Страница 30 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

74. Не строя графика функции $y = \frac{1}{3}x + 4$, определить, какая из точек $A(-6; 3)$, $B(-3; 3)$, $C(3; 1)$ принадлежит графику этой функции.

Для того чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, не строя его, необходимо подставить координаты точки $(x; y)$ в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

Уравнение заданной функции: $y = \frac{1}{3}x + 4$.

Проверим каждую из точек:

A(-6; 3)

Подставим координаты $x = -6$ и $y = 3$ в уравнение функции:

$3 = \frac{1}{3} \cdot (-6) + 4$

$3 = -2 + 4$

$3 = 2$

Полученное равенство является ложным, следовательно, точка A не принадлежит графику данной функции.

Ответ: не принадлежит.

B(-3; 3)

Подставим координаты $x = -3$ и $y = 3$ в уравнение функции:

$3 = \frac{1}{3} \cdot (-3) + 4$

$3 = -1 + 4$

$3 = 3$

Полученное равенство является истинным, следовательно, точка B принадлежит графику данной функции.

Ответ: принадлежит.

C(3; 1)

Подставим координаты $x = 3$ и $y = 1$ в уравнение функции:

$1 = \frac{1}{3} \cdot (3) + 4$

$1 = 1 + 4$

$1 = 5$

Полученное равенство является ложным, следовательно, точка C не принадлежит графику данной функции.

Ответ: не принадлежит.

Таким образом, из предложенных точек графику функции $y = \frac{1}{3}x + 4$ принадлежит только точка B(-3; 3).

75. Построить график уравнения:

1) $2x + y = 3$;

2) $-\frac{x}{2} - y = 1$.

1) $2x + y = 3$

Данное уравнение является линейным уравнением с двумя переменными. Его графиком является прямая линия. Чтобы построить прямую, нам достаточно найти координаты двух точек, удовлетворяющих этому уравнению.

Сначала выразим переменную y через x, чтобы получить уравнение в виде функции $y(x)$:

$y = 3 - 2x$

Теперь выберем два произвольных значения для x и найдем соответствующие значения y. Удобно найти точки пересечения с осями координат.

1. Найдем точку пересечения с осью y, подставив $x=0$:

$y = 3 - 2 \cdot 0 = 3$

Таким образом, первая точка имеет координаты $(0; 3)$.

2. Найдем точку пересечения с осью x, подставив $y=0$:

$0 = 3 - 2x$

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2} = 1.5$

Таким образом, вторая точка имеет координаты $(1.5; 0)$.

Чтобы построить график, нужно отметить на координатной плоскости точки $(0; 3)$ и $(1.5; 0)$ и провести через них прямую.

Ответ: Графиком уравнения является прямая, проходящая через точки $(0; 3)$ и $(1.5; 0)$.

2) $-\frac{x}{2} - y = 1$

Это также линейное уравнение, и его график — прямая линия.

Выразим переменную y через x:

$-y = 1 + \frac{x}{2}$

Умножим обе части уравнения на $-1$:

$y = -1 - \frac{x}{2}$

Теперь найдем координаты двух точек, принадлежащих этой прямой, например, точки пересечения с осями.

1. Подставим $x=0$, чтобы найти точку пересечения с осью y:

$y = -1 - \frac{0}{2} = -1$

Первая точка — $(0; -1)$.

2. Подставим $y=0$, чтобы найти точку пересечения с осью x:

$0 = -1 - \frac{x}{2}$

$\frac{x}{2} = -1$

$x = -2$

Вторая точка — $(-2; 0)$.

Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точки $(0; -1)$ и $(-2; 0)$ и соединить их прямой линией.

Ответ: Графиком уравнения является прямая, проходящая через точки $(0; -1)$ и $(-2; 0)$.

76. Решить графически систему уравнений:

1) $\begin{cases} 2x + 3y = -2, \\ x - y = 6; \end{cases}$

2) $ \begin{cases} 3x + y = 0, \\ 4x + 3y = 5. \end{cases} $

1)

Для решения системы уравнений графическим методом, необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Координаты точки пересечения этих графиков и будут решением системы.

Первое уравнение: $2x + 3y = -2$.
Это линейное уравнение, его график — прямая. Для построения прямой найдем координаты двух точек. Сначала выразим $y$ через $x$:
$3y = -2x - 2$
$y = -\frac{2}{3}x - \frac{2}{3}$
Теперь найдем две точки, принадлежащие этой прямой:
- если $x = -1$, то $y = -\frac{2}{3}(-1) - \frac{2}{3} = \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0$. Получаем точку A(-1, 0).
- если $x = 2$, то $y = -\frac{2}{3}(2) - \frac{2}{3} = -\frac{4}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{6}{3} = -2$. Получаем точку B(2, -2).

