Номер 70, страница 29 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

70. С помощью графика функции

$y = y(x)$, изображённого на рисунке 14:

1) найти $y(-3)$, $y(-5)$, $y(0)$, $y(2)$, $y(7)$, $y(12)$;

2) найти значения $x$, при которых $y(x) = -1$, $y(x) = 0$;

3) найти промежутки знакопостоянства функции;

4) сравнить $y(-5)$ и $y(-2)$; $y(-3)$ и $y(7)$; $y(0)$ и $y(2)$.

Рис. 14

1) найти $y(-3)$, $y(-5)$, $y(0)$, $y(2)$, $y(7)$, $y(12)$

Для нахождения значения функции $y(x)$ при заданном значении аргумента $x$ необходимо найти на оси абсцисс (горизонтальной оси $x$) заданное значение, затем подняться или опуститься до пересечения с графиком функции и от этой точки провести перпендикуляр к оси ординат (вертикальной оси $y$). Точка пересечения с осью $y$ и будет искомым значением функции.

• При $x = -3$ соответствующая точка на графике имеет ординату $y = -1$. Таким образом, $y(-3) = -1$.
• При $x = -5$ соответствующая точка на графике имеет ординату $y = -2$. Таким образом, $y(-5) = -2$.
• При $x = 0$ график пересекает ось $y$ в точке, где $y = 3$. Таким образом, $y(0) = 3$.
• При $x = 2$ соответствующая точка на графике имеет ординату $y = 4$. Таким образом, $y(2) = 4$.
• При $x = 7$ график пересекает ось $x$, что означает, что ордината равна 0. Таким образом, $y(7) = 0$.
• При $x = 12$ соответствующая точка на графике имеет ординату $y = -2$. Таким образом, $y(12) = -2$.

Ответ: $y(-3) = -1$; $y(-5) = -2$; $y(0) = 3$; $y(2) = 4$; $y(7) = 0$; $y(12) = -2$.

2) найти значения $x$, при которых $y(x) = -1$, $y(x) = 0$

Для нахождения значений $x$, соответствующих заданному значению функции $y$, необходимо найти на оси ординат (оси $y$) это значение, провести через него горизонтальную прямую и найти абсциссы всех точек пересечения этой прямой с графиком функции.

• При $y(x) = -1$: проводим горизонтальную прямую $y = -1$. Эта прямая пересекает график в двух точках, абсциссы которых равны $x = -3$ и $x = 9$.
• При $y(x) = 0$: это точки пересечения графика с осью $x$ (их также называют нулями функции). Из графика видно, что это происходит в точках $x = -2$ и $x = 7$.

Ответ: $y(x) = -1$ при $x = -3$ и $x = 9$; $y(x) = 0$ при $x = -2$ и $x = 7$.

3) найти промежутки знакопостоянства функции

Промежутки знакопостоянства — это интервалы оси $x$, на которых функция сохраняет свой знак, то есть остается либо строго положительной ($y > 0$), либо строго отрицательной ($y < 0$).

• Функция положительна ($y(x) > 0$), когда ее график находится выше оси $x$. Это происходит на интервале между нулями функции $x = -2$ и $x = 7$. Таким образом, $y > 0$ при $x \in (-2; 7)$.
• Функция отрицательна ($y(x) < 0$), когда ее график находится ниже оси $x$. На заданном графике это происходит на двух промежутках. Учитывая область определения, показанную на рисунке (от -5 до 12), получаем: $x \in [-5; -2) \cup (7; 12]$.

Ответ: функция положительна при $x \in (-2; 7)$; функция отрицательна при $x \in [-5; -2) \cup (7; 12]$.

4) сравнить $y(-5)$ и $y(-2)$; $y(-3)$ и $y(7)$; $y(0)$ и $y(2)$

Сравним значения функции в указанных точках, определив их по графику.

• Сравнение $y(-5)$ и $y(-2)$: из графика $y(-5) = -2$ и $y(-2) = 0$. Так как $-2 < 0$, то $y(-5) < y(-2)$.
• Сравнение $y(-3)$ и $y(7)$: из графика $y(-3) = -1$ и $y(7) = 0$. Так как $-1 < 0$, то $y(-3) < y(7)$.
• Сравнение $y(0)$ и $y(2)$: из графика $y(0) = 3$ и $y(2) = 4$. Так как $3 < 4$, то $y(0) < y(2)$.

Ответ: $y(-5) < y(-2)$; $y(-3) < y(7)$; $y(0) < y(2)$.