Номер 69, страница 29 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

69. Построить треугольник $ABC$ по координатам его вершин $A(3; 4)$, $B(0; -4)$, $C(6; 2)$. Найти координаты точек пересечения сторон треугольника $ABC$ с осью абсцисс.

Построить треугольник ABC по координатам его вершин A(3; 4), B(0; -4), C(6; 2).

Для построения треугольника ABC на декартовой координатной плоскости отметим точки с заданными координатами: A(3; 4), B(0; -4) и C(6; 2). Затем соединим эти точки отрезками AB, BC и AC. Полученная фигура и будет искомым треугольником.

Ниже представлено графическое изображение построенного треугольника и точек пересечения его сторон с осью абсцисс.

Ответ: Треугольник построен на графике путем соединения вершин с заданными координатами.

Найти координаты точек пересечения сторон треугольника ABC с осью абсцисс.

Точка, лежащая на оси абсцисс (оси Ox), имеет ординату (координату $y$) равную нулю. Для нахождения точек пересечения сторон треугольника с этой осью, необходимо составить уравнения прямых, содержащих эти стороны, и найти их точки пересечения с прямой $y=0$. Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид:

$ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} $

Сторона AB:
Найдем уравнение прямой, проходящей через точки A(3; 4) и B(0; -4). Ординаты точек имеют разные знаки, значит, отрезок пересекает ось Ox.
$ \frac{x - 3}{0 - 3} = \frac{y - 4}{-4 - 4} \Rightarrow \frac{x - 3}{-3} = \frac{y - 4}{-8} $
$ 8(x - 3) = 3(y - 4) \Rightarrow 8x - 24 = 3y - 12 \Rightarrow 8x - 3y - 12 = 0 $
Подставим $y=0$ для нахождения точки пересечения с осью Ox:
$ 8x - 3(0) - 12 = 0 \Rightarrow 8x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5 $.
Координаты точки пересечения ($M_1$): $(1.5; 0)$. Проверяем, что точка лежит на отрезке AB, сравнивая ее абсциссу с абсциссами вершин: $0 \le 1.5 \le 3$. Условие выполняется.

Сторона BC:
Найдем уравнение прямой, проходящей через точки B(0; -4) и C(6; 2). Ординаты точек имеют разные знаки, значит, отрезок пересекает ось Ox.
$ \frac{x - 0}{6 - 0} = \frac{y - (-4)}{2 - (-4)} \Rightarrow \frac{x}{6} = \frac{y + 4}{6} \Rightarrow x = y + 4 $.
Подставим $y=0$:
$ x = 0 + 4 \Rightarrow x = 4 $.
Координаты точки пересечения ($M_2$): $(4; 0)$. Проверяем, что точка лежит на отрезке BC: $0 \le 4 \le 6$. Условие выполняется.

Сторона AC:
Вершины A(3; 4) и C(6; 2) имеют положительные ординаты ($y_A > 0$ и $y_C > 0$). Это означает, что обе точки лежат в одной полуплоскости относительно оси Ox (в верхней), поэтому отрезок AC не пересекает ось абсцисс.

Ответ: $(1.5; 0)$ и $(4; 0)$.