Номер 76, страница 30 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

76. Решить графически систему уравнений:

1) $\begin{cases} 2x + 3y = -2, \\ x - y = 6; \end{cases}$

2) $ \begin{cases} 3x + y = 0, \\ 4x + 3y = 5. \end{cases} $

1)

Для решения системы уравнений графическим методом, необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Координаты точки пересечения этих графиков и будут решением системы.

Первое уравнение: $2x + 3y = -2$.
Это линейное уравнение, его график — прямая. Для построения прямой найдем координаты двух точек. Сначала выразим $y$ через $x$:
$3y = -2x - 2$
$y = -\frac{2}{3}x - \frac{2}{3}$
Теперь найдем две точки, принадлежащие этой прямой:
- если $x = -1$, то $y = -\frac{2}{3}(-1) - \frac{2}{3} = \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0$. Получаем точку A(-1, 0).
- если $x = 2$, то $y = -\frac{2}{3}(2) - \frac{2}{3} = -\frac{4}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{6}{3} = -2$. Получаем точку B(2, -2).

Второе уравнение: $x - y = 6$.
Это также линейное уравнение. Выразим $y$ через $x$:
$y = x - 6$
Найдем две точки для построения этой прямой:
- если $x = 2$, то $y = 2 - 6 = -4$. Получаем точку C(2, -4).
- если $x = 4$, то $y = 4 - 6 = -2$. Получаем точку D(4, -2).

Построим оба графика на одной координатной плоскости. Прямая $y = -\frac{2}{3}x - \frac{2}{3}$ проходит через точки A(-1, 0) и B(2, -2). Прямая $y = x - 6$ проходит через точки C(2, -4) и D(4, -2).

Построив графики, находим их точку пересечения. Из графика видно, что координаты точки пересечения не являются целыми числами. Для нахождения точных координат решим систему уравнений аналитически, подставив выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$2x + 3(x - 6) = -2$
$2x + 3x - 18 = -2$
$5x = 16$
$x = \frac{16}{5} = 3.2$
Теперь найдем $y$:
$y = x - 6 = 3.2 - 6 = -2.8$
Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(3.2, -2.8)$.

Ответ: $(3.2, -2.8)$

2)

Решим вторую систему уравнений графическим методом.

Первое уравнение: $3x + y = 0$.
Выразим $y$ через $x$:
$y = -3x$
Это прямая пропорциональность, ее график проходит через начало координат O(0, 0). Для построения найдем еще одну точку:
- если $x = -1$, то $y = -3(-1) = 3$. Получаем точку E(-1, 3).

Второе уравнение: $4x + 3y = 5$.
Выразим $y$ через $x$:
$3y = 5 - 4x$
$y = -\frac{4}{3}x + \frac{5}{3}$
Найдем две точки для построения этой прямой:
- если $x = -1$, то $y = -\frac{4}{3}(-1) + \frac{5}{3} = \frac{4}{3} + \frac{5}{3} = \frac{9}{3} = 3$. Получаем точку F(-1, 3).
- если $x = 2$, то $y = -\frac{4}{3}(2) + \frac{5}{3} = -\frac{8}{3} + \frac{5}{3} = -\frac{3}{3} = -1$. Получаем точку G(2, -1).

Построим графики на одной координатной плоскости. Прямая $y = -3x$ проходит через точки O(0, 0) и E(-1, 3). Прямая $y = -\frac{4}{3}x + \frac{5}{3}$ проходит через точки F(-1, 3) и G(2, -1).

Оба графика проходят через точку с координатами (-1, 3). Следовательно, эта точка является точкой их пересечения и решением системы уравнений.

Ответ: $(-1, 3)$