умножим обе части на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$-10 < x$

Решаем третье неравенство:
$6x + 3 < 6 - 4x$
$6x + 4x < 6 - 3$
$10x < 3$
$x < \frac{3}{10}$
$x < 0.3$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x \ge -0.6$, $x > -10$ и $x < 0.3$.
Общим решением является промежуток, удовлетворяющий всем трем условиям. Пересечением интервалов $(-\infty; 0.3)$, $(-10; +\infty)$ и $[-0.6; +\infty)$ является промежуток $-0.6 \le x < 0.3$.

Ответ: $x \in [-0.6; 0.3)$.

65. В треугольнике длины сторон равны $a$, $b$ и $c$. Медиана, проведённая к стороне $c$, равна $m$. Доказать, что $m < \frac{a+b+c}{2}$.

Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $BC = a$, $AC = b$ и $AB = c$. Медиана, проведенная к стороне $c$, имеет длину $m$. Пусть эта медиана является отрезком $CM$, где $M$ — точка на стороне $AB$.

По определению, медиана соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Следовательно, точка $M$ является серединой стороны $AB$, и мы имеем $AM = MB = \frac{c}{2}$.

Медиана $CM$ делит исходный треугольник $ABC$ на два треугольника: $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$. Применим к каждому из них неравенство треугольника, которое гласит, что длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других его сторон.

Для треугольника $\triangle AMC$ справедливо неравенство:
$CM < AC + AM$
Подставляя известные значения, получаем:
$m < b + \frac{c}{2}$

Аналогично для треугольника $\triangle BMC$ справедливо неравенство:
$CM < BC + BM$
Подставляя известные значения, получаем:
$m < a + \frac{c}{2}$

Теперь сложим почленно два полученных неравенства:
$m + m < (b + \frac{c}{2}) + (a + \frac{c}{2})$

Упростим правую часть выражения:
$2m < a + b + \frac{c}{2} + \frac{c}{2}$
$2m < a + b + c$

Разделив обе части последнего неравенства на 2, мы получаем то, что требовалось доказать:
$m < \frac{a+b+c}{2}$

Ответ: Неравенство $m < \frac{a+b+c}{2}$ доказано.