Номер 77, страница 30 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

77. Выяснить, сколько решений имеет система уравнений:

1) $\begin{cases} 3x - 2y = 1, \\ -6x + 4y = -3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x - 3y = -4, \\ 2x + y = 4; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 6x - 2y = -8, \\ -3x + y = 4. \end{cases}$

1) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 3x - 2y = 1 \\ -6x + 4y = -3 \end{cases} $
Для определения количества решений системы линейных уравнений $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ можно сравнить отношения их коэффициентов.
В данной системе: $a_1 = 3, b_1 = -2, c_1 = 1$ и $a_2 = -6, b_2 = 4, c_2 = -3$.
Найдем отношения коэффициентов при переменных $x$ и $y$ и отношение свободных членов:
$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2} $
$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} $
$ \frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} $
Мы видим, что выполняется условие $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $. Это означает, что графики уравнений — это две параллельные прямые, которые никогда не пересекаются.
Другой способ — умножить первое уравнение на 2:
$ 2 \cdot (3x - 2y) = 2 \cdot 1 \implies 6x - 4y = 2 $
Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:
$ (6x - 4y) + (-6x + 4y) = 2 + (-3) $
$ 0 = -1 $
Получено неверное числовое равенство, что свидетельствует о том, что система не имеет решений.
Ответ: решений нет.

2) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 2x - 3y = -4 \\ 2x + y = 4 \end{cases} $
Сравним отношения коэффициентов при переменных:
$a_1 = 2, b_1 = -3$ и $a_2 = 2, b_2 = 1$.
$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{2} = 1 $
$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{1} = -3 $
Так как $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $, графики уравнений — это две прямые, которые пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет единственное решение.
Для проверки найдем это решение. Вычтем из первого уравнения второе:
$ (2x - 3y) - (2x + y) = -4 - 4 $
$ -4y = -8 $
$ y = 2 $
Подставим найденное значение $y$ во второе уравнение:
$ 2x + 2 = 4 $
$ 2x = 2 $
$ x = 1 $
Система имеет одно решение $(1; 2)$.
Ответ: одно решение.

3) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 6x - 2y = -8 \\ -3x + y = 4 \end{cases} $
Сравним отношения коэффициентов:
$a_1 = 6, b_1 = -2, c_1 = -8$ и $a_2 = -3, b_2 = 1, c_2 = 4$.
$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{6}{-3} = -2 $
$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{1} = -2 $
$ \frac{c_1}{c_2} = \frac{-8}{4} = -2 $
Так как $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $, графики уравнений — это одна и та же прямая. Это означает, что любое решение одного уравнения является решением и второго, поэтому система имеет бесконечно много решений.
Можно также умножить второе уравнение на -2:
$ -2 \cdot (-3x + y) = -2 \cdot 4 \implies 6x - 2y = -8 $
Мы видим, что второе уравнение после преобразования полностью совпадает с первым. Это подтверждает, что система имеет бесконечное множество решений. Все решения можно выразить, например, через $x$: из второго уравнения $y = 3x + 4$.
Ответ: бесконечно много решений.