Второе уравнение: $x - y = 6$.
Это также линейное уравнение. Выразим $y$ через $x$:
$y = x - 6$
Найдем две точки для построения этой прямой:
- если $x = 2$, то $y = 2 - 6 = -4$. Получаем точку C(2, -4).
- если $x = 4$, то $y = 4 - 6 = -2$. Получаем точку D(4, -2).

Построим оба графика на одной координатной плоскости. Прямая $y = -\frac{2}{3}x - \frac{2}{3}$ проходит через точки A(-1, 0) и B(2, -2). Прямая $y = x - 6$ проходит через точки C(2, -4) и D(4, -2).

Построив графики, находим их точку пересечения. Из графика видно, что координаты точки пересечения не являются целыми числами. Для нахождения точных координат решим систему уравнений аналитически, подставив выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$2x + 3(x - 6) = -2$
$2x + 3x - 18 = -2$
$5x = 16$
$x = \frac{16}{5} = 3.2$
Теперь найдем $y$:
$y = x - 6 = 3.2 - 6 = -2.8$
Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(3.2, -2.8)$.

Ответ: $(3.2, -2.8)$

2)

Решим вторую систему уравнений графическим методом.

Первое уравнение: $3x + y = 0$.
Выразим $y$ через $x$:
$y = -3x$
Это прямая пропорциональность, ее график проходит через начало координат O(0, 0). Для построения найдем еще одну точку:
- если $x = -1$, то $y = -3(-1) = 3$. Получаем точку E(-1, 3).

Второе уравнение: $4x + 3y = 5$.
Выразим $y$ через $x$:
$3y = 5 - 4x$
$y = -\frac{4}{3}x + \frac{5}{3}$
Найдем две точки для построения этой прямой:
- если $x = -1$, то $y = -\frac{4}{3}(-1) + \frac{5}{3} = \frac{4}{3} + \frac{5}{3} = \frac{9}{3} = 3$. Получаем точку F(-1, 3).
- если $x = 2$, то $y = -\frac{4}{3}(2) + \frac{5}{3} = -\frac{8}{3} + \frac{5}{3} = -\frac{3}{3} = -1$. Получаем точку G(2, -1).

Построим графики на одной координатной плоскости. Прямая $y = -3x$ проходит через точки O(0, 0) и E(-1, 3). Прямая $y = -\frac{4}{3}x + \frac{5}{3}$ проходит через точки F(-1, 3) и G(2, -1).

Оба графика проходят через точку с координатами (-1, 3). Следовательно, эта точка является точкой их пересечения и решением системы уравнений.

Ответ: $(-1, 3)$

77. Выяснить, сколько решений имеет система уравнений:

1) $\begin{cases} 3x - 2y = 1, \\ -6x + 4y = -3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x - 3y = -4, \\ 2x + y = 4; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 6x - 2y = -8, \\ -3x + y = 4. \end{cases}$

1) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 3x - 2y = 1 \\ -6x + 4y = -3 \end{cases} $
Для определения количества решений системы линейных уравнений $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ можно сравнить отношения их коэффициентов.
В данной системе: $a_1 = 3, b_1 = -2, c_1 = 1$ и $a_2 = -6, b_2 = 4, c_2 = -3$.
Найдем отношения коэффициентов при переменных $x$ и $y$ и отношение свободных членов:
$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2} $
$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} $
$ \frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} $
Мы видим, что выполняется условие $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $. Это означает, что графики уравнений — это две параллельные прямые, которые никогда не пересекаются.
Другой способ — умножить первое уравнение на 2:
$ 2 \cdot (3x - 2y) = 2 \cdot 1 \implies 6x - 4y = 2 $
Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:
$ (6x - 4y) + (-6x + 4y) = 2 + (-3) $
$ 0 = -1 $
Получено неверное числовое равенство, что свидетельствует о том, что система не имеет решений.
Ответ: решений нет.

2) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 2x - 3y = -4 \\ 2x + y = 4 \end{cases} $
Сравним отношения коэффициентов при переменных:
$a_1 = 2, b_1 = -3$ и $a_2 = 2, b_2 = 1$.
$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{2} = 1 $
$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{1} = -3 $
Так как $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $, графики уравнений — это две прямые, которые пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет единственное решение.
Для проверки найдем это решение. Вычтем из первого уравнения второе:
$ (2x - 3y) - (2x + y) = -4 - 4 $
$ -4y = -8 $
$ y = 2 $
Подставим найденное значение $y$ во второе уравнение:
$ 2x + 2 = 4 $
$ 2x = 2 $
$ x = 1 $
Система имеет одно решение $(1; 2)$.
Ответ: одно решение.

3) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 6x - 2y = -8 \\ -3x + y = 4 \end{cases} $
Сравним отношения коэффициентов:
$a_1 = 6, b_1 = -2, c_1 = -8$ и $a_2 = -3, b_2 = 1, c_2 = 4$.
$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{6}{-3} = -2 $
$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{1} = -2 $
$ \frac{c_1}{c_2} = \frac{-8}{4} = -2 $
Так как $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $, графики уравнений — это одна и та же прямая. Это означает, что любое решение одного уравнения является решением и второго, поэтому система имеет бесконечно много решений.
Можно также умножить второе уравнение на -2:
$ -2 \cdot (-3x + y) = -2 \cdot 4 \implies 6x - 2y = -8 $
Мы видим, что второе уравнение после преобразования полностью совпадает с первым. Это подтверждает, что система имеет бесконечное множество решений. Все решения можно выразить, например, через $x$: из второго уравнения $y = 3x + 4$.
Ответ: бесконечно много решений.

78. Построить график функции $y = kx - 2$, если известно, что он проходит через точку:

1) $M(-2; 4)$;

2) $N(9; 1)$.

1)

Дана функция $y = kx - 2$. Чтобы построить её график, нам нужно найти значение коэффициента $k$. Известно, что график проходит через точку $M(-2; 4)$. Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению функции. Подставим $x = -2$ и $y = 4$ в уравнение:
$4 = k \cdot (-2) - 2$
Теперь решим это уравнение относительно $k$:
$4 + 2 = -2k$
$6 = -2k$
$k = \frac{6}{-2}$
$k = -3$
Таким образом, уравнение функции принимает вид: $y = -3x - 2$.
Это линейная функция, её график — прямая. Для построения прямой достаточно двух

79. Построить график функции $y = -2x + b$, если известно, что он проходит через точку:

1) A(3; 2)

2) B(-3; 3)

1)

Чтобы построить график функции $y = -2x + b$, необходимо сначала найти значение коэффициента $b$. По условию, график проходит через точку $A(3; 2)$. Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению функции. Подставим значения $x = 3$ и $y = 2$ в уравнение:
$2 = -2 \cdot 3 + b$
$2 = -6 + b$
$b = 2 + 6$
$b = 8$
Таким образом, уравнение функции имеет вид: $y = -2x + 8$.
Графиком данной функции является прямая линия. Для её построения достаточно двух точек. Одна точка нам уже известна — это $A(3; 2)$.
Для нахождения второй точки найдем точку пересечения графика с осью ординат ($Oy$). Для этого подставим $x = 0$ в уравнение функции:
$y = -2 \cdot 0 + 8$
$y = 8$
Следовательно, вторая точка имеет координаты $(0; 8)$.
Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точки $(3; 2)$ и $(0; 8)$ и провести через них прямую.
Ответ: Уравнение функции $y = -2x + 8$. График — это прямая, проходящая через точки $(3; 2)$ и $(0; 8)$.

2)

Аналогично первому пункту, найдем коэффициент $b$, используя координаты точки $B(-3; 3)$, через которую проходит график. Подставим $x = -3$ и $y = 3$ в уравнение $y = -2x + b$:
$3 = -2 \cdot (-3) + b$
$3 = 6 + b$
$b = 3 - 6$
$b = -3$
Итак, искомое уравнение функции: $y = -2x - 3$.
График этой линейной функции — прямая. Для построения используем две точки. Первая точка — $B(-3; 3)$ — дана по условию.
Найдем вторую точку, определив пересечение с осью $Oy$ (при $x=0$):
$y = -2 \cdot 0 - 3$
$y = -3$
Вторая точка — $(0; -3)$.
График строится как прямая, проходящая через точки $(-3; 3)$ и $(0; -3)$.
Ответ: Уравнение функции $y = -2x - 3$. График — это прямая, проходящая через точки $(-3; 3)$ и $(0; -3)$.

80. 1) Построить график функции $y = -3x + 3$ и по этому графику найти, при каких значениях $x$ значения функции меньше 6; больше -3.

2) Построить график функции $y = -2x - 2$ и по этому графику найти значения $x$, при которых значения функции больше -4; меньше 2.

1)

Для построения графика функции $y = -3x + 3$ найдем координаты двух точек, так как это линейная функция и ее график — прямая линия.

1. При $x = 0$, $y = -3 \cdot 0 + 3 = 3$. Получаем точку $(0; 3)$.
2. При $x = 1$, $y = -3 \cdot 1 + 3 = 0$. Получаем точку $(1; 0)$.

Отметим эти точки на координатной плоскости и проведем через них прямую.

Теперь по графику найдем, при каких значениях $x$ выполняются неравенства.

• Значения функции меньше 6 ($y < 6$)

  Найдем значение $x$, при котором $y=6$:
  $6 = -3x + 3$
  $3x = 3 - 6$
  $3x = -3$
  $x = -1$

  На графике видно, что прямая $y = -3x + 3$ находится ниже линии $y=6$ при всех значениях $x$ правее точки $x=-1$. Следовательно, значения функции меньше 6 при $x > -1$.

• Значения функции больше -3 ($y > -3$)

  Найдем значение $x$, при котором $y=-3$:
  $-3 = -3x + 3$
  $3x = 3 - (-3)$
  $3x = 6$
  $x = 2$

  На графике прямая $y = -3x + 3$ находится выше линии $y=-3$ при всех значениях $x$ левее точки $x=2$. Следовательно, значения функции больше -3 при $x < 2$.

Ответ: Значения функции меньше 6 при $x > -1$; значения функции больше -3 при $x < 2$.

2)

Для построения графика функции $y = -2x - 2$ также найдем координаты двух точек.

1. При $x = 0$, $y = -2 \cdot 0 - 2 = -2$. Получаем точку $(0; -2)$.
2. При $x = -1$, $y = -2 \cdot (-1) - 2 = 2 - 2 = 0$. Получаем точку $(-1; 0)$.

Отметим эти точки на координатной плоскости и проведем через них прямую.

Теперь по графику найдем, при каких значениях $x$ выполняются неравенства.

• Значения функции больше -4 ($y > -4$)

  Найдем значение $x$, при котором $y=-4$:
  $-4 = -2x - 2$
  $2x = -2 - (-4)$
  $2x = 2$
  $x = 1$

  На графике видно, что прямая $y = -2x - 2$ находится выше линии $y=-4$ при всех значениях $x$ левее точки $x=1$. Следовательно, значения функции больше -4 при $x < 1$.

• Значения функции меньше 2 ($y < 2$)

  Найдем значение $x$, при котором $y=2$:
  $2 = -2x - 2$
  $2x = -2 - 2$
  $2x = -4$
  $x = -2$

  На графике прямая $y = -2x - 2$ находится ниже линии $y=2$ при всех значениях $x$ правее точки $x=-2$. Следовательно, значения функции меньше 2 при $x > -2$.

Ответ: Значения функции больше -4 при $x < 1$; значения функции меньше 2 при $x > -2$.

81. Решить графически систему уравнений:

1) $\begin{cases} x - \frac{1}{2}y = -1, \\ -2x + y = 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x + \frac{1}{3}y = 5, \\ 4x - 3y = -1. \end{cases}$

1) Чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить графики для каждого уравнения в одной системе координат. Решением системы будет точка (или точки) пересечения этих графиков.

Преобразуем оба уравнения к виду линейной функции $y = kx + b$:

Первое уравнение:
$x - \frac{1}{2}y = -1$
$-\frac{1}{2}y = -x - 1$
Умножим обе части уравнения на -2:
$y = 2x + 2$

Второе уравнение:
$-2x + y = 2$
$y = 2x + 2$

Как видим, оба уравнения приводятся к одному и тому же виду $y = 2x + 2$. Это означает, что графики этих уравнений — это одна и та же прямая. Для построения этой прямой найдем две точки.
Если $x=0$, то $y = 2 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка (0, 2).
Если $x=-1$, то $y = 2 \cdot (-1) + 2 = 0$. Точка (-1, 0).

Поскольку графики совпадают, любая точка, принадлежащая этой прямой, является решением системы. Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: система имеет бесконечное множество решений, которые являются координатами любой точки прямой $y = 2x + 2$.

2) Аналогично первому пункту, решим систему графически. Построим графики для каждого уравнения.

Преобразуем оба уравнения к виду $y = kx + b$:

Первое уравнение:
$2x + \frac{1}{3}y = 5$
$\frac{1}{3}y = -2x + 5$
Умножим обе части уравнения на 3:
$y = -6x + 15$
Найдем две точки для построения графика:
Если $x=2$, то $y = -6 \cdot 2 + 15 = -12 + 15 = 3$. Точка (2, 3).
Если $x=3$, то $y = -6 \cdot 3 + 15 = -18 + 15 = -3$. Точка (3, -3).

Второе уравнение:
$4x - 3y = -1$
$-3y = -4x - 1$
Разделим обе части уравнения на -3:
$y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}$
Найдем две точки для построения графика:
Если $x=2$, то $y = \frac{4}{3} \cdot 2 + \frac{1}{3} = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3$. Точка (2, 3).
Если $x=-1$, то $y = \frac{4}{3} \cdot (-1) + \frac{1}{3} = -\frac{4}{3} + \frac{1}{3} = -\frac{3}{3} = -1$. Точка (-1, -1).

Построив оба графика в одной системе координат, мы увидим, что они пересекаются в одной точке. Мы уже нашли эту общую точку при вычислениях — это точка (2, 3). Координаты этой точки являются решением системы уравнений.

Проверим решение, подставив $x=2$ и $y=3$ в исходные уравнения:
$2(2) + \frac{1}{3}(3) = 4 + 1 = 5$ (Верно)
$4(2) - 3(3) = 8 - 9 = -1$ (Верно)

Ответ: (2, 3).

С помощью графиков решить неравенства (82—85).

82.

1) $ \frac{1}{2}x - 1 > 0 $;

2) $ -\frac{1}{3}x + 2 < 1. $

Чтобы решить неравенство $ \frac{1}{2}x - 1 > 0 $ с помощью графика, рассмотрим функцию $y = \frac{1}{2}x - 1$. Нам нужно найти такие значения $x$, при которых график этой функции находится выше оси абсцисс ($Ox$), то есть где $y > 0$.

График функции $y = \frac{1}{2}x - 1$ — это прямая. Для её построения найдём две точки:

1. Если $x=0$, то $y = \frac{1}{2} \cdot 0 - 1 = -1$. Первая точка — $(0, -1)$ (точка пересечения с осью $Oy$).

2. Если $y=0$, то $0 = \frac{1}{2}x - 1$. Отсюда следует, что $\frac{1}{2}x = 1$, и $x = 2$. Вторая точка — $(2, 0)$ (точка пересечения с осью $Ox$).

Построим прямую, проходящую через точки $(0, -1)$ и $(2, 0)$. Так как угловой коэффициент $\frac{1}{2}$ положителен, функция является возрастающей.

Нас интересует, где $y > 0$. Глядя на график, мы видим, что прямая находится выше оси $Ox$ для всех значений $x$, которые лежат правее точки пересечения с этой осью. Точка пересечения имеет координату $x=2$. Таким образом, неравенство выполняется при $x > 2$.

Ответ: $x > 2$.

Чтобы решить неравенство $ -\frac{1}{3}x + 2 < 1 $ с помощью графиков, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = -\frac{1}{3}x + 2$ и $y = 1$. Решением неравенства будут являться те значения $x$, при которых график функции $y = -\frac{1}{3}x + 2$ расположен ниже прямой $y = 1$.

График функции $y = -\frac{1}{3}x + 2$ — это прямая. Для её построения найдём две точки:

1. Если $x=0$, то $y = -\frac{1}{3} \cdot 0 + 2 = 2$. Первая точка — $(0, 2)$.

2. Если $x=3$, то $y = -\frac{1}{3} \cdot 3 + 2 = -1 + 2 = 1$. Вторая точка — $(3, 1)$.

График функции $y = 1$ — это горизонтальная прямая, проходящая через все точки с ординатой $1$.

Теперь найдём точку пересечения этих двух графиков. Для этого приравняем выражения для $y$:

$-\frac{1}{3}x + 2 = 1$

$-\frac{1}{3}x = 1 - 2$

$-\frac{1}{3}x = -1$

$x = 3$

Точка пересечения графиков имеет координаты $(3, 1)$.

Нам нужно найти, при каких значениях $x$ выполняется условие $y < 1$, то есть где график $y = -\frac{1}{3}x + 2$ лежит ниже прямой $y=1$. Поскольку функция $y = -\frac{1}{3}x + 2$ является убывающей (угловой коэффициент $-\frac{1}{3}$ отрицателен), её значения будут меньше $1$ для всех $x$, которые больше абсциссы точки пересечения. Следовательно, неравенство выполняется при $x > 3$.

Ответ: $x > 3$.

83. 1) $3x - 2 < x$;

2) $4x + 3 > x$.

1) $3x - 2 < x$

Для решения данного линейного неравенства необходимо перенести все слагаемые, содержащие переменную $x$, в одну часть неравенства, а все числовые слагаемые (константы) — в другую. Перенесем $x$ из правой части в левую со сменой знака и $-2$ из левой части в правую, также со сменой знака.

$3x - x < 2$

Теперь выполним вычитание в левой части, чтобы упростить выражение:

$2x < 2$

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на 2. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства не изменяется.

$\frac{2x}{2} < \frac{2}{2}$

$x < 1$

Таким образом, решением неравенства являются все числа, которые меньше 1. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 1)$.

Ответ: $x < 1$.

2) $4x + 3 > x$

Решим это неравенство по аналогии с предыдущим. Сначала сгруппируем все слагаемые с переменной $x$ в левой части, а константы — в правой. Перенесем $x$ в левую часть, а $3$ — в правую, изменив их знаки.

$4x - x > -3$

Упростим левую часть неравенства:

$3x > -3$

Теперь разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на 3. Поскольку 3 — положительное число, знак неравенства сохраняется.

$\frac{3x}{3} > \frac{-3}{3}$

$x > -1$

Решением данного неравенства являются все числа, которые больше -1. В виде интервала это записывается как $(-1; +\infty)$.

Ответ: $x > -1$.

84. 1) $2x - 1 > x + 1;$

2) $\frac{3}{2}x + 2 < x + 1.$

1) Для решения неравенства $2x - 1 > x + 1$ необходимо сгруппировать члены с переменной $x$ в одной части, а свободные члены — в другой. Перенесем $x$ из правой части в левую, а $-1$ из левой в правую, изменив их знаки на противоположные:

$2x - x > 1 + 1$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства:

$x > 2$

Таким образом, решением неравенства являются все числа, строго большие 2. Решение можно записать в виде интервала $(2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

2) Для решения неравенства $\frac{3}{2}x + 2 < x + 1$ сначала избавимся от дробного коэффициента. Для этого умножим обе части неравенства на 2. Так как 2 является положительным числом, знак неравенства при умножении не меняется:

$2 \cdot (\frac{3}{2}x + 2) < 2 \cdot (x + 1)$

$3x + 4 < 2x + 2$

Теперь сгруппируем члены с переменной $x$ в левой части, а свободные члены — в правой, не забывая менять знаки при переносе:

$3x - 2x < 2 - 4$

Приведем подобные слагаемые:

$x < -2$

Следовательно, решением неравенства являются все числа, строго меньшие -2. Решение можно записать в виде интервала $(-\infty; -2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2)$.

85. 1) $-2x + 1 \leq -x + 4$;

2) $-3x + 3 \geq -2x + 1$.

1)

Дано линейное неравенство: $-2x + 1 \le -x + 4$.

Для решения необходимо сгруппировать слагаемые с переменной $x$ в одной части неравенства, а свободные члены — в другой. Перенесем $-x$ из правой части в левую (сменив знак на "+"), а 1 из левой части в правую (сменив знак на "-").

$-2x + x \le 4 - 1$

Теперь приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства:

$-x \le 3$

Чтобы найти $x$, нужно разделить обе части неравенства на -1. При делении или умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (в данном случае знак $\le$ меняется на $\ge$).

$x \ge -3$

Решением неравенства являются все числа, большие или равные -3. В виде числового промежутка это записывается как $[-3; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-3; +\infty)$.

2)

Дано линейное неравенство: $-3x + 3 \ge -2x + 1$.

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а свободные члены — в правой. Перенесем $-2x$ в левую часть и 3 в правую, не забывая менять их знаки.

$-3x + 2x \ge 1 - 3$

Упростим выражение, приведя подобные слагаемые:

$-x \ge -2$

Разделим обе части неравенства на -1. При этом знак неравенства $\ge$ необходимо поменять на противоположный, то есть на $\le$.

$x \le 2$

Решением неравенства являются все числа, меньшие или равные 2. В виде числового промежутка это записывается как $(-\infty; 2]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2]$.

86. Выяснить, при каких значениях $x$ значения функции $y = |x|$:

1) равны 3;

2) больше 2;

3) меньше 1;

4) меньше -2;

5) больше -1.

Дана функция $y = |x|$. Найдем, при каких значениях $x$ выполняются заданные условия.

1) равны 3

Нам нужно решить уравнение $y = 3$, то есть $|x| = 3$.
По определению, модуль числа — это расстояние от этого числа до нуля на числовой оси. Уравнение $|x| = 3$ означает, что нам нужно найти числа, расстояние от которых до нуля равно 3. Таких чисел два: 3 и -3.
Следовательно, $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Ответ: $x = -3, x = 3$.

2) больше 2

Нам нужно решить неравенство $y > 2$, то есть $|x| > 2$.
Это неравенство означает, что расстояние от $x$ до нуля должно быть больше 2. На числовой прямой это все числа, которые находятся правее точки 2, и все числа, которые находятся левее точки -2.
Это соответствует двум неравенствам: $x > 2$ или $x < -2$.
В виде интервалов это записывается как объединение: $(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

3) меньше 1

Нам нужно решить неравенство $y < 1$, то есть $|x| < 1$.
Это неравенство означает, что расстояние от $x$ до нуля должно быть меньше 1. На числовой прямой это все числа, которые находятся между -1 и 1, не включая сами точки -1 и 1.
Это соответствует двойному неравенству: $-1 < x < 1$.
В виде интервала это записывается как $(-1; 1)$.
Ответ: $x \in (-1; 1)$.

4) меньше -2

Нам нужно решить неравенство $y < -2$, то есть $|x| < -2$.
По определению, модуль любого действительного числа $|x|$ является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$.
Неравенство требует, чтобы неотрицательное число было меньше отрицательного числа -2, что невозможно ни при каких значениях $x$.
Следовательно, данное неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет.

5) больше -1

Нам нужно решить неравенство $y > -1$, то есть $|x| > -1$.
Как мы уже отмечали, модуль любого действительного числа $|x|$ всегда неотрицателен: $|x| \ge 0$.
Любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа, в частности, больше -1. Таким образом, неравенство $|x| > -1$ справедливо для любого действительного числа $x$.
Ответ: $x$ - любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$ или $x \in (-\infty; +\infty)$).

87. На координатной плоскости изобразить множество решений неравенства:

1) $2x + y \leq 0;$

2) $-x + 2y > 0;$

3) $3x - y < 4.$

1) $2x + y \le 0$

Чтобы изобразить множество решений данного неравенства, первым шагом является построение граничной прямой, которая задается соответствующим равенством: $2x + y = 0$.

Для удобства построения выразим $y$ через $x$. Это даст нам уравнение прямой в стандартном виде $y = kx + b$: $y = -2x$.

Это линейная функция, график которой — прямая, проходящая через начало координат, точку $(0, 0)$. Чтобы построить прямую, нам нужна еще одна точка. Возьмем, к примеру, $x = 1$. Тогда $y = -2 \cdot 1 = -2$. Следовательно, прямая проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, -2)$.

Знак неравенства нестрогий ($\le$), это означает, что точки, лежащие на самой прямой $y = -2x$, также являются решениями неравенства. Поэтому на графике прямую следует изображать сплошной (непрерывной) линией.

Эта прямая разделяет координатную плоскость на две полуплоскости. Чтобы определить, какая из них является искомым множеством решений, выберем произвольную "пробную" точку, не лежащую на этой прямой. Удобно взять точку $(1, 0)$. Подставим ее координаты в исходное неравенство: $2(1) + 0 \le 0$ $2 \le 0$

Полученное неравенство ложно. Это означает, что полуплоскость, в которой находится точка $(1, 0)$, не является решением. Решением является противоположная полуплоскость. Для проверки можно взять точку из другой полуплоскости, например, $(-1, -1)$: $2(-1) + (-1) \le 0$ $-3 \le 0$ Это неравенство истинно. Таким образом, решением является полуплоскость, которая находится "ниже" прямой $y = -2x$, включая саму прямую.

Ответ: Множеством решений является замкнутая полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = -2x$ и включающая эту прямую.

2) $-x + 2y > 0$

Аналогично предыдущему пункту, начнем с построения граничной прямой, заданной уравнением $-x + 2y = 0$.

Выразим $y$ через $x$: $2y = x$ $y = \frac{1}{2}x$

Это прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$. Найдем вторую точку для построения. Пусть $x = 2$, тогда $y = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$. Прямая проходит через точки $(0, 0)$ и $(2, 1)$.

Знак неравенства строгий ($>$), поэтому точки на самой прямой $y = \frac{1}{2}x$ не входят в множество решений. На графике такая прямая изображается пунктирной (штриховой) линией.

Прямая делит плоскость на две полуплоскости. Выберем пробную точку, не лежащую на прямой, например, $(0, 1)$. Подставим ее координаты в исходное неравенство: $-(0) + 2(1) > 0$ $2 > 0$

Неравенство истинно. Значит, полуплоскость, содержащая точку $(0, 1)$, является решением. Это полуплоскость, расположенная "выше" прямой $y = \frac{1}{2}x$.

Ответ: Множеством решений является открытая полуплоскость, расположенная выше прямой $y = \frac{1}{2}x$. Граничная прямая в решение не входит.

3) $3x - y < 4$

Построим граничную прямую, соответствующую уравнению $3x - y = 4$.

Выразим $y$ через $x$: $-y = -3x + 4$ $y = 3x - 4$

Это уравнение прямой. Для ее построения найдем две точки, через которые она проходит. Удобно найти точки пересечения с осями координат:

• При $x = 0$, $y = 3(0) - 4 = -4$. Точка пересечения с осью OY: $(0, -4)$.
• При $y = 0$, $3x - 0 = 4$, откуда $x = \frac{4}{3}$. Точка пересечения с осью OX: $(\frac{4}{3}, 0)$.

Проведем прямую через эти две точки.

Неравенство строгое ($<$), поэтому точки на прямой $y = 3x - 4$ не являются решениями. Прямую следует изображать пунктирной линией.

Чтобы определить искомую полуплоскость, выберем в качестве пробной точки начало координат $(0, 0)$, так как она не лежит на прямой. Подставим ее координаты в исходное неравенство: $3(0) - 0 < 4$ $0 < 4$

Полученное неравенство истинно. Следовательно, полуплоскость, в которой находится начало координат, и есть множество решений. Это область, расположенная "выше" прямой $y = 3x - 4$.

Ответ: Множеством решений является открытая полуплоскость, расположенная выше прямой $y = 3x - 4$. Граничная прямая в решение не входит.

88. Изобразить на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

1) $\begin{cases} 3x - y < 2, \\ -x + y &\leq 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x + y &\geq 3, \\ 4x - 2y &\geq 3. \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} 3x - y < 2, \\ -x + y \le 1; \end{cases} $

Для того чтобы изобразить множество решений на координатной плоскости, построим графики граничных прямых для каждого неравенства. Сначала преобразуем неравенства, выразив $y$ через $x$.

Первое неравенство: $3x - y < 2$.

$-y < -3x + 2$

При умножении на -1 знак неравенства меняется на противоположный:

$y > 3x - 2$

Граничная прямая для этого неравенства — $y = 3x - 2$. Так как неравенство строгое ($>$), прямую будем изображать пунктирной линией. Точки на этой линии не входят в множество решений.

Найдем две точки для построения прямой $y = 3x - 2$:

• Если $x=0$, то $y = 3(0) - 2 = -2$. Точка (0, -2).
• Если $x=1$, то $y = 3(1) - 2 = 1$. Точка (1, 1).

Множество решений неравенства $y > 3x - 2$ — это полуплоскость, расположенная выше прямой $y = 3x - 2$.

Второе неравенство: $-x + y \le 1$.

$y \le x + 1$

Граничная прямая — $y = x + 1$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), прямую будем изображать сплошной линией. Точки на этой линии входят в множество решений.

Найдем две точки для построения прямой $y = x + 1$:

• Если $x=0$, то $y = 0 + 1 = 1$. Точка (0, 1).
• Если $x=-1$, то $y = -1 + 1 = 0$. Точка (-1, 0).

Множество решений неравенства $y \le x + 1$ — это полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = x + 1$, включая саму прямую.

Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей. Это область, которая находится одновременно выше пунктирной прямой $y = 3x - 2$ и ниже сплошной прямой $y = x + 1$ (включая эту прямую).

Ответ: Множеством решений является область на координатной плоскости, заключенная между прямыми $y = x + 1$ и $y = 3x - 2$, расположенная выше прямой $y = 3x - 2$ и ниже прямой $y = x + 1$. Граница $y = x + 1$ включается в решение (сплошная линия), а граница $y = 3x - 2$ не включается (пунктирная линия).

2)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2x + y \ge 3, \\ 4x - 2y \ge 3; \end{cases} $

Аналогично первому пункту, преобразуем неравенства и построим граничные прямые.

Первое неравенство: $2x + y \ge 3$.

$y \ge -2x + 3$

Граничная прямая — $y = -2x + 3$. Неравенство нестрогое ($\ge$), поэтому прямая сплошная.

Найдем две точки для построения прямой $y = -2x + 3$:

• Если $x=0$, то $y = -2(0) + 3 = 3$. Точка (0, 3).
• Если $x=1$, то $y = -2(1) + 3 = 1$. Точка (1, 1).

Множество решений неравенства $y \ge -2x + 3$ — это полуплоскость выше прямой $y = -2x + 3$, включая саму прямую.

Второе неравенство: $4x - 2y \ge 3$.

$-2y \ge -4x + 3$

При делении на -2 знак неравенства меняется на противоположный:

$y \le 2x - \frac{3}{2}$

$y \le 2x - 1.5$

Граничная прямая — $y = 2x - 1.5$. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому прямая сплошная.

Найдем две точки для построения прямой $y = 2x - 1.5$:

• Если $x=0$, то $y = 2(0) - 1.5 = -1.5$. Точка (0, -1.5).
• Если $x=2$, то $y = 2(2) - 1.5 = 4 - 1.5 = 2.5$. Точка (2, 2.5).

Множество решений неравенства $y \le 2x - 1.5$ — это полуплоскость ниже прямой $y = 2x - 1.5$, включая саму прямую.

Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей. Это область, которая находится одновременно выше прямой $y = -2x + 3$ и ниже прямой $y = 2x - 1.5$. Обе прямые сплошные, поэтому границы входят в множество решений.

Ответ: Множеством решений является область на координатной плоскости, заключенная между прямыми $y = -2x + 3$ и $y = 2x - 1.5$, расположенная выше прямой $y = -2x + 3$ и ниже прямой $y = 2x - 1.5$. Обе границы включаются в решение, так как линии сплошные